Correction de Devoir Libre N°09

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le lundi 22 f´evrier 2013 ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚09 `PROBLEME 1 Partie I. Cons´equence s´equentielle de l’uniforme continuit´e 1. On suppose que f : I→R est uniform´ement continue dans I. a.

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le lundi 22 f´evrier 2013
´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚09
`PROBLEME 1
Partie I. Cons´equence s´equentielle de l’uniforme continuit´e
1. On suppose que f : I→R est uniform´ement continue dans I.
a. Par d´efinition :
2(∀ε > 0), (∃η > 0), (∀(x,y)∈ I ), (|x−y|≤ η⇒|f(x)−f(y)|≤ ε)
N
N Nb. Soit (x )∈ I , (y )∈ I telles que lim(y −x ) = 0. On montre quen n n n
n
limf(y )−f(x ) = 0.n n
n
Soit ε > 0 fix´e once and for all. Comme f est uniform´ement conitinue
dans I, il existe η > 0 tel que
2(∀(x,y)∈ I ), (|x−y|≤ η⇒|f(x)−f(y)|≤ ε) (1)
Or par hypoth`ese, la suite (y − x ) est convergente de limite nulle.n n
Par cons´equent , il existe un entier naturel n ∈N tel que Applique la0
d´efinition de suite
∀n∈N (n≥ n ⇒|y −x |≤ η) (2)0 n n convergente avec η `a
la place de ε
Soit n ≥ n . D’apr`es (2), |x − y | ≤ η. D’apr`es (1), il en r´esulte0 n n
finalement que|f(x )−f(y )|≤ ε.n n
Par d´efinition, on a bien montr´e que lim (f(x )−f(y )) = 0. Nn n
n→+∞
Nc. Soit (x )∈ I une suite convergente vers x∈R. Alors (x ) est aussin n+1
convergente de limite x comme suite extraite. Par OPA, il en r´esulte
que (x − x ) est convergente de limite nulle. D’apr`es la questionn+1 n
pr´ec´edente, on peut en d´eduire que limf(x )−f(x ) = 0. Nn+1 n
n
1+2. Soitg ethlesfonctionsd´efiniessurR et]0,1]parg(x) = eth(x) =
x
+sin(1/x) respectivement. g est continue sur R comme quotient de
telles fonctions dont le d´enominateur ne s’annule pas. La fonction sin
est continue sur R donc h est continue comme compos´ee de telles
fonctions.
1
Soit x = , pour n≥ 1. Clairement x →− 0 mais g(x )−g(x ) =n n n n+1
n
−1→ −0.
−1Soitx = ((2n+1)π/2) .Clairementx →− 0mais|h(x )−h(x )| =n n n n+1
2→ −0.
D’apr`es la question pr´ec´edente, g et h ne sauraient ˆetre uniform´ement
continues. N
3. Soit f : [0,+∞[→R une fonction d´erivable.
1
⋆⋆+ +a. Soit k ∈ R telle que ∀x∈ R , |f|≤ k, alors, d’apr`es le th´eor`eme
+ +
des accroissements finis, pour tout couple (x,y)∈R ×R , on a on applique le TAF
entre x et y
|f(x)−f(y)|≤ k|x−y|
+Par d´efinition, f est k-lipschitzienne dansR . D’apr`es le cours, on sait
+encecas,quef estautomatiquementuniform´ementcontinuedansR .
N
b. Supposons que |f (x)| −−−→ +∞. On montre que f n’est pas uni-
x→∞
form´ement continue `a l’aide de la cons´equence s´equentielle. Pour tout
entier n∈N, il existe x tel quen
+∀x∈R ,x≥ x ⇒|f (x)|≥ nn
1Posons alors (y ) = (x + ). Clairement, lim (y − x ) = 0. Orn n n nn n→+∞
ad’apr`es l’´egalit´e des accroissements finis, , il existe t ∈]x ,y [ tel appliqu´e entre x etn n n n
que yn
1
|f(x )−f(y )| = |f (t )|n n n
n
Or, par construction, t ≥ x . Par cons´equent |f (t )| ≥ 1 et parn n n
ntransitivit´e, il s’ensuit que|f(x )−f(y )|≥ = 1.n n n
En particulier, |f(x )− f(y )| −→ 0, ce qui prouve que f n’est pasn n
uniform´ement continue. N
2
′′′′′

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