Correction de Devoir Libre N°04: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le mercredi 2 novembre 2011 ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚04 `PROBLEME 1 1.a. La fonction restreinte cos : [0,π] → [−1] est une fonction bijective| d´ecroissante. La fonction Arccos est sa bijection r´eciproque. C’est Arccos(x) est donc la fonction Arccos : [−1,1]→ [0,π] qui v´erifie pour tout couple l’unique ant´ec´edent (x,t) de r´eels de x par la fonction cosinus qui est compris x∈ [−1,1] t∈ [0,π] entre 0 et π⇐⇒ t = Arccos(s) x = cos(t) La fonction Arccos est d´erivable sur l’ouvert ]−1,1[ comme fonc- Fomule de la d´eriv´ee d’une bijectiontion r´eciproque d’une fonction d´erivable bijective dont la d´eriv´ee ne d´erivable s’annule pas. Et d’apr`es ce mˆeme th´eor`eme 1−1(f ) = −1f ◦f−1 ∀x∈]−1,1[,Arccos (x) =√ 21−x b. On en d´eduit 4 x −1 1 y = Arcco2s(x) Arccos (x) − 1 0Arccos(x) −2 0 2 4&0 y = cos (x)| −2 c. Soit x ∈ [−1,1], on pose t = π− Arccos(x) alors t ∈ [0,π] et t est l’unique cos(t) =−x. Finalement, on a bien Arccos(−x) = π−Arccos(x). ant´ec´edent de −x par la fonction cos quid. Soit x ∈ [−1,1], on pose t = Arccos(x) de sorte que t ∈ [0,π] et soit compris entre 0x = cos(t). Ainsi, et π, par d´efinition, t = Arccos(−x)cos(Arccos(x)) = x q p ainsi sin(t) ≥ 02 2sin(Arccos(x)) = sin(t) = sin (t) = 1−cos (t) √ 2= 1−x 1 ′ ′′′ 2.a.
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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le mercredi 2 novembre 2011
´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚04
`PROBLEME 1
1.a. La fonction restreinte cos : [0,π] → [−1] est une fonction bijective|
d´ecroissante. La fonction Arccos est sa bijection r´eciproque. C’est Arccos(x) est
donc la fonction Arccos : [−1,1]→ [0,π] qui v´erifie pour tout couple l’unique ant´ec´edent
(x,t) de r´eels de x par la fonction
cosinus qui est compris
x∈ [−1,1] t∈ [0,π] entre 0 et π⇐⇒
t = Arccos(s) x = cos(t)
La fonction Arccos est d´erivable sur l’ouvert ]−1,1[ comme fonc- Fomule de la
d´eriv´ee d’une bijectiontion r´eciproque d’une fonction d´erivable bijective dont la d´eriv´ee ne
d´erivable
s’annule pas. Et d’apr`es ce mˆeme th´eor`eme
1−1(f ) =
−1f ◦f−1
∀x∈]−1,1[,Arccos (x) =√
21−x
b. On en d´eduit
4
x −1 1
y = Arcco2s(x)
Arccos (x) −
1 0Arccos(x) −2 0 2 4&0
y = cos (x)|
−2
c. Soit x ∈ [−1,1], on pose t = π− Arccos(x) alors t ∈ [0,π] et t est l’unique
cos(t) =−x. Finalement, on a bien Arccos(−x) = π−Arccos(x). ant´ec´edent de −x par
la fonction cos quid. Soit x ∈ [−1,1], on pose t = Arccos(x) de sorte que t ∈ [0,π] et
soit compris entre 0x = cos(t). Ainsi,
et π, par d´efinition,
t = Arccos(−x)cos(Arccos(x)) = x
q p ainsi sin(t) ≥ 02 2sin(Arccos(x)) = sin(t) = sin (t) = 1−cos (t)

2= 1−x
1




′′′


2.a. Soit x∈R, quelques lignes de trigo donnent
2cos(2x) = 2cos (x)−1
cos(3x) = cos(2x+x) = cos(2x)cos(x)−sin(2x)sin(x)

2 2= cos(x) 2cos (x)−1 −2cos(x)sin (x)

2 2= cos(x) 2cos (x)−1 −2cos(x) 1−cos (x)
3= 4cos (x)−3cos(x)
x+y x−y2b. Soit (x,y)∈R . Posons a = et b = , de sorte que x = a+b
2 2
et y = a−b. On a alors formules d’addition
pour cos
cos(x)+cos(y) = cos(a+b)+cos(a−b)
= cosacosb−sinasinb+cosacosb+sinasinb
= 2cosacosb
x+y x−y
= 2cos cos
2 2
D´efinition : Soit n ∈ N. On d´efinit la fonction T : D → R parn
T (x) = cos(nArccos(x)).n
3.a. Soit n∈N, alors
T (1) = cos(nArccos(1)) = cos(0) = 1n

0 si n est impair
T (0) = cos(nArccos(0)) = cosnπ/2) =n k(−1) si n = 2k est pair
nT (−1) = cos(nArccos(−1)) = cos(nπ) = (−1)n
b. La fonction x →g(x) = T (cos(x))− cos(nx) est bien d´efinie sur R.n
De plus, g est clairement 2π p´eriodique et paire, car la fonction cos
l’est. On ´etudie g sur [0,π, on cmpl´etera par sym´etrie.
Soit donc x ∈ [0,π. Alors Arccos(cos(x)) = x, par suite g(x) =
cos(nArccos(x))−cos(nx) = 0.
Par sym´etrie, on en d´eduit que la fonction g est la fonction constante
nulle. Autrement dit
Pour tout r´eel x∈R, T (cos(x) = cos(nx)n
c. Soit x∈ [−1,1], on a question 1c
T (−x) = cos(nArccos(−x)) = cos(nπ−nArccos(x))n
n= (−1) T (x)n
En cons´equence, la fonction T est paire si n l’est et impaire si n l’est.n
2



d. Soit x∈ [−1,1], arbitraire fix´e il y avait longtemps
qu’on ne l’avait pas
T (x) = cos(0) = 10 rappel´e!!
T (x) = cos(Arccos(x)) = x1
2 2T (x) = cos(2Arccos(x)) = 2cos (Arccos(x))−1 = 2x −12
4.a. Soit a∈ R, n∈ N. On a cos(na)+cos(n+2)a = 2cosacos(n+1)a,
d’ou` l’on tire que cos (n+2)a = 2cos (n+1)a cos(a)−cos(na).
b. Soit x∈ [−1,1]. On pose a = Arccos(x) et on applique le r´esultat de
la question pr´ec´edente :
T (x) = cos(n+2)a = 2cosacos(n+1)a−cos(na)n+1
= 2xT (x)−T (x)n+1 n
c. On applique successivement la fomrulebde r´ecurrence pr´ec´edente avec
n = 2,3,4. Il vient pour x∈ [−1,1]
3T (x) = 4x −3x3
4 2T (x) = 8x −8x +14
5 3T (x) = 16x −20x +5x5
5. Soit n∈N .
a. Soit x∈ [−1,1].
T (x) = 0 ⇐⇒ cos(nArccos(x)) = 0n
π
⇐⇒ nArccos(x)≡ [π]
2
π π
⇐⇒ Arccos(x)≡ [ ]
2n n
π +2kπ
⇐⇒ ∃k∈Z,Arccos(x) =
2n
π +2kπ
⇐⇒ ∃k∈ [0,n−1]],Arccos(x) =
2n
π +2kπ
⇐⇒ ∃k∈ [0,n−1]],x = cos
2n

π +2kπ
FinalementS = cos ; k∈ [[0,n−1]] .
2n
6.a. Soit a∈R. On utilise les formules de Moivre :
n n(cos(a)+isin(a)) +(cos(a)−isin(a)) = (cos(na)+isin(na))+(cos(na)−isin(na))
= 2cos(na)
3


nsin(nArccos(x))
√b. Soit x∈]−1,1[, T (x) = . Par suiten 21−x
T (x) = 0 ⇐⇒ x∈]−1,1[ etsin(nArccos(x)) = 0n
⇐⇒ x∈]−1,1[ etnArccos(x)≡ 0[π]
π π
⇐⇒ x∈]−1,1[ etArccos(x)≡ [ ]
n n

⇐⇒ x∈]−1,1[ et∃k∈Z,Arccos(x) =
n

⇐⇒ ∃k∈ [1,n−1]],Arccos(x) =
2n

⇐⇒ ∃k∈ [[1,n−1]],x = cos
n


FinalementS = cos ; k∈ [1,n−1]] .
n
c. Soit x∈ [−1,1], on pose a = Arccos(x). Alors
1 1n nT (x) = cos(na) = (cos(a)+isin(a)) + (cos(a)−isin(a))n
2 2√ √ n n
2 2x+i 1−x + x−i 1−x
=
2
4
′′′

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