Correction de Devoir Surveillé N°03

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 08 d´ecembre 2012 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚03 `PROBLEME 1√ √ √ On donne ln(1+ 2)≈ 0,88 et 2−ln(1+ 2)≈ 0,53. Partie I. R´esolution d’´equations diff´erentielles 1. On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene d’ordre 1 `a coefficient continu (E ) z +ztht = 01 sht Ici, a(t) = tht = . Prenons A(t) = lncht. La solution g´en´erale de (E ) s’´ecrit :1 cht C z(t) = cht La solution z de (E ) v´erifiant la condition initiale z (0) = 1 est d´efinie pour tout t∈R1 1 1 1 par z (t) = . N1 cht 2. R´esolvons sur R l’´equation diff´erentielle (E ) z +ztht =ttht2 C • l’´equation homog`ene associ´ee `a (E ) est (E ). Ses solutions s’´ecrivent z(t) = N2 1 cht • Pourd´eterminerunesolutionparticuli`erede(E ),utilisonslam´ethodedelavariation2 C(t) de la constante : posons z(t) = , de sorte que cht 1 tht× z(t) = C(t) cht 1 1 1× z (t) = C (t) +C(t) cht cht C (t) Par cons´equent, pout tout t∈R, z (t)+thtz(t) = . cht C (t) Ainsi, z est solution de (E ) si et seulement si = ttht2 cht si et seulement si C (t) = tsht Pour d´eterminer une primitive de tsht sur R, int´egrons par parties : Z Z tshtdt = tcht − chtdt = tcht−sht Prenons C(t) =tcht−sht. tcht−sht Une solution particuli`ere de (E ) est donn´ee par z (t) = = t−tht.
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1.

2.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

Samedi08de´cembre2012

´ ´
CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚03

3.

`
PROBLEME 1
On donne ln(1 + 2)≈0 288 et−ln(1 + 2)≈05
PartieI.Re´solutiond’e´quationsdiff´erentielles

Onconsid`erel’´equationdiffe´rentiellelin´eairehomoge`ned’ordre1`acoefficientcontinu

(E1)z′+ztht= 0
Ici,a(t) = thts=hhctt. PrenonsA(t) = ln cht´gnoitulelare´nede(soLa.E1)s’it:´ecr

C
z(tch=)t

La solutionz1de (E1tidiinontlanonac´v)fiiretiaielz1ourtoutd´efiniep0(=)e1tst∈R
1
parz1(t ch) = .N
t
R´esolvonssurRletielerenid´ffitnoqeaul´’

(E2)z′+ztht=ttht
l’´equationhomoge`neassocie´e`a(E2) est (E1eS.)oitulossnss’´ecriventz(t=)cChtN
Pourd´eterminerunesolutionparticuli`erede(E2noitainolslisi,)tuavaredelthodam´e
de la constante : posonsz(t) =C(chttseroetuqe)d,
tht×z(t) =C(t)1cchhtt+C(t)′
1×z′(t) =C′(t1)ch1t
Parcons´equent,pouttoutt∈R,z′(t) + thtz(t) =Cc′h(tt.)
Ainsi,zest solution de (E2)si et seulement siCc′(htt=)ttht
si et seulement siC′(t) =tsht

Pourde´termineruneprimitivedetshtsurR:tiesrparsnapgeorni´t,
Ztsht dt=tcht−Zcht dt=tcht−sht

PrenonsC(t) =tcht−sht.
Unesolutionparticuli`erede(E2)estdrno´neeapz0(t) =tchtch−tsht=t−tht.

1

N

1.
a.

b.

c.

Parleprincipedesuperpositionpourlese´quationsdiff´erentielleslin´eaires,ilenr´esulte
que les solutions de (E2)ostnelfsnotcnsioefid´esnirsuRpar :

z(t) =t−thtc+Cht

Comme ch 0 = 1, la solutionz2de (E2)tininoitelaianifierv´dionactlz20(fieine=)e0ts´d
par

z2(t) =t−tht

N

PartieII.Etuded’unarcparam´etr´e
Dansleplan,rapporte´`aunrepe`reorthonorme´(j~i~Obeur’´Γduaeqontiscolare`eidnscoon,)
´tri ues :
parame q
(xy((tt)=)=tc1h−ttht
Remarque :les fonctionsxetyonsulosseltsedsnoitl`emprobesdeyhCaucutide´e´s
pr´ece´demment.

Etude de Γ :
D’apr`eslesproprie´t´esdeparit´edesfonctionsusuelles,xest une fonction impaire etyest
paire.Parcons´equent,l’axe(0yercrontdeundeitresteirys´mO.pndeΓe)esxedetuna
l’intervalled’´etude`aR+`tro(am´syrietarepppra´ltereneustiperaetcompOy).N
Soitt∈R+
Letableausuivantresumecespropri´ete´s
´

x(t) =t−tht

x′(t) = 1−(1−th2t) = th2t

x′(t)≥0
x′(t) = 0⇐⇒

t= 0

y(t 1) =
chth
st
=−
y′(thc)2t

y′(t)≤0
y′(t) = 0⇐⇒

t= 0

t
x′(t)

x(t)

y(t)

y′

0
0

0
1

0

+

ր

ց

+∞

+∞

0


N
SoitAltnedpeioramadΓpetr`e.Ce0meomx′(0) =y′(0) = 0, le pointAest stationnaire.
Pourd´eterminersielleexistelatangenteaupointA, formons le rapporty′(t)x′(t).

y′(t)−sht×ch2t1→ ±∞
x′(tch=)2tsh2t=−shtt−→−0

Ainsi,Γpr´esenteunetangenteverticaleaupointA.

2

N

:

d.

2.

e.

f.

Toutpointdiffe´rentdeAceriruetaledgnatteenpoautinseugilrte´lecoeretentdeffici
M(t), avect∈R+⋆´eparetsodnnm(t) =yx′′((tt)=)−s1ht. SoitBlepointdeΓo`ula
tangente a pour coefficient directeur−ramaL.peee`rt1τdeBrifiev´e

−shτ=−1 ieτ= Argsh 1∈R+

Explicitonslescoordonn´eesdeB:
ch2τ= 1 + sh2(τ=),2’duco`hτ= 2
thτ= shτ chτ= 12.
Pour expliciterτmethrigalound’de:xpri,e’lia1ha`rAsgomsn

Pour toutt∈R

Argsht= ln(t+

t2+ 1)

Par suite,
τ= ln(1 + 2)
Finalement,Bestlepointdecoorsee´nnodl’)´bno2´e+1n(ncnlo−12;1t2.
Aveclesdonne´esnum´eriquesfourniespare,oient
ln(1 + 2)−21≈02=2218et1≈07.
Nousende´duisonsune´equationcarte´siennedelatangentea`ΓaupointB:
y=y(τ) + (−1)×x−x(τ)=12−x−ln(1 + 2)−12
= ln(1 + 2)−x

N
D’apr`esletableaudesvariationssimultan´eesdexety,Γpse´retnebenucnarinheiefinau
voisinage det= +∞:
li+mx(t) = +∞,
t→ ∞
li+m∞y(t) = 0.
t→
Ladroited’e´quationyotehorizstasymptaΓvuioisnoatela`genadee0=t= +∞.N
Amainleve´e1

SoitM0reetm`raniopnuapedΓedtt0∈R.

1teurase´peistsidanraro

3

a.

b.

1.

2.

3.

Sit0= 0, la tangente au pointAauit´rqepauoonx= 0.
Sit0∈R⋆, le pointM0neeta`aΓedalatgnupointluge´rtseontiuaeqe´Unr.ieM0est
1x−t0+ tht0
y=−
cht0sht0dia-re’e,c-`st

x−t0
y=−
sht0

N
◮sit0∈R⋆inpoauaΓtl,tatn`enaegM0coupe l’axe des abscisses en un pointN0.
Notonsx0l’abscisse deN0.x0v´ifier=e0x0sh−tt0o’D.eerjiut`x0=t0. AinsiN0a
0
pourcoordo´escarte´siennes(t00).
nne
−−−→
´
vhtLete0ct−eur1chMt00N.0eusqee´rstncoacorcon,ntdnoecnodruoparPase´isneent0−t0+ tht0−1cht0=

M0N02=k−M−0−N→0k2= th2t01h+2t0= 1
c

◮Sit0= 0, le pointM0=Atemdruoproocnnod´ees(0a1). Comme en ce point
la tangente est verticale, elle coupe l’axe des abscisses en l’origine et l’on a encore
M0N0= 1.N
Partie III. Intersection avec une famille de courbes

On noteCαlaitno:de´’qeaug´ebriqucourbeal

x2+y2−2αx= 1−α2

Soitα∈R. Pour tout (x y)∈R2,

2−α2+y2= 1−α2
2+y2= 1

x2+y2−2αx= 1−α2⇐⇒(x−α)
⇐⇒(x−α)
Ainsi,Cαest le cercle de centre Ωαα0et de rayon 1.
SoitM=M(terte)elpointdeΓdeparam`t∈R.

Mat`enitrappaCα⇐⇒

⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

(t−tht)2h+c12t2α(t−tht) = 1−α

t2−2ttht−2αt+ 2αtht+α2= 0
(t−α)(t−2tht−α) = 0
t=αout−2tht=α

SoitMetr`eamareptdelopniα∈R⋆.

Unvecteurdirecteurdelatangente`aΓaupointM(α) estx′(α y′(α)

4

2

N

N

=h2αthchαα.
t

4.


•Un vecteur normal au cercleCαau pointM(α) est Ωα−−M→α=−thαc1hα.
Clairement,cesdeuxvecteurssontcoline´aires.Parconse´quent,lestangentesenMαaux
deux courbesCαet Γ sont perpendiculaires.
Siα= 0,C0esrelcltce´t.eueinM(0) est simplement le pointA. Comme Γ admet une
tangente verticale au pointAtqeleuercceunlee´tiemdaenutgnatentehorizontaleecne
point les tangentes enAaux deux courbesCαet Γ sont perpendiculaires.N
Pour chaque valeur deαvasudsnoon,v´erueeqj`´ebsaoopnistocelssueslmmunsaux
courbes Γ etCαsont les pointsM(tuo`),tifierv´et=αout−2tht=α
Autrement dit,
Γ∩ Cα={M(t) ;t=αout−2tht=α}
Etudionslenombredesolutionsdel’e´quationt−2tht=αen fonction deα. Pour cela,
introduisons la fonctionf:R→Rdurseinfie´Rpar par

f(t) =t−2tht

fest derivable surRet pour toutt∈R
´

Parcons´equent,

f′(t)≥0

f′(t) = 1−2(1−th2t) = 2th2t−1

⇐⇒2th2t≥1
⇐⇒tht≤ −12 ou tht≥12
⇐⇒t≤ −Argth (12) out≥Argth (12)

Exprimons Argth (1’lia)2a`olagedudthri,imeielvnt
Argth (1221=)nl1 + 12!n=12l2+2−11!=21nl(1 +
1−12

Onende´duitlesvariationsdef:

x
f′

f

−∞

−∞

+

ր

− 2)ln(1 +
0
2−ln(1 +

2)

ց

0

0

ln(1 +
0

2)

2)2= ln(1 +

+

ր
ց
ln(1 + 2)−2

+∞

+∞

2)

Notonsα0=f(−Argth (12)) = 2−ln(1 + 2)≈0´thlentme`eor.3nE5qiaupalp
e
delabijectionsurchacundesintervallesconcern´es,nousobtenonslesre´sultatssuivants

5

5.

1.

2.

siα <−α0
siα=−α0
si−α0< α <0
siα= 0
si 0< α < α0
siα=α0
siα > α0

Amainlev´ee

nb de sol def(t) =α
1
2
3
3
3
2
1

nb de sol det=α
1
1
1
1
1
1
1

cardinal de Γ∩ Cα
2
3
4
3
4
3
2

N

N

`
PROBLEME 2
Danstoutleproble`me,D1etD2engnsi´eroxdeutddaceg´eom´etriquetiseffiaendslee’ps
usuelEnon coplanairesdietg´rispeedearecsvurtesriatseniu~u1et~u2O.n´etudiel’en-
semble Σ despointsMdeE,eidqu´esdnttaisD1etD2:

Σ ={M∈E

|

d(MD1) =d(MD2)}

On note
ammoc`enulucierialΔepdnpareDetD′.
H1etH2les points d’intersections respectifs
deD1etD2avec Δ
Ole milieu du segment [H1H2]

PartieI.Pr´eliminaires:distanced’unepoint`aunedroite

SoitDune droite affine de l’espaceE(dpereere`uA~). SoitM0un point deE, etH0son
projete´orthogonalsurD.
SoitN∈ Del’.Dpa`rsehTe´rothagore`emedePy, on aMON2=M0H02+H0N2. En
particulierM0N≥M0H0cgea,ev´ealitsi et seulement siN=H0.N
´
−−→
Montrons qued(M0D) =kAkM0~u∧k~uk. La norme du produit vectorielkA−−M→0∧~ukest
−−→
l’aireduparal´elogrammeconstruitsurAM0et~u:
−−
kAM→∧~uk=H M0× k~uk

Ler´esultatende´couleapr`esdivision.

6

N

3.

1.
a.

b.

Application :
SoitDuqta’de´e`emystsarleniepd´efioiterdalssi´eneennsiortca

(enuer`preerminonsD´etAu~) deD.
2xx+−yy+−zz=1=−1⇐⇒x+y+xz==

1
0

⇐⇒

x+y+z
2x−y−z

=
=

x= 0
y= 1−z

1
−1

.

Ainsi,enparam´etrantparzespouroisnapar´mteiruqstsyme`e´ed’atquono,eitbeltnD:
xyz===t10−tticunpar.Eeredpee`u,rnilreDestA001!et~u−011!.
teoionimrete´DanceduponsladistD.
CommeA−M→∧~u=311!∧−011=nitM0−−31421!!a`altekd~urk= 2, il vient
1

d(MD) = 3

PartieII.Equationcart´esiennedeΣ
\
On noteθ= (~u1~u2)∈]0 πruseledegna’onelrinot´ennteere[,lam~u1et~u2.
Les vecteurs~u1et~u2tnnutiiaer,snoda’apr`eslesta´eidentites remarquables:
´

k~u1+~u2k2=k~u1k2+k~2k2+2(~u1|~u2)
u
= 2(1 + cosθ cos) = 42(θ2)
k~u1−~u2k2=k~u1k2+k~u2k2−2(~u1|u2)
~
= 2(1−cosθ sin) = 42(θ2)

Commeθ∈]0 πil[,euqetluse´rne

k~u1+~u2k cos 2= 2θetk~u1−~u2k sin= 2θ2

~+~ ~ ~
O pose~ı=u1u2u~1−u2~
nk~u1+~u2k,=k~u1−~u2ketk=~ı∧~.
,tmeneCirla~ıet~sont unitaires, ils sont de plus orthogonaux car

~~jku~u~11++uu~~22kk~uu~11−−u~u~22k=k~uk1~u+1~uk22k−kk~u1~u2k−~u22k= 0
i=

N

N

~
Iuelteq´esulenrk(a`lanogohtrtoenemctredireainutietruveceselt~ı~).
~ ~ ~
Ainsi, la famille (~ı~ktues)esroenabro´mhtnoeedeEet par suiteR= (Oı~~k) est un
`thorm´edeE.N
repere or on

7

a.

b.

3.
a.

b.

~
Danslasuitel’espaceestrapporte´aurep`ereR= (ı~kO~).
On a par constru ,~=u1−
cti n~ı=~u1+~u2k~~u~~u22klsserpe`luat´rse.D’aquladetsonties
ok~u1+~u2ku1−
1.a, il vient
~
ı=12cos((1θθ22))u~~u112so(2s++11θ2)~~u2⇐⇒~uu~21soc=(co=s(θθ)22)ı~ı~−sni+((nisθθ2)2)~~
~ci(nn2is=θ2)u2

N
~
Comme~u1et~u2dirigent respcetivementD1etD2,k=~u1∧~u2dirige la perpendiculaire
eH1ei,elixtstient`aΔaa∈R⋆tel
cqouemmO−−uH→n1=eΔade~k.DC1temmoDe2.Ode[u,erieliimmoeclttrsaepluciEnHm]ppra−−→~
1H2, il s’ensuit queOH2=−ak.N
SoitM(upniontdecoordonn´eesx y zd)lsnaperere`eR.
Exprimezd(MD1) etd(MD2) en fonction dex y z aetθ.
Dans le RONDR, on aH10a0!etMxyz!. Par suite
H−1−M→∧~u1=z−xya!∧s(inc(osθθ)20)2!=xsin(θ−((z2z)−−−ayas()co((csonis)θθθ)))222!
Ilenre´sultequekH−1−M∧→~u1k=qz−a2+xsin(θ2)−ycos(θ2)2ˆmme.eD,eno
obtientkH−2−M→∧~u2k=z+a2+xsin(θ2) +ycos(θ2)2.
Les vecteurs~u1et~u2uetquins’els,ies´etantunitair

d(MD1) =
d(MD2) =

z−a2+xsin(θ2)−ycos(θ2)2
z+a2+xsin(θ2) +ycos(θ2)2

SoitMxyz!un point deEnorpseitdenee´´cte,`rsealuq.’dpa

M∈Σ

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

z−a2+xsin(θ2)−ycos(θ2)2
=z+a2+xsin(θ2) +ycos(θ2)2
z−a2+xsin(θ2)−ycos(θ2)2
=z+a2+xsin(θ2) +ycos(θ2)2
−2az+a2−2xysin(θ2) cos(θ2)
= 2az+ 2xysin(θ2) cos(θ2)
4xysin(θ2) cos(θ2) + 4az= 0

8

N

1.

a.

b.

2.

a.

b.

1.
2.

Ainsi,uneequationcart´esiennedeΣdanslerep`ereRrno´neeapsedt
´

(sinθ)xy+ 2az= 0

Partie III. Intersections deΣet d’un plan

N

Pour touth∈R, on notePhquatd’´eionelnalpz=h. On note Ωhle point d’intersection
dePhavec l’axe (Oz).Ph ` dt uniRh= (Ωhı~~).
es m u repere
SoitMun point dePh´enn(escodedoorx ye`errepenalsd)Rh`ereerepansl.DRles
´
qcouoerdonneesdeMsont doncMyx!Rlusestataled.Dpr’asl`er´esPartie II, il s’ensuit
h

M∈Σ∩ Ph

⇐⇒

⇐⇒

sinθxy+ 2ah= 0
2ah
=−
xysinθ

N
Σ∩ Phsetntircsanimge´rdedenoid2eS.bealcourriqug´ebenutseB2−4AC= 1>0.
D’apre`slaclassificationdescourbesalg´ebriquesdedegre´2dansleplanPhnrle,itlee´us
que Σ∩ Phest uneerbolhype.N
Pourϕ∈R, on poseuϕ= cosϕ~ı+ sinϕ~re`eidnscoonetnalpelQϕre`perede
~
~
Rϕ= (uO~ϕ k).
SoitMun point deQϕn´ons(eeecdrdoot zeerelre`p)snadRϕeScs.no´noodransleesde
tcosϕ
rep`ereRsont doncMtsinϕz!R. Par consequent
´

M∈Σ∩ Qϕ

⇐⇒sinθt2cosϕsinϕ+ 2az= 0
⇐⇒(sin 2ϕcosθ)t2+ 4az= 0

N
Σ∩ Qϕe.2e´rgededeuqirb´elgearbouecunsttsanteiminiscrSondB2−4ACa’rp0=D.s`e
laclassificationdescourbesalg´ebriquesdedegr´e2dansleplanQϕ,liluse´rneeuqet
Σ∩ Qϕest de typeelborapa.N

EXERCICE 1

Δ = 1−4 =−3<0. Γ est donc du type ellipse.
Pourd´eterminerl’´equationr´eduitedeΓ,onremarquequex2ety2ontmˆeitn.meceeocffi
Parcons´equent,onseplaced’aborddanslerep`erepolaired’angleπerlnemilirue´4op
terme rectangle :

9

˜ ˜
2
Xb22+Ya2= 1

•ract´eristiquesde´lEnemeacstΓ
SoitΩlepointduplandecoordonn´ees
admetpoure´quationcart´esienne:

3212 `. Dans le re eR˜=
per

⇐⇒

12(X−Y)2(12+X2−Y2(12)+X+Y)2−(24
23X2−9X+12Y2−1Y+ 2 = 0
2 2
32X2−3 2X1+2Y2−2+ 2 = 0
3X−2321+2Y−12 += 2 1 1 9 3
22−2222+
23X−23221+Y−12= 5
2
X−32Y−01122= 1
02+
1 3

•Eeited´eduionrquatΓ
Notons (X Ysel)es´ensdaorconndoeeler`preRπ4, alors
x=12(X−Y)
1(X+Y)
y=2
Parcons´equent,pourtoutpointMXYRπpud,nalsuonnova:s´equslesenceival
4

X−Y)−

52(X+Y) + 2 = 0

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

M∈Γ

Ωu~π4~vπ4, Γ2

10

au foyer

10,de
3

distance

b

=

•de demi-grand axea=

10, de demi-petit axe

˜ ˜
Γ2est donc l’ellipse de centre Ω et d’axe focal (Y Y′)


2 5= 2
c=a2−b3
Γ2a pour exce ricit´c2
nt ee= =
a3
Les foyers ont pour coordo ´es0±2 53
nne
˜
Lesdirectricesontpour´equationscarte´siennesY=±


`210 etb2tneuqe´sn0Parco=1
oua3.=

15.

N

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