Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Suites numériques

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Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction
Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Suites numériques - 1 - ECS 1
SUITES NUMERIQUES

I – Suites numériques usuelles
Dans tous les théorèmes, pour ne pas surcharger les notations, les suites seront définies
sur , mais dans les exemples, elles seront parfois définies sur *. Dans le cas des
suites arithmétiques et géométriques, les deux expressions du terme général sont
données. Et comme les autres suites les utilisent, la transposition se fera facilement.
1) Rappels sur les suites arithmétiques
Définition : Une suite (u ) est arithmétique s’il existe un réel b tel que : n
∀n∈ u = u + b . Le réel b est la raison de la suite arithmétique. n+1 n
Le réel b ne dépend pas de n. Les suites arithmétiques sont donc caractérisées par le
fait que la différence de deux termes consécutifs est constante.
En raisonnant par récurrence, on démontre le théorème suivant :
Théorème : Si la suite (u ) est arithmétique de raison b, alors : n
• si le premier terme est u , alors : u = u + nb . ∀n∈0 n 0
• si le premier terme est u , alors : u = u + (n−1)b . ∀n∈ *1 n 1
Plus généralement, pour tous les entiers n et p, on a : u = u + (n− p)b . n p
En effet : u = u + nb et u = u + pb , donc u − u = (n− p)b . n 0 p 0 n p
Cette formule permet de retrouver les deux expressions du terme général données
précédemment.
2) Rappels sur les suites géométriques
Elles sont analogues aux suites arithmétiques en remplaçant l’addition par la
multiplication.
Définition : Une suite (u ) est géométrique s’il existe un réel tel que : a≠ 0n
∀n∈ u = au . Le réel a est la raison de la suite géométrique. n+1 n
Le réel a ne dépend pas de n. Les suites géométriques sont donc caractérisées par le
fait que le quotient de deux termes consécutifs est constant (dans le cas où les termes
de la suite sont non nuls).
En raisonnant par récurrence, on démontre le théorème suivant :
Théorème : Si la suite (u ) est géométrique de raison a, alors : n
n
• si le premier terme est u , alors : u = a u . ∀n∈ n 00
n−1
• si le premier terme est u , alors : ∀n∈ * u = a u . n 11
n− pPlus généralement, pour tous les entiers n et p, on a : u = a u n p
n nu a u an p n 0 n− pEn effet : u = a u et u = a u , donc = = = a . n 0 p 0 p pu a u ap 0
Le calcul est analogue si le premier terme est u . 1
3) Suites arithmético-géométriques
Ces deux types de suites permettent d’étudier un cas un peu plus général que l’on
rencontre souvent en probabilités :
Définition : Une suite (u ) est arithmético-géométrique s’il existe des réels a et b n
( a≠ 0 ) tels que : ∀n∈ u = au + b . n+1 n
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eeSuites numériques - 2 - ECS 1
Les réels a et b sont constants (indépendants de n).
Si a= 1, la suite est arithmétique de raison b.
Si b= 0 , la suite est géométrique de raison a.
Dans tous les autres cas, elle n’est ni arithmétique, ni géométrique, et donc ne possède
pas de raison ! On va déterminer l’expression de son terme général.
Soit (u ) une suite arithmético-géométrique définie par son premier terme u et la n 0
relation de récurrence : ∀n∈ u = au + b avec a≠ 1. n+1 n
On commence par résoudre l’équation x= ax+ b . Puisque a≠ 1, cette équation
b
possède une unique solution α= appelée point fixe de la suite. Donc α= aα+ b .
1− a
On introduit alors une suite auxiliaire en posant : ∀n∈ v = u −α . Donc : n n
∀n∈ v = u −α= (au + b)− (aα+ b)= au + b− aα− b= a(u −α)= av . n+1 n+1 n n n n
Donc la suite (v ) est une suite géométrique de raison a. n
nDonc d’après les résultats sur les suites géométriques : ∀n∈ v = a v . n 0
On connaît u , donc on peut en déduire v = u −α , et donc l’expression de v . 0 0 0 n
Et on calcule u en remarquant que : ∀n∈ u = v +α . n n n
Théorème : Si (u ) est une suite arithmético-géométrique définie par u et n 0
∀n∈ u = au + b avec a≠ 1, l’équation x= ax+ b possède une unique solution n+1 n
α appelée point fixe de la suite et la suite de terme général v = u −α est n n
géométrique de raison a.
La méthode d’étude est donc :
- Déterminer le réel α (point fixe) qui vérifie α= aα+ b .
- Définir la suite de terme général v = u −α . Elle est géométrique de raison a. n n
- En déduire l’expression de v en fonction de n. n
- En déduire l’expression de u en fonction de n. n
Exemple : La suite définie par u = 1 et ∀n∈ u = 3u − 4 est arithmético-0 n+1 n
géométrique avec a= 3 et b=−4 .
Son point fixe α est solution de . Donc . x= 3x− 4 α= 2
On introduit alors une suite auxiliaire en posant : ∀n∈ v = u − 2.
n n
La uite de terme général v est une suite géométrique de raison 3 (mais pas u ). n n
nDonc d’après les résultats sur les suites géométriques : ∀n∈ v = 3 v . n 0
nOr ∀n∈ v = u − 2. Donc v = u − 2= 1− 2=−1. Donc ∀n∈ v =−3 . nn n 0 0
Et d’après ce qui précède : ∀n∈ u = v + 2 .
n n
nDonc l’expression du terme général de la suite est : ∀n∈ u = 2− 3 . n
4) Suites vérifiant une récurrence linéaire d’ordre 2
Définition : Une suite (u ) vérifie une récurrence linéaire d’ordre 2 s’il existe des n
réels a et b tels que : ∀n∈ u = au + bu avec b≠ 0 . n+2 n+1 n
Les réels a et b sont indépendants de n. On supposera b≠ 0 , sinon la suite est géométrique.
La première fois où l’on peut utiliser la relation est : u = au + bu . Donc pour n= 0 2 1 0
définir la suite, il faut donner ses deux premiers termes.
Pour déterminer l’expression du terme général u , on va se ramener à des suites n
géométriques.
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eeSuites numériques - 3 - ECS 1
Soit q un réel. On introduit la suite de terme général : v = u − qu . n n+1 n
2Donc : v = u − qu = (a− q)u + bu = (a− q)v + (aq− q + b)u . n+1 n+2 n+1 n+1 n n n
2Donc si q = aq+ b , la suite (v ) est géométrique de raison (a− q) . n
2
Définition : L’équation x = ax+ b est appelée équation caractéristique associée à
cette récurrence linéaire d’ordre 2.
2Cette équation a pour discriminant : Δ= a + 4b .
er
1 cas : Δ> 0 .
L’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes q et q . 1 2
Donc on peut construire deux suites géométriques :
• La suite de terme général v = u − q u est géométrique de raison a− q = q . n n+1 1 n 1 2
• La suite de terme général w = u − q u est géométrique de raison a− q = q . n n+1 2 n 2 1
n n
q v − q wv − w 0 0n n n n 2 1 n nDonc : v = q v et w = q w . Or : u = = =αq +βq . n 0 n 0 n2 1 1 2q − q q − q
2 1 2 1
2Théorème : Si , alors l’équation caractéristique possède deux Δ> 0 x = ax+ b
racines réelles distinctes q et q . Alors pour toute suite (u ) qui vérifie 1 2 n
∀n∈ u = au + bu , il existe des coefficients réels α et β uniques tels que : n+2 n+1 n
n n . ∀n∈ u =αq +βqn 1 2
q u − u q u − u2 0 1 1 0 1L’unicité vient des conditions initiales car : α= et β= .
q − q q − q
2 1 1 2
Exemple : On considère la suite définie par u = 1, u =−2 et par la relation de 0 1
récurrence : ∀n∈ u = 5u − 6u . n+2 n+1 n
L’équation caractéristique a deux racines distinctes 2 et 3.
n n
Donc : ∀n∈ u = 5× 2 − 4× 3 . n
ème
2 cas : Δ< 0 .
Le raisonnement est identique au précédent mais dans .
Donc, d’après la démonstration précédente, il existe deux complexes uniques et μ λ
n niθ −niθ ntels que : u = r (λe +μe )= r [(λ+μ)cos nθ+ i(λ−μ)sin nθ]. n
n −niθ niθOr u est réel. Donc u = u = r (λe +μe ) . Donc par unicité, λ=μ et μ=λ .
n n n
2Donc et μ sont complexes conjugués : λ= x+ iy et μ= x− iy où (x, y)∈ . λ
nDonc : u = r (α cos nθ+βsin nθ) où α= 2x=λ+μ et β=−2y= i(λ−μ) . n
2
Théorème : Si Δ< 0 , alors l’équation caractéristique x = ax+ b possède deux
iθ −iθracines complexes conjuguées q = re et q = re . Alors pour toute suite (u ) qui 1 2 n
vérifie ∀n∈ u = au + bu , il existe des coefficients réels α et β uniques n+2 n+1 n
ntels que : ∀n∈ u = r (α cos nθ+βsin nθ) . n
L’unicité de α et β vient des conditions initiales car : u =α et
0
u − ru cosθ1 0u = r(α cosθ+βsinθ) et donc α= u et β= car sinθ≠ 0 . 1 0
sinθ
Exemple : On considère la suite définie par u = 2 , u = 4 et par la relation de 0 1
récurrence : ∀n∈ u = 2u − 2u . n+2 n+1 n
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eeSuites numériques - 4 - ECS 1
iπ 4 −iπ 4L’équation caractéristique a deux racines distinctes 1+ i= 2e et 1− i= 2e .
nπ nπ nDonc : u = 2( 2) cos + sin . ∀n∈ n  
4 4 
ème3 cas : Δ= 0 .
2aa 2L’équation caractéristique a une racine double q= . Or Δ= 0 donc b=− =−q .
2 4
On peut remarquer que q≠ 0 car sinon, on aurait a= b= 0 et ∀n≥ 2 u = 0 . n
La suite de terme général v = u − qu est géométrique de raison a− q= q . n n+1 n
u u vn n n+1 n 0Donc v = q v . Donc : u = qu + q v . Donc : = + . n 0 n+1 n 0 n+1 n qq q
u vn 0Donc la suite de terme général w = est arithmétique de raison . n n qq
v0 nDonc : w = w + n =αn+β . Donc : u = (αn+β)q . nn 0
q
2
Théorème : Si Δ= 0 , alors l’équation caractéristique x = ax+ b possède une racine
double q. Alors pour toute suite (u ) qui vérifie ∀n∈ u = au + bu , il n n+2 n+1 n
n
existe des réels α et β uniques tels que : ∀n∈ u = (αn+β)q . n
L’unicité de α et β vient des conditions initiales car : u =β et u = q(α+β) et
0 1
u − qu1 0donc β= u et α= . 0
q
Exemple : On considère la suite définie par u = 1, u = 6 et par la relation de 0 1
récurrence : ∀n∈ u =−4u − 4u . n+2 n+1 n
L’équation caractéristique a une racine double (−2) .
n
Donc : ∀n∈ u = (1− 4n)(−2) . n
II – Généralités sur les suites numériques
1) Définition
Définition : Une suite numérique est une application u d’une partie I non vide de
dans . L’image u(n) de l’entier n est notée u et appelée terme général de la suite. Et n
cette suite est notée (u ) ou plus simplement (u ) . n n∈I n
En général, I= ou I=* , ou au pire un intervalle Pn ,+∞P de . 0
On ne s’intéressera ici qu’aux suites de réels. Mais en fin de chapître, on dira quelques
mots des suites de complexes.
Une suite numérique est donc une fonction numérique dont l’ensemble de définition
est une partie I de (en général ou *). Donc de nombreuses définitions et
propriétés des fonctions restent valables pour les suites. Par contre, toutes les notions
ne pourront pas être utilisées, puisque certaines, comme la dérivation par exemple,
nécessitent que l’ensemble de définition soit un intervalle ouvert de . On sera donc
parfois amenés à utiliser des méthodes différentes. On peut également remarquer que,
puisque est une succession de points isolés, on ne pourra pas chercher des limites en
un point, et donc que la seule limite à laquelle il sera légitime de s’intéresser sera la
limite quand n tend vers +∞ .
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2) Modes de définition d’une suite
Il existe plusieurs manières de définir une suite numérique.
n 2 −n
• Exemple 1 : u = ou u = ln(n +1) ou u = e . Le terme général u est de n n n n
n+1
la forme : u = f (n) où f est une fonction définie sur un intervalle ou une réunion n
d’intervalles de . Les propriétés de f (sens de variation, limites, …) permettront
d’étudier la suite numérique.
n n
4
• Exemple 2 : u = n!= k ou u = k . Le terme général u est exprimé en n ∏ n ∑ n
k=1 k=1
fonction de n, mais la suite n’est pas la restriction à d’une fonction. C’est en
particulier le cas lorsque u est défini par une somme ou un produit. Pour étudier n
la suite, on sera soit amené à transformer l’expression de u pour se ramener au n
cas précédent, soit amené à étudier les propriétés de chaque terme de la somme ou
du produit. Ce cas fera l’objet d’un autre chapître (étude des séries).
n
• Exemple 3 : L’équation ln(x+1)= x possède une unique solution u dans n
]0,+∞[ . On connaît en fonction de n l’existence de u , mais on ne dispose pas de n
l’expression de u . On dit que la suite est définie de manière implicite. n
• Exemple 4 : u = 1 et ∀∈ u = 3u + 4 ou u = ln(2+ u ) . On donne le 0 n+1 n n+1 n
procédé de calcul du terme général u en fonction des termes précédents u , n n−1
u ,… et on précise les premiers termes de la suite. On dit alors que la suite est n−2
définie par récurrence. L’exemple le plus courant est celui où u = f (u ) . Et n+1 n
l’étude des propriétés de f permettra l’étude de la suite.
3) Sens de variation
On supposera dans ce qui suit que la suite est définie sur . La suite sera donc
croissante si pour tous n et p de vérifiant n≤ p , alors u ≤ u . Donc si la suite est n p
croissante : ∀n∈ u ≤ u . Réciproquement, on voit que si cette propriété est n n+1
vérifiée et si n≤ p : u ≤ u ≤ u ≤ ...≤ u . La condition est donc suffisante. n n+1 n+2 p
Définitions : La suite ( u ) est : n
• croissante si ∀n∈ u ≤ u , c’est-à-dire si ∀n∈ u − u ≥ 0 . n n+1 n+1 n
• décroissante si ∀n∈ u ≥ u , c’est-à-dire si ∀n∈ u − u ≤ 0 . n n+1 n+1 n
• monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
• constante si ∀n∈ u = u . n n+1
• stationnaire s’il existe un rang p tel que pour tout n≥ p : u = u . n p
Une suite peut aussi être croissante ou décroissante à partir d’un rang p.
Pour étudier le sens de variations d’une suite, on étudie donc le signe de (u − u ) n+1 n
en se souvenant que n appartient à I, donc à , et donc que n≥ 0 .
n n+1 n −1
Exemple : u = . Donc u − u = − = . ∀n∈ n+1 nn
n+1 n+ 2 n+1 (n+1)(n+ 2)
Donc u − u ≤ 0 . La suite (u ) est décroissante. ∀n∈ n+1 n n
On peut aussi remarquer que si f est une fonction monotone sur un intervalle de
contenant I, la suite définie par ∀n∈ I u = f (n) a le même sens de variations que f. n
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En effet, par exemple si f est croissante : ∀n∈ n< n+1, donc f (n)≤ f (n+1) ,
donc u ≤ u . n n+1
2 2Exemple : u = ln(n +1) . La fonction définie par f (x)= ln(x +1) est ∀n∈ n
2x
f '(x)=croissante sur [0,+∞[ car , donc la suite ( u ) est croissante. n2
x +1
Remarque : La réciproque est fausse : la suite peut être monotone sans que la fonction
2le soit. Par exemple : u = n − n . n
4) Majoration et minoration d’une suite
Les définitions sont les mêmes que pour les fonctions.
Définitions : La suite est majorée s’il existe un réel M tel que : ∀n∈ u ≤ M . n
La suite est minorée s’il existe un réel m tel que : ∀n∈ u ≥ m . n
La suite est bornée si elle est majorée et minorée.
n
Exemple : u = . On sait que , donc 0≤ u ≤ 1. La ∀n∈ ∀n∈ 0≤ n≤ n+1n n
n+1
suite ( u ) est bornée par 0 et 1. n
On peut aussi remarquer que si f est une fonction bornée sur un intervalle de
contenant I, la suite définie par ∀n∈ I u = f (n) admet les mêmes bornes que f. n
−n −xExemple : ∀n∈ u = e . La fonction définie par f (x)= e est bornée sur n
−x[0,+∞[ : x≥ 0 , donc − x≤ 0 , donc 0≤ e ≤ 1. La suite ( u ) est bornée par 0 et 1. n
2 2Exemple : ∀n∈ u = ln(n +1) . La fonction définie par f (x)= ln(x +1) est n
croissante sur [0,+∞[ , donc minorée par f (0)= 0 . La suite ( u ) est minorée par 0, n
non majorée car lim f (x)=+∞ , donc u augmente indéfiniment si n augmente. n
x→+∞
Remarque : La réciproque est fausse : une suite peut être majorée ou minorée sans que
1
la fonction le soit. Par exemple : u = . n
2n−1
Théorème : Toute suite croissante est minorée par son premier terme.
Toute suite décroissante est majorée par son premier terme.
5) Opérations sur les suites
La somme de deux suites (u ) et (v ) est la suite (u + v ) . n n n n
Le produit de la suite (u ) par le réel α est la suite (αu ) . n n
Le produit de deux suites (u ) et (v ) est la suite (u v ) . n n n n
 u nLe quotient de deux suites (u ) et (v ) est la suite   . n n  v n
Une combinaison linéaire de (u ) et (v ) est une suite de la forme (αu +βv ) . n n n n
III- Convergence ou divergence d’une suite réelle
1) Suites convergentes
Pour tout n∈ , u est défini. Donc quand on parle d’une limite d’une suite, c’est la n
limite de u quand n tend vers +∞ . n
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Définition : Une suite (u ) est convergente s’il existe un réel l tel que l’on puisse n
rendre u −l aussi petit que l’on veut à condition de prendre n suffisamment grand : n
pour tout réel ε> 0 , il existe un rang n à partir duquel u −l <ε . 0 n
Cela se traduit mathématiquement par : ∀ε> 0 ∃n ∈ ∀n≥ n u −l <ε . 0 0 n
Cela signifie qu’à partir du rang n , tous les termes de la suite se trouvent dans 0
l’intervalle ]l−ε,l+ε[ .
n 1 1
Exemple : u = . Donc u −1= . Donc u −1<ε⇔ n> −1. Donc, on n n n
n+1 n+1 ε
peut rendre u −1 aussi petit que l’on veut à condition de prendre n suffisamment n
grand. Par exemple pour rendre u −1< 0,01 il suffit de prendre . n> 99n
Corollaire : Si une suite ( u ) est convergente, alors la différence de deux termes n
consécutifs a pour limite 0.
ε ε
En effet ∀ε> 0 ∃n ∈ ∀n≥ n u −l < et u −l < car n+1≥ n≥ n . 0 0 n n+1 0
2 2
Or a+ b≤ a+ b , donc ∀ε> 0 ∃n ∈ ∀n≥ n u − u ≤ u −l+ l− u ≤ε . 0 0 n+1 n n+1 n
Conséquence : Si la différence de deux termes consécutifs n’a pas pour limite 0, la suite
n’est pas convergente.
Théorème : Si une suite ( u ) est convergente, le réel est unique. Il est appelé limite ln
de la suite et on note l= lim u . On dit que la suite ( u ) converge vers . ln n
n→+∞
Démonstration : On raisonne par l’absurde.
Supposons qu’il existe deux réels l et l , et que l < l . Donc : 1 2 1 2
∀ε> 0 ∃n ∈ ∀n≥ n u −l <ε et ∃n ∈ ∀n≥ n u −l <ε . 1 1 n 1 2 2 n 2
Donc pour tout n≥ Max(n , n ) , on a u ∈]l −ε,l +ε[ et u ∈]l −ε,l +ε[ 1 2 n 1 1 n 2 2
l −l2 1Puisque c’est vrai pour tout ε> 0 , appliquons le pour ε= .
3
 4l −l 2l +l  l + 2l 4l −l 1 2 1 2 1 2 2 1Pour tout n≥ Max(n , n ) : et . u ∈ , u ∈ ,1 2 n n   3 3 3 3   
2l +l l + 2l1 2 1 2Or l < l . Donc < . Donc les deux intervalles ont une 1 2
3 3
intersection vide. On aboutit donc à une contradiction.
Donc l’hypothèse de départ est fausse. Donc le réel l est unique.
Avec un raisonnement analogue, on démontre les propriétés suivantes :
Théorème : Si la suite ( u ) converge vers le réel l : n
• Si, à partir d’un certain rang, on a u ≥ 0 , alors : l≥ 0 . n
• Si, à partir d’un certain rang, on a u ≤ 0 , alors : l≤ 0 . n
• Si, à partir d’un certain rang, a≤ u ≤ b , alors : a≤ l≤ b . n
Donc des propriétés de la suite donne des renseignements sur la limite éventuelle.
On peut remarquer que même si les inégalités sur u sont strictes, on ne peut conclure n
pour l que des inégalités larges.
1
Par exemple, la suite de terme général u = dont les termes sont strictement positifs n
n
a pour limite 0.
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Inversement, si la suite est convergente, des propriétés de la limite donne des
renseignements sur la suite :
Théorème : Si la suite ( u ) converge vers le réel l : n
• Si l> 0 , alors, à partir d’un certain rang, on a : u > 0 . n
• Si l< 0 , alors, à partir d’un certain rang, on a : u < 0 . n
• Si a< l< b , alors, à partir d’un certain rang, on a : a< u < b . n
On peut remarquer aussi que la convergence impose une certaine régularité :
Théorème : Toute suite convergente est bornée.
Démonstration : Il existe un rang n à partir duquel u −l < 1. Donc à partir du rang 0 n
n , les termes de la suite sont minorés par (l−1) et majorés par (l+1) et avant n , il 0 0
n’y a qu’un nombre fini de termes et donc on peut minorer par le plus petit et majorer
par le plus grand.
Corollaire : Une suite qui n’est pas bornée n’est pas convergente.
nExemple : Si a> 1, la suite de terme général u = a est minorée par 1. Si elle était n
ln Mn
majorée par M, on aurait : ∀n∈ a ≤ M , donc nln a≤ ln M , donc n≤ , ce
ln a
qui évidemment n’est pas vrai. Donc la suite n’est pas majorée : elle ne converge pas.
Mais la réciproque est fausse car une suite peut être bornée sans être convergente . Par
n
exemple : u = (−1) . Elle ne peut pas converger car tous les termes de rang pair sont n
égaux à 1, alors que les termes de rang impair sont égaux à (−1) . Donc la différence
de deux termes consécutifs vaut 2 et ne peut pas être arbitrairement majorée.
2) Suites divergentes
Définition : Une suite est divergente si elle n’est pas convergente. Il y a trois cas :
• La suite ( u ) diverge vers +∞ ( lim u =+∞ ) si u peut être rendu aussi grand n n n
n→+∞
que l’on veut à condition de prendre n assez grand. Pour tout réel , il existe A> 0
un rang n à partir duquel u > A : ∀A> 0 ∃n ∈ ∀n≥ n u > A. 0 n 0 0 n
• La suite ( u ) diverge vers −∞ ( lim u =−∞ ) si la suite de terme général (− u ) n n n
n→+∞
diverge vers +∞ : ∀A> 0 ∃n ∈∀n≥ n u <−A . 0 0 n
• La suite ( u ) diverge car son terme général u n’a pas de limite. n n
2 AExemple : u = ln(n +1) . Donc u > A⇔ n> e −1 . Donc lim u =+∞ . Par n n n
n→+∞
exemple pour rendre u > 30 , il suffit de prendre n> 3 269 017 . n
2 2Un exemple du deuxième cas est u = 1− n . En effet, − u = n −1, et donc n n
− u > A⇔ n> A+1 . Donc lim (−u )=+∞ et lim u =−∞ . n n n
n→+∞ n→+∞
nUn exemple du troisième cas est u = (−1) . La suite ne converge pas car u − u n n+1 n
est 2 ou (−2) , donc ne tend pas vers 0. Et la suite n’a pas de limite infinie.
Si f est une fonction qui admet une limite (réelle ou infinie) en +∞ , la suite définie
par ∀n∈ u = f (n) admet la même limite que f. Mais la réciproque est fausse. n
3) Opérations algébriques sur les limites
On retrouve des propriétés analogues à celles des limites de fonctions.
Examinons d’abord le cas des suites convergentes :
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eeSuites numériques - 9 - ECS 1
Théorème : Si (u ) et (v ) sont deux suites convergentes de limites l et l' : n n
• La suite (u + v ) est convergente de limite l+l' . n n
• La suite (u v ) est convergente de limite ll' . n n
• La suite (ku ) est convergente de limite kl si k est un réel. n
 u  ln• La suite   est convergente de limite si . l'≠ 0 v l' n
Démonstration : Dans le cadre du programme, ces théorèmes sont admis.
Par exemple pour la somme, on a :
ε
lim u = l , donc ∀ε> 0 ∃n∈ ∀n≥ n u −l < . n 1 1 n
n→+∞ 2
ε
lim v = l', donc ∀ε> 0 ∃n ∈ ∀n≥ n v −l < . n 2 2 n
n→+∞ 2
Donc : ∀n≥ Max(n , n ) (u + v )− (l+l')≤ u −l+ v −l'≤ε . 1 2 n n n n
ε
Pour le produit par un réel k≠ 0 : ∀ε> 0 ∃n ∈ ∀n≥ n u −l < . 0 0 n
k
Donc : ∀ε> 0 ∃n ∈ ∀n≥ n ku − kl <ε . 0 0 n
Pour le produit et le quotient, c’est un peu plus compliqué car il faut par exemple
écrire : u v −ll'= (u −l)v +l(v −l') et majorer la valeur absolue.
n n n n n
Dans le cas général, on obtient les tableaux :
u v u + v n n n n
l l' l+l'
l' +∞ +∞
unl' −∞ −∞ u v n n
v+∞ +∞ +∞ n
−∞ −∞ −∞ l
l l'≠ 0 Indétermination +∞ −∞ l'
l≠ 0 0 +∞
0 0 Indétermination u v u v n n n n
l' +∞ +∞
l l' ll'
0 l +∞
l'≠ 0 +∞ +∞ Indétermination +∞ +∞
0 Indétermination +∞

+∞ +∞ +∞
Les tableaux des produits et des quotients sont à compléter par la règle des signes.
Les indéterminations sont à lever.
4) Composition
Théorème : Si (u ) est une suite de limite (réelle ou infinie) et si f est une fonction ln
telle que lim f (x)= L (réel ou infini), alors la suite ( f (u )) a pour limite L. n
x→l
Démonstration : On en parlera à propos des fonctions.
Notation : =∪{−∞,+∞} droite réelle achevée. Donc : l∈ et L∈ .
xExemple : Si , alors . Donc lim n ln a=+∞ . Or lim e =+∞ . Donc a> 1 ln a> 0
n→+∞ x→+∞
n n ln apar composition lim a = lim e =+∞ .
n→+∞ n→+∞
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eeSuites numériques - 10 - ECS 1
xSi 0< a< 1, alors ln a< 0 . Donc lim n ln a=−∞ . Or lim e = 0 . Donc par
n→+∞ x→−∞
n n ln acomposition lim a = lim e = 0 .
n→+∞ n→+∞
5) Théorèmes de comparaison
D’autres propriétés sont liées à la relation d’ordre.
Théorème de comparaison : Si (u ) et (v ) sont deux suites convergentes de limites n n
l et l' , et si à partir d’un certain rang : u ≤ v , alors l≤ l' . n n
Il suffit d’utiliser les premières propriétés vues sur les limites à la suite de terme
général v − u . L’inégalité l≤ l' reste large même si u < v . n n n n
Théorème d’encadrement : Si à partir d'un certain rang, v ≤ u ≤ w et si les suites n n n
(v ) et (w ) convergent vers le même réel l , alors la suite (u ) converge vers l . n n n
En effet : ∀n≥ n v −l≤ u −l≤ w −l donc u −l≤ Max( v −l , w −l ) .
0 n n n n n n
Il faut bien remarquer que ce théorème (encore appelé théorème « des gendarmes »)
est un théorème qui prouve la convergence de la suite et calcule sa limite.
Pour démontrer la convergence d’une suite, on peut donc l’encadrer entre deux suites
qui convergent vers la même limite.
Ent( n)+1
Exemple : . On sait que : ∀n∈ Ent( n)≤ n< Ent( n)+1. u =n
Ent( n)−1
Donc : ∀n∈ n< Ent( n)+1≤ n+1 et n− 2< Ent( n)−1≤ n−1.
n n+1 n n+1
Donc : ∀n≥ 5 ≤ u ≤ . Or lim = lim = 1. n
n→+∞ n→+∞n−1 n− 2 n−1 n− 2
Donc la suite (u ) converge vers 1. n
On a également des théorèmes de comparaison pour les suites divergentes :
Théorème de comparaison : Si (u ) et (v ) sont deux suites, et si à partir d’un certain n n
rang : u ≤ v , alors : n n
• Si la suite (u ) diverge vers +∞ , alors la suite (v ) diverge vers +∞ . n n
• Si la suite (v ) diverge vers −∞ , alors la suite (u ) diverge vers −∞ . n n
Pour démontrer qu’une suite diverge vers +∞ , il suffit donc de la minorer par une
suite usuelle qui diverge vers +∞ . Et pour démontrer qu’une suite diverge vers −∞ ,
il suffit de la majorer par une suite usuelle qui diverge vers −∞ .
n
2 nn nExemple : u = n!− n . Par définition : n!= k . Donc n!≤ n . Donc n!≤ n . n ∏
k=1
2 2
Donc : u ≤ n− n . Or lim (n− n )=−∞ . Donc la suite (u ) diverge vers −∞ . n n
n→+∞
6) Cas des suites monotones
Bien sûr une suite peut converger sans être monotone. Mais si elle est monotone, on a
le théorème suivant conséquence de la propriété de la borne supérieure de .
Théorème de convergence monotone :
Toute suite croissante majorée est convergente.
Toute suite décroissante minorée est convergente.
n 1 1
u − u = > 0Exemple : u = . La suite est croissante car . n ∑ n+1 n
k! (n+1)!k=1
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