Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Polynômes

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Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction
Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Polynômes
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ECS 1
POLYNOMES   Dans tout le chapitre,K désignera soit, soit. On remarquera que dans les deux casKde polynômes à coefficients réels ou complexes.. On parlera I - Généralités 1) Fonctions monômes Définition : Une fonctionfest une fonction monôme s’il existe un entiernet un élémentaKtels que :xK f(x)=axn. Sia=0 alorsxK f(x)=0 . On dira quefest le monôme nul. , Réciproquement, sixK f(x)=0 , alorsa=f(1)=0 . Sia0 , alors on peut remarquer quea etn uniques. En effet, supposons que sontf admette deux décompositions :xK f(x)=axn=bxpavecaetbnon nuls. Tout d’abord on remarque quea=b=f Si(1) .np, l’un d’eux est plus petit que l’autre, par exemplep<n. Or :xK xn=xp, doncxxn=xp, donc x*xnp=1. Or c’est impossible carnp> 20 , doncnp>1 . Définition : Sifest une fonction monôme non nul, il existe un unique entiernet un uniqueaKtels que :xK f(x)=axn. L’entiernest le degré du monôme et amonôme. Par convention, le degré du monôme nul estle coefficient du −∞. Notation : La fonction monômeest notéeX, et doncxxnest notéeXn. Donc tout monôme non nul s’écrit de manière uniqueaXnavecaetnuniques. 2) Fonctions polynômes Définition : Une fonctionPest une fonction polynôme si c’est la somme d’un nombre fini de fonctions monômes. Si toutes les fonctions monômes sont nulles, alorsxK P(x)= On dira que0 .P est le polynôme nul. Sinon, comme c’est une somme finie, on désigne parn le plus haut des degrés des monômes non nuls. Donc il existe un entiern et des coefficients réels ou n complexes (a0,a1,...,an)Kn+1avecan0 tels que :xK P(x)=akxk. k=0 Montrons par récurrence surnquePne peut pas être le polynôme nul. Initialisation évidente pourn=0 . Hérédité : On suppose, pourn coefficients (, que s’il existe desa0,a1,...,an)Kn+1 n avecan que :0 telsxK Pn(x)=akxk, alorsPnn’est pas le polynôme nul. k=0 Montrons la propriété pourn+1. SoitPn+1un polynôme tel qu’il existe des coefficients n+1 (b0,b1,...,bn+1)Kn+2 avecbn+1 :0 vérifiantxK Pn+1(x)=bkxk. Montrons k=0 en raisonnant par l’absurde quePn+1n’est pas le polynôme nul. Supposons quexK Pn+1(x)=0. Donc en particulier,Pn+1(0)=0 , doncb0=0 .
Polynômes - 2 - ECS 1 n+1n+1n DoncxK Pn+1(x)=bkxk=xQ(x) avecxK Q(x)=bkxk1=bj+1xj. k=1k=1j=1 OrxK xQ(x)=0 . DoncxK{0}Q(x)=0 et par continuitéQ(0)=0 . Orbn+10 . Donc d’après l’hypothèse de récurrence,Qn’est pas le polynôme nul. On a donc une contradiction, doncPn+1n’est pas le polynôme nul. Théorème : Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. La conséquence est l’unicité de l’entiernet des coefficients. n p En effet, supposons deux décompositions :xK P(x)=a xk=bkxk. On a k k=0k=0 Max(n,p) donc en complétant éventuellement par des zéros :xK(akbk)xk=0 . k=0 C’est le polynôme nul, donc tous les coefficients sont nuls. Donc : k0, Max(n,p)ak=bk. Or sinp, c’est impossible pourk=Max(n,p) puisque l’un est nul et pas l’autre. Doncn=pet tous les coefficients sont égaux. Définition : SiPest une fonction polynôme non nulle, il existe un unique entiern et des coefficients uniques (a0,a1,...,an)Kn+1 avecan0 tels que : n xK P(x)=akxk. L’entiern est le degré du polynôme et (a0,a1,...,an) les k=0 coefficients du polynôme. Par convention, le degré du polynôme nul est−∞. On en déduit l’égalité de deux polynômes. Théorème : Deux polynômes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients. n Notation : Tout polynôme s’écrit de manière unique sous la formeP=akXk ou k=0 n P(X)=akXkavecan0 . On effectue les calculs sur les polynômes formels. k=0 Par exemple : (3X25X+4)(2X+1)=6X37X2+3X+4 . 3) Opérations Définition : On appelleK[X des polynômes à coefficients dans] l’ensembleK.  On appelleKn[X des polynômes de degré inférieur ou égal à] l’ensemblen. On peut définir dansK[X opérations analogues à celles des fonctions.] des Théorème : Siλ ∈Ket siPetQappartiennent àK[X] , alors :  Le produitλPest un polynôme et d°(P)=d°(P) siλ ≠0 . .  La sommeP+Q dest un polynôme et°(P+Q)Max[d°(P), d°(Q)]  Le produitPQest un polynôme et d°(PQ)=d°(P)+d°(Q) .  La composéePQest un polynôme et d°(PQ)=d°(P)×d°(Q) . p q SoientP=akXketQ=bkXkles deux polynômes avecap0 etbq0 . k=0k=0 p  La première est évidente carλP=λakXketλap0 carλ ≠0 etap0 . k=0
Polynômes - 3 - ECS 1  Soitr=Max[d°(P), d°(Q)] . En ajoutant éventuellement des zéros, on peut r r r écrire :P+Q=akXk+bkXk=(ak+bk)Xk d. Donc°(P+Q)r. k=0k=0k=0 Mais l’égalité n’est vraie que siar+br0 . PQ=pa Xkqb XkaibjXi j. Le terme de plus grand haut degré  k=0kk=0k=0ip+ 0jq correspond ài=petj=q. Donc d°(PQ)=p+qcarapbq0 . =p=pjqk  PQk=0akQkk=0akj=0bjX. Le terme de plus haut degré est obtenu pour j=qdansj=q0bjXjp. C’estap(bq)p(Xq)p. Donc d°(PQ)=pqcarap(bq)p0 . Remarque : Ces propriétés restent valables pour le polynôme nul. II – Division euclidienne 1) Théorème fondamental Il est à rapprocher et à distinguer de celui de la division des entiers. Théorème : Pour tous les polynômesAetBavecB0 appartenant àK[X] , il existe un unique couple (Q,R) de polynômes appartenant àK[X que :] tels     BQ+R avecR= °0 ou d<d °B = Qest le quotient etRle reste de la division euclidienne deAparB. Démonstration de l’existence : SiA= °0 ou dA<d °B, alorsA=B×0+A, donc (Q,R)=(0,A solution. Il reste donc le cas où) estA0 et d °Ad °B. p On noteB=bkXket on raisonne par récurrence forte sur le degréndeA(np).  k=0 p Initialisation : Sin=p, alors=akXk. k=0 ap papk Donc= X a bA B  bp=k=0kbpkest un polynôme nul ou de degréq<pcar t de rangk=p :est nul. Dap le coefficien oncA=B+RavecR= °0 ou d<d °B. bp solution est donc (Q,R) avecap Une= Qbp. Hérédité : Soit un entiernptel que pour tout polynômeAavec d °An, il existe un couple (Q,R polynômes tels que :) de=BQ+RavecR= °0 ou d<d °B. n+1 SoitAun polynôme de degrén+1 :A=akXk. On considère le polynôme : k=0 n+1p n+1n+1 C=Abapn+1Xn+1pB=kakXknap+b1kbnkX+1pk+=kkakXanbp+j1njpbn− −p+jX 1 =0=0=0= +1C’est un polynôme nul ou de degré inférieur ou égal àn+1 dont le coefficient du terme de rangn+1 estan+1abpn+1bp=0 . DoncC=0 ou d °Cn.
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Donc il existe un couple (Q1,R1) de polynômes tels que :C=BQ1+R1 avecR1=0  ou d °1<d °B. DoncA=bapn+1Xn+1pB+C=Bnapb+1Xn+1p+Q1+R1. Cela prouve l’existence du couple (Q,R °) lorsque dA=n+1 . Conclusion : L’existence du couple (Q,R démontrée pour tout entier) estnp. Démonstration de l’unicité : On suppose qu’il existe deux couples solutions : A=BQ1+R1=BQ2+R2avec21==d °o  u 0  0  uo°dRR21<<d°°dBB. DoncB(Q1Q2)=R2R1. Or siQ1Q2, ce qui implique1R2, alors ° dB(Q1Q2)=d °B+d °(1Q2Q), donc d °B(Q1Q2)d °B °( d, ce qui est impossible car2R1)<d °B. DoncQ1=Q2, ce qui implique1=R2. L’unicité est démontrée. 2) Calcul pratique
On dispose les calculs comme pour diviser des entiers. Exemple 1: Division deA=3X3+4X22X5 par=X+1 3X3+4X22X5X+1 3X3+3X2 3X2+X3              X22X5               X2+X                     3X5  3X3 − −                                         2 Le quotient estQ=3X2+X3 et le reste est= −2 . Donc 3X3+4X22X5=(X+1)(3X2+X3). Exemple 2: Division deA=X35X2+3X1 par=X2X X2X+1 X35X2+3X1 X3X2+X X4        4X2+2X1  4X2+4X4                 2X+3             Le quotient estQ=X4 et le reste estR= −2X+3 . DoncX35X2+3X1=(X2X+1)(X4)2X+3. Exemple 3: Division deA=2X35X2+X+2 par=X1 2X35X2+X+2X1 2X32X2 2X23X2          3X2+X+2          3X2+3X                     2X+2                     2X+2  0 Le quotient estQ=2X23X le reste est2 etR=0 .
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Polynômes 5 - ECS 1 -Donc 2X35X2+X+2=(X1)(2X23X2). 3) Multiples et diviseurs Définition : Un polynômeB un diviseur d’un polynôme0 estA, ce qui équivaut à dire queAest multiple deBreste de la division euclidienne de, si le AparBestR=0 . On dit queAest divisible ou factorisable parB:QK[X]A=BQ. Définition : Un polynôme est irréductible s’il n’admet pas de diviseurs de degré supérieur ou égal à 1. Attention : Le polynômeX2+1 est irréductible dans[X] , mais pas dans[X] puisque :X2+1=(Xi)(X+i) .
 
4) Cas particulier Soitα ∈K,Pun polynôme deK[X] etB=X− α. Dans la division euclidienne deP parB, il existe un unique couple (Q,R) de polynômes tels que :P=(X− α)Q+R avecR=0 ou d °R<1. DoncR un est polynôme constant (nul ou pas) :=r. DoncxK P(x)=(x− α)Q(x)+r. DoncP(α)=r. Théorème : Pour toutα ∈K tout polynôme etPK[X] , il existe un unique polynômeQK[X] tel queP=(X− α)Q+P(α). La division euclidienne peut être utilisée pour calculerP(α) . Dans le cas de la division par (X− α) , on peut adopter une autre disposition. Exemple: Division deP=3X54X4+X25X+2 par (X2) . 3X54X4+X25X+2X2 3X56X4 3X4+2X3+4X2+9X+13  2X4+X25X+2 2X44X3           4X3+X25X+2 3  4X8X2  9X25X+2  9X218X  13X+2  13X26  28 Donc : 3X54X4+X25X+2=(X2)(3X4+2X3+42X+9X+13)+2 . Méthode de Hörner : Dans la première ligne, on copie les coefficientsakdePsans oublier les zéros. Dans la deuxième ligne, on calcule les coefficientsbk deQ d. Si °P=n, alors d °Q=n1. Il y a donc une case inutilisée à droite qui contiendraP(α) . an an1 an2 …a2 a1 a0 bn1 bn2 bn3 …b1 b0 P(α) On a pour premier coefficient :bn1=an. Ensuite, les autres coefficients sont calculés de proche en proche :bk=ak+1+ αbk+1.  
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C’est le calcul effectué dans la divisionak+1 é par : euclidienne schématisbk+1 bk La dernière case est remplie par :P(α)=a0+ αb0. Dans l’exempleα = donc pour tout2 ,k:bk=ak+1+2bk+1 3 4 15  0 2 3 2 4 9 328  1 Donc : 3X54X4+X25X+2=(X2)(3X4+2X3+42X+9X+13)+2 . Mais cette méthode ne fonctionne que pour la division par (X− α) .
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III – Racines 1) Définition et caractérisation Définition : Un élémentαdeKest racine d’un polynômePsiP(α)=0 . Or on a vu que :∀α ∈K P=(X− α)Q+P(α) . On en déduit la caractérisation suivante : Théorème : Un élémentα deK racine d’un polynôme estP si et seulement siP est divisible par (X− α) . On utilise en général ce théorème pour factoriser un polynôme. SiP possède deux racines distinctesα1 etα2, alorsP est ( divisible parX− α1) : P=(X− α1)Q1 etP(α2)=(α2− α1)Q1(α2)=0, doncQ1(α2)=0 , doncα2 est racine deQ1, doncQ1 (est divisible parX− α2) . Donc :P=(X− α1)(X− α2)Q2. Conséquence : Un polynôme de degrénpossède au plusnracines distinctes.
  
2) Ordre de multiplicité d’une racine Il peut arriver queαsoit racine deP, donc queP=(X− α)QavecQ(α)= ce qui0 , entraîneQ=(X− α)R, et doncP=(X− α)2R. Exemple:P=X3+X25X+3=(X1)(X2+2X3)=(X21) (X+3 . Définition : On appelle ordre de multiplicité d’une racineαd’un polynômePle plus grand entiermtel queP (soit divisible parX− α)m. Cela revient à dire queP=(X− α)mQavecQ(α)0 . On peut remarquer que : '111 P=m(X− α)mQ+(X− α)mQ'=(X− α)m[mQ+(X− α)Q']=(X− α)mQ1 avecQ1(α)=mQ(α donc) ,Q1(α)0 . Doncαest racine d’ordrem1 deP'=P(1). On peut donc recommencer :αest racine d’ordrem2 deP"=P(2), racine d’ordre m3 deP(3), …, racine d’ordre 1 deP(m1), mais pas racine deP(m). Réciproquement, supposons queαsoit racine deP, deP'=P(1), deP"=P(2), …, de P(m1), mais pas racine deP(m). Si on effectue la division deP par (X− α)m, on obtient :P=(X− α)mQ+Ravecd°R<m. Donc en dérivantkfois :k0,m1P(k)=[(X− α)mQ](k)+R(k). Or d’après l’étude précédente :k0,m1[(X− α)mQ](k)(α)=0 donc avec l’hypothèse :k0,m1R(k)(α)=0 . Or(k)est un polynôme dont le degré estd°Rk. Donc(m1)est constant. OrR(m1)(α)=0 DoncR(m1)=0 . . Donc(m2)est constant etR(m2)(α)=0 . DoncR(m2)=0 …
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