Cours de français des sciences physiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Masse et centre d'inertie - Eléments de calcul intégral, scalaire et vectoriel

Yves Dulac

Description

Cours de français des sciences physiques de l'Ecole centrale de Pékin pour préparer les élèves chinois à l'étude de la physique en français. Ce cours est composé de 6 chapitres : (1) Présentation générale de la physique (2) Espace et temps (3) Repérage dans l'espace, coordonnées orthogonales (4) Masse et centre d'inertie ; éléments de calcul intégral, scalaire et vectoriel (5) Eléments cinétiques et dynamiques d'un système matériel (6) Modélisation des efforts sur un point matériel ; forces et moments des forces

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 42
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Chap.4-MASSE ET CENTRE D’INERTIE, ÉLÉMENTS DE CALCUL INTÉGRAL

北航中法工程师学院
ÉCOLE CENTRALE DE PÉKIN

FRANÇAIS DE LA PHYSIQUE

Étalon de masse du BIPM (BureauInternational desPoids etMesures)
Chapitre 4

MASSE ET CENTRE D’INERTIE
ÉLÉMENTS DE CALCUL INTÉGRAL
SCALAIRE ET VECTORIEL

4.1 MASSE D’UN POINT MATÉRIEL, MASSE D’UN SYSTÈME MATÉRIEL :

4.1.1 Masse d’un point matériel et étalon de masse
4.1.2 Additivité de la masse : masse d’un système matériel quelconque

4.2 ÉLÉMENTS DE CALCUL INTÉGRAL SCALAIRE

4.2.1 Définition d’une somme intégrale scalaire, notations usuelles du physicien
4.2.2 Exemple de calculs intégraux scalaires simples

4.3 CENTRE D’INERTIE D’UN SYSTÉME MATÉRIEL

4.3.1 Centre d’inertie d’un système de deux points matériels
4.3.2 Centre d’inertie d’un système matériel quelconque

4.4 ÉLÉMENTS DE CALCUL INTÉGRAL VECTORIEL

4.4.1 Définition d’une somme intégrale vectorielle, notations usuelles du physicien
4.2.2 Exemple de calculs intégraux vectoriels simples

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北航中法工程师学院 ECPKn de Français de la physique CoursYves DULAC 2006-2007
Semestre 2 Promotion 06杜 拉 克

Chap.4-MASSE ET CENTRE D’INERTIE, ÉLÉMENTS DE CALCUL INTÉGRAL

4.1 MASSE D’UN POINT MATÉRIEL, MASSE D’UN SYSTÈME MATÉRIEL :

4.1.1 Masse d’un point matériel et étalon de masse

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La massemd’un point matériel caractérise sa quantité de matière. L’étalon de masse est la masse d’un cylindre
métallique en platine iridié déposé en France, au BIPM (BureauInternational desPoids etMesures). On l’appelle le
kilogramme étalon (symbole kg). Toutes les masses se comparent au kg, dans le système international.

4.1.2 Additivité de la masse : masse d’un système matériel quelconque

On constate par principe que la masse d’un ensemble est la somme des masses de ses constituants.
De façon générale, on écrira que pour un système matérielSquelconque formé d’éléments de massedm(P) entourant
chaque pointPdu système, on peut donc généralement écrirem(S)1∫PÎSdm(P)oùdm(P).
Cette dernière notation un peu particulière se lit « la masse totale d’un système matérielSest la somme intégrale des
masses élémentaires de ses composants ».
On notera que le signe ressemble au S de « Somme ».
« Intégrale » signifie qu’il ne faut pas oublier d’éléments pour calculer la masse totale.
Sommer intégralement, c’est sommer sans rien oublier !

Dans le paragraphe suivant, nous allons apprendre quelques techniques simples pour « sommer intégralement », pour
faire du « calcul intégral », pour calculer « des sommes intégrales ».

4.2 ÉLÉMENTS DE CALCUL INTÉGRAL SCALAIRE

4.2.1 Définition d’une somme intégrale scalaire, notations usuelles du physicien

On va raisonner sur l’exemple du calcul de la masse d’un système composé pour comprendre les bases du calcul intégral
scalaire.
4.2.1.a) Notation des éléments de massedm(P) du système matérielS

Le systèmeSpoint matériel ou être composé d’un nombre fini de points matériels ou d’un nombrepeut se réduire à un
infini dénombrable de points matériels, séparés les uns des autres. Dans ce cas là les points matériels forment une
« distribution discrète ».

Le systèmeSpeut être composé d’un nombre infini de points matériels non séparés les uns des autres. Ils forment une
« distribution continue ».
Cette distribution continue peut s’organiser sur une courbe (9) : on parle alors de distribution continue linéïque.
Cette distribution continue peut s’organiser sur une surface (S) : on parle alors de distribution continue surfacique.
Cette distribution continue peut s’organiser dans un volume (V) : on parle alors de distribution continue volumique.

Dans tous les cas de système matérielSéléments de masse entourant le point, on décompose en Pquelconque deS.
Cet élément estdm(P) et il vaut

·m(Ples système matériel se réduit à un point matériel unique) si


m



·mi(Pile système matériel est formé de) si N(éventuellement infini) de pointsPiséparés de massemi

1
m1m 33
m

2
m4 2m4


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·l(P)dl(P) si le système est une courbe matérielle (9) formée d’éléments de longueurdl(P) (exprimée en m).
l(P) est alors la masse linéïque au pointP
Sil(P) ne dépend pas de P, on dit que la distribution linéïque est « homogène ».



dl(P)

dm( )


·Μ(P)dS(P) si le système est une surface matérielle (S) formée d’éléments de surfacedS(P) (exprimée en m2).
Μ(P) est alors la masse surfacique au pointP
SiΜ(Pla distribution surfacique est « homogène ».) ne dépend pas de P, on dit que

dm(P)
dS(P)



·Λ(P)dΝ(P) si le système est un volume matériel (V) formé d’éléments de volumedΝ(P) (exprimée en m3).
Λ(P) est alors la masse volumique au pointP
SiΛ(P) ne dépend pas de P, on dit que la distribution volumique est « homogène ».


dΝ(P)

dm(P)



4.2.1.b) Notation de la somme intégrale des masses élémentaires

De même, par convention, la masse totale du systèmeS, sans oublier de masses composantes est donc la « masse
1
intégrale » notéem(S)∫PÎSdm(P).
Elle peut se comprendre comme

·m(S) =m(P) si le système matériel se réduit à un point matériel unique
N
·m(S)1∑mi(Pi) si le système matériel est formé deN(éventuellement infini) pointsPiséparés de massemi
i11
·m(S)1∫l(P)dl(P) si le système est une courbe matérielle (9)
PÎ9
·m(S)1∫∫PÎSΜ(P)dS(P) si le système est une surface matérielle (S)
S 1Νsi le sy
·m( )∫∫∫PÎVΛ(P)d(P est un volume matériel () stèmeV)

Nous utiliserons maintenant cette convention de sommation, pardéfinition de la masse totale
m(S)1∫PSdm(P) Dans chaque cas particulier, on écrira la bonne formule.
Î

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4.2.2 Exemple de calculs intégraux scalaires simples

4.2.2.a) Masse d’une distribution de masse continue homogène

Si la distribution est linéïque, alorsm(S)1∫(P)dl(P)1∫ldl(P)1l∫dl(P)l1Lcarl(P) indépendant dePpeut
PÎ9PÎ9PÎ9
être mis en facteur dans la somme. Il suffit alors de calculer la longueur totaleL9de la courbe9.
Si la distribution est surfacique, alorsm(S)1∫∫PÎS(P)dS(P)1∫∫PÎSΜdS(P)1Μ∫∫PÎSdS(P)Μ1SScarΜ(P)
indépendant dePalors de calculer la surface totalepeut être mis en facteur dans la somme. Il suffit SSde la surfaceS.
Si la distribution est lvolumique, alorsm(S)1∫∫∫PÎV(P)dΝ(P)1∫∫∫PÎVΛdΝ(P)1Λ∫∫∫PÎVΝd(P)1ΛVcarΛ(P)
indépendant dePpeut être mis en facteur dans la somme. Il suffit alors de calculer le volume totalVVdu volumeV.

Ainsi pour un cercle homogène de rayonR,M2ϑR
Pour un disque homogène de rayonR,MϑR²
Pour une boule homogène de rayonR,M134