Correction de Devoir Libre N°06

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le vendredi 21 d´ecembre 2012 ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚06 `PROBLEME 1 21.a. Soit (x,y)∈N . x+y et x+y +1 sont deux entiers cons´ecutifs, par cons´equent l’un des deux est pair, i.e. divisible par 2. A fortiori, leur (x+y)(x+y +1) produit est divisible par 2. N 2 On consid`ere alors l’application f :N×N dans N d´efinie par (x+y)(x+y +1)2∀(x,y)∈N , f(x,y) =y + 2 b. Quelques calculs num´eriques : 2 Dans le tableau de gauche figurent quelques ´el´ements de N . Portez dans le tableau de droite les valeurs de f correspondantes. Ces r´esultats ne sont qu’une indication pour la suite. 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) 0 1 (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 1 2 (2,0) (2,1) (2,2) 2 3 (3,0) (3,1) 3 4 (4,0) 4 22.a. Soit (x,y) et (x,y ) dans N tels que x+y≥x +y +1, on a (x+y)(x+y +1) (x +y +1)(x +y +2) f(x,y) = +y≥ +y 2 2 (x +y +1)(x +y ) 2(x +y +1) ≥ + +y 2 2 (x +y +1)(x +y ) ≥ +x +y +y +1 =f(x,y )+x +y +1 2 > f(x,y ) N 2b. Soit (x,y) et (x,y ) dans N . D’apr`es la question pr´ec´edente, on a x+y >x +y ⇒f(x,y)>f(x,y ) 1 ′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′ Par contrapos´ee, il en r´esulte que pour tous couples (x,y) et (x,y ) d’entiers naturels, ∀((x,y),(x,y )), f(x,y)≤f(x,y )⇒x+y≤x +y A pr´esent, consid´erons (x,y) et (x,y ) tels que f(x,y) =f(x,y ). En cecas,onasimultan´ementf(x,y)≤f(x,y )etf(x,y )≤f(x,y).
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1.a.

b.

2.a.

b.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

a`rendrelevendredi21d´ecembre2012

´
CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚06

`
PROBLEME 1

Soit (x y)∈N2.x+yetx+yeuxentie+1sontditucp,sfocsre´snar
cons´equentl’undesdeuxestpair,i.e.divisiblepar2.Afortiori,leur
produit(x+y)(x+2y est divisible par 2.+ 1)N
Onconside`realorsl’applicationf:N×NdansNarepniefi´d

∀(x y)∈N2 f(x y) =y(+x

+y)(x+y+ 1)
2

Quelquescalculsnume´riques:
Dansletableaudegauchefigurentquelques´ele´mentsdeN2. Portez
dans le tableau de droite les valeurs defcorrespondantes.
Cesr´esultatsnesontqu’uneindicationpourlasuite.

0
1
2
3
4

0
(00)
(10)
(20)
(30)
(40)

1
(01)
(11)
(21)
(31)

2
(02)
(12)
(22)

3
(03)
(13)

4
(04)

Soit (x y) et (x′ y′) dansN2tels quex+y

f(x y)

=

>

0
1
2
3
4

0

1

≥x′+y′+ 1, on a

2

3

(x+y)(x+y+ 1) +y≥(x′+y′2+)1(x′+y′+ 2) +y
2
(x′+y′2+()1x′+y′2+)(x′2+y′+ 1) +y
(x′+y′(1)+2x′+y′+)x′+y′+y+ 1 =f(x′ y′) +x′+y+ 1
f(x′ y′)

Soit (x y) et (x′ y′) dansN2r´ec´edente,onae`rpqalstseupnoi’a.D

x+y > x

′+y

′⇒f(x y)> f(x′ y′)

1

N

4

c.

3.a.

b.

c.

Parcontrapos´ee,ilenre´sultequepourtouscouples(x y) et (x′ y′)
d’entiers naturels,

∀((x y)(x′ y′))

′ ′
f(x y)≤f(x  y′)⇒x+y≤x′+y

Apre´sent,consid´erons(x y) et (x′ y′) tels quef(x y) =f(x′ y′). En
cecas,onasimultane´mentf(x y)≤f(x′ y′) etf(x′ y′)≤f(x y). Par
cons´equent,laproprie´te´universelleci-dessus,applique´eauxcouples
((x y)(x′ y′)) et ((x′ y′)(x y)) donnex+y≤x′+y′etx′+y′≤x+y,
de sorte quex+y=x′+y′.N
Soit (x y) et (x′ y′) des couples d’entiers naturels tels quef(x y) =
f(x′ y′),’cse-ta`d-rie

y)(x+y (+ 1x′
(x+)+2y+=y′)(x2′+y′+ 1) +y′

D’apr`eslaquestionpr´ece´dente,onatoutd’abordx+y=x′+y′.
Reportantcettee´galit´edansl’´equationci-dessus,ilenre´sultesucces-
sivement quey=y′puis quex=x′.

∀((x y)(x′ y′)) f(x y) =f(x′ y′)⇒(x y) = (x′ y′)
Pard´efinition,c’estdirequef:N2→Nest injective.
Soit (x y)∈N⋆×Ntel quex≥1,
f(x−1 y+ 1) =(x−1) + (y+ 1)(x−1) + (y+ 1) + 1+y
2
=(x+y)(x2+y ++ 1)y+ 1 =f(x y) + 1
Ainsi,f(x−1 y+ 1) =f(x y) + 1.
Soity∈N,

f(0 y) =y(y+2)1+y
f(y+ 1(0)y+ 1)(y+ 2)y(y+)2+1y+ 1
= =
2
Ainsi,f(y+ 10) =f(0 y) + 1.
Montrons quef:N2→Nseejtcstrue,ivesc’`at-ir-d:e

(∀n∈N)(∃(x y)∈N2(n=f(x y))

Lapreuveseraparre´currencesurn∈N.

2

N

+ 1

N

N

4.

5.

a.

•Initpourn= 0, on af(00) = 0.
•´Hree´.dsoitn∈Ntel qu’il existe un couple (x y)∈N2avec la
propri´ete´quen=f(x y).
Montrons quen+1tnasedissuatemdaaief,oren´ce´nedeP.stcruo
utiliseler´esultatdesquestions3aet3babove:ntmepsulp,e´sice´r
◮six= 0,f(y+ 10) =f(0 y) + 1 =n+ 1
◮six∈N⋆,f(x−1 y+ 1) =f(x y) + 1 =n+ 1
•Ccl.redaemdtottuneitntr´equenceonamoce´rerruraPsntde´eect´anes
pourf.
Ainsi, la fonctionf:N2→Nleejetlcsvtir:ueivlieese´erjatecstine
donc une bijection deN2surN.N
Lasuiteduprobl`emeapourbutded´eterminerl’ant´ec´edentd’un
entierp.
Soit (x y)∈N2, on a

f(x y () =x+y)(x+2y ++ 1)y≥(x+y)(x+2y+ 1)
f(x y () =x+y)(x+2y+ 1) +y <(x+y)(x+2y+ 1) ( +x+y+ 1)
(x+y)(x2+y)1+(2+x+2y1)+(=x+y+1)(2x+y+ 2)

<

Ainsi, on a bien

(x+y)(x2+y+ 1)≤f(x y)<(x+y2(1)+x+y+ 2)

Etantdonn´en∈N⋆, on noteS(n) la somme des entiers compris e
1 etn:
nn(n+ 1)
S(n) =Xk=
2
k=1
Soitp∈N⋆.

Unicit´esoit (n m)∈N2tel que

S(n)≤ Sp <(n+ 1)
S(m)≤ Sp <(m+ 1)

En particulier, il vient

S(m+ 1)−S(n)>0
S(n+ 1)−S(m)>0

3

N
ntre

b.

Comme la suiteS(n)n eci entraˆest strictement croi te
ssan , c ıne
quem+ 1> netn+ 1> m. Autrement dit,

m≥netn≥m

Parantisym´etriedel’ordre,ilenr´esultequem=n.
Existence
SoitAp={n∈N⋆|S(n)≤p}.
– Comme 1 =S(1)≤p, on a directement queApest non vide.
– Comme pour tout entier naturelk∈N⋆,S(k)≥k, on a clai-
rement queAprarojapee´tmesp.
D’apr`eslespropri´ete´sfondamentalesdeN,Apteedivontnanet,´
majore´eadmetunplusgrande´le´ment.Notons-len.
Par construction,n∈Ap, i.e.S(n)≤p. De plus,ntante´1+
strictementsup´erieura`nalire`n,aitasaurtenipparAp: en clair
S(n+ 1)> p.
En conclusion, l’entiernainsnoivne.tdie´nfici
Finalement,nousavonse´tablil’existenced’ununiqueentiern∈
N⋆tel que

S(n)≤p < S(n+ 1)

Soitx∈Rsonn.Raiaons,cee´rapsnonelaviuq
x(x+ 1)⇐⇒x2+x−2p= 0⇐⇒x=−1±√1 + 8p
2=p2

De ces deux solutions, une seulement est positive ; il s’agit de
α=−1 +√1 + 8p
2

N

Prc´equent,l’e´quationp=x(x+ 1) admet une solution unique
a ons
2
solution reelle positive :α´rpnoitstnede´cee,lse`euqad,rOrpa’.Asiin
´
il existe un entiern∈N⋆, unique, tel que

Autrement dit,

S(n)≤p < S(n+ 1)

n(n+ 1)≤α(α1)+2<(n1+()2n+ 2)
2

4

c.

d.

La fonctionx7→x(x1)´etan++
2tstrictementcroissantesurR, il s’en-
suit quen≤α < n soit encore+ 1,

α−1< n≤α

N
Soit (x yaeuqinu’de´ce´tnentde)lpparfde sorte quef(x y) =p. De
plus,pard´efinitiondef(x y), on a

f(x y()x+y)(x+2y ++ 1)y=S(x+y) +y
=

Les encadrements obtenus aux questions4et5bvircatne,e´’srslo

S(x+y)≤
S(n)≤

p=f(x y)< S(x+y+ 1)
p < S(n+ 1)

Parunicit´e,ilend´ecoulequen=x+ytealesulueorsq´rnelI.p=
f(x y) =S(x y) +y=S(n) +y,d`u’oonl’eriteuqy=p−S(n).N
Exemplenum´erique:p= 10000. La racineαest
−1 +√80001
α=≈14092
2

Comme l’entiern=x+yreetiendev´refiieetsalaptreiα, il vient
`
n= 140. En ce cas,y= 10000−70×141 = 130. Enfin, comme
x+y=nse´retlu,neliequx= 10.N

5

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