Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Séries numériques

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Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction
Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Séries numériques
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SERIES NUMERIQUES
 I – Généralités sur les séries numériques
ECS 1
1) Définition Lorsqu’une suite est définie comme somme dentermes, l’étude de chacun des termes de la somme permet d’étudier la suite. Le vocabulaire utilisé est alors un peu différent de celui des suites. Définition : Soit (un)nn0une suite numérique. On appelle série numérique de terme généralun la suite numérique (Snle terme général est défini pour tout) dont nn0 n par :Snuk. Les réelsSnsont appelés sommes partielles de rangnde la série. kn0 La série numérique de terme généralun (est notéeun) ouun. Exemple 1: La série de terme généralna pour sommes partiellesSnknkn(n2.1 ) 1 Exemruopmos  l a 1llie :ess mert ple 2: La série de terme généra 2npa 11 1Snkn12k121n212n. 02 Dans ces deux cas, on peut exprimerSn, mais ce n’est pas toujours le cas. Remarque 1 : On s’intéresse aux sommes dentermes et pas aux produits dentermes car (au moins dans le cas où les termes sont positifs), il suffit de prendre le logarithme n du produit pour se ramener à une somme : ln(n!)lnk. Le produit des termes k1 d’une suite est donc une série « cachée ». n1 Remarque 2 : Si (un)nn0est une suite numérique :(uk1uk)unun0. kn0 Donc toute suite numérique (un être étudiée soit en tant que suite comme) peut précédemment, soit en tant que somme partielle de la série(un1un) .
2) Convergence d’une série Définition : La série de terme généralunest convergente si la suite (Sn) des sommes partielles de rangnest convergente. n La somme d’une série convergente est :Suklimuk. kn0nkn0  Le reste d’ordrend’une série convergente est :RnSSnuk. kn1
Séries numériques - 2 - ECS 1 Définition : La série est divergente si elle n’est pas convergente. Exemple 1: La série de terme généraln liest divergente carmSnlimn(n1)2 . nn 1 Exemple 2 La série de terme général : est convergente et a pour somme 2n   k021k :2 carnlimSnnlim212n2 Remarque : La convergence ou la divergence d’une série (on dit la nature de la série) ne dépend pas des premiers termes. C’est pourquoi on parle de la série de terme généralun, notéeunpréciser son premier terme. Par contre, la somme de la, sans série dépend évidemment du premier terme. Par exemple, la série de terme général 1npourn1 converge et a pour somme 1. 2 On peut remarquer que pour toutnn01 :unSnSn1. Or si la série converge, SnetSn1ont même limiteS lim. Doncun0 . n Théorème : Si la série de terme généralun limconverge, alorsun0 . n Et donc si le terme général de la série ne tend pas vers 0, la série est nécessairement divergente. Avant d’étudier la convergence d’une série, c’est donc la première chose à observer. Mais cette condition n’est pas suffisante : il existe de séries divergentes dont le terme général tend vers 0. Exemple On considère la série de terme général :un 1meer te qu, ed te 1reimerp n l’on appelle série harmonique. On a bien sûr limun0 . Mais pour toutn1 : n   . Donc nS S. DoncS2nSn. 1 S2nSnn11n12...12n2nn12n2 Or si la série convergeait, (S2nSn vers 0 ce qui n’est pas possible.) tendrait Donc la série harmonique est divergente bien que son terme général tende vers 0. II – Séries usuelles 1) Séries géométriques Définition : On appelle série géométrique toute série dont le terme général est de la formeunxnxest un réel. Pour que la série converge, il est nécessaire que limun 1 donc que0 etx1 . n knn 1x1 : limSn1 . Elle converge. On a vuSnk0x11xx1. Donc sin1Théorème : La série géométrique de terme généralxnest convergente si et seulement  si 1x1 et dans ce cas :xk .1 1 k0x 2) Séries dérivées des séries géométriques On en déduit les séries « dérivées » utiles dans les calculs d’espérance et de variance de variables aléatoires.
Séries numériques - 3 - ECS 1 Rappel : Si0 , on a limnxn 1 et seulement si0 si 1. n n La première est la série de terme généralnxn1. La somme partielle estSnkxk1. k0 Pour que la série converge, il faut que le terme général tende vers 0, donc 1 1. n n n n1n j Alors : (1)Sn(1x)kxk1kxk1kxk(j1)xjjx  k1k1k1j0j1 en posantj k première somme et1 dans laj kdans la deuxième. n1n n1 Donc : (1)Sn(j1)xjjxjxjnxn. j0j1j0 On reconnaît une somme partielle de la série géométrique et un terme qui tend vers 0. Donc : lim(1x)Sn. 1 n1 Théorème : La série de terme généralnxn1 convergente si et seulement si est 1x1 et dans ce cas :kxk112. k0(1x) La somme de la série dérivée première de la série géométrique est la dérivée de la somme de la série géométrique. En dérivant deux fois, on obtient une autre série de terme généraln(n1)xn2. Pour que la série converge, il faut que le terme général tende vers 0, donc 1 1. n n n Alors : (1 )Sn(1x)k(k1)k2k(k1)xk2k(k1)k1.  x x k2k2k2 Dans la première somme on posej k deuxième1 et dans laj k: n1n n1 (1)Snj(j1)xj1j(j1)xj1[j(j1)j(j1)]xj1n(n1)xn1  j1j2j1 n1 Donc : (1)Sn2jxj1n(n1)xn1. j1 On reconnaît une somme partielle de la série dérivée première de la série géométrique et un terme qui tend vers 0. et Donc :nlim(1x)Sn(12)2 nlimSn(12x)3. Théorème : La série de terme généraln(n1)xn2est convergente si et seulement si 1x dans ce cas :1 etkk(k1)xk2(12x3. 0) Plus généralement, on démontre la formule suivante : Formule du binôme négatif : Pour toutp, la série de terme généralnpn pest co. nvergente si et seulement si 1x1 et dans ce cas :kppkxkp(1x1)p1 pnn pn(n1)...p(n!p1)xnp(pnp11)!xnpdoncnpn pnpp!xnp. Pour que la série converge, il faut que son terme général tende vers 0, donc 1x1 .
Séries numériques - 4 - ECS 1 On suppose donc que 1x1 et on montre par récurrence que pour toutp, la série de terme généralpnn pconverge et que sa somme estkpkpxkp(1x1)p1. Initialisation : Pourpc’est la série géométrique. Donc c’est démontré.0 , Hérédité : On suppose que la série de terme généralnn p est convergente et de p 1 sommekppkxkp(1x)p1. On note la somme partielleSnpknppkxk p. On considère la somme partielle de la sérieSpn1de terme généralpn1xn p1: (1x)Snp1(1x)nxkk p1nxkk p1nxkk p   kp1p1 kp1p1 kp1p1  Dans la première somme, on posej k deuxième1 et dans laj k: n n (1x)Sp11pj1xjppjxjp n. j p1j p11   (1x)Spn11pn1xnpnjp11pj11pj1xjp.      n (1)Snp111xnpn1jxjpn1jxjpn1xnp pjp1pjpp p (1)Sn1Snp1pn1xnpSpn1n(n1p)...(np)xnp. ( 1)! Par hypothèse de récurrence :nlimSpn1(1x1)p1car 1 1. Etn(n1)...(np)n pnp1n pdonc limn(n1)...(np)xnp0 . x (p1)! (p1)!n(p1)! imSp1 Doncnln1(1x)p2. somme exkpDonc la série converge et sa stk11 .   1p(11x)p2 k p Conclusion : Le théorème est démontré pour tout entierp. 3) Séries exponentielles Il y a un cas important que l’on rencontre en probabilités : les séries exponentielles. L’étude est faite en exercice dans le chapitre d’intégration. Définition : On appelle série exponentielle toute série dont le terme général est de la formeunxnxest un réel. n! Le premier terme est donc 1. Dans un exercice, on a démontré que le terme général tend vers 0 quel que soit le réelx. Montrons que la série est convergente pourx0 . On a :xSn(x)kn0xkk! q ue r:qumearen  O.xS'n(x)Sn1(x) .
Séries numériques - 5 - ECS 1 Posons :x[0,[fn(x)Sn(x)ex. Donc :x[0,[f'n(x)S'n(x)exSn(x)ex xnn!ex. xxnf'n(x .) 0 Or :x[0,[ 0ex Donc :1 . [0,[n!  Donc la fonctionfnest décroissante :x[0,[fn(x)fn(0) , doncfn(x)1. L’autre inégalité montre que la fonctiongn:xfn(x)(xn11iorcna!s)s  tsete. n Donc :x[0,[gn(x)gn(0) , donc :x[0,[gn(x)1. 1 Donc :x[0,[fn(x)1(xnn1!) . Donc, en rassemblant :x1xn1fnx) 1  [0    , [ (n()!1 xn Donc :x exSnxex  [0,[1(n11)! .( ) xn1d’après le héorème d’encadreme Or lim0 nt lim :Sn(x)ex. n(nt,cnoD .!1)n xn t :ex Donc la série est convergente pour toutx sa somme es0 etk0n .! On démontrera plus loin que ce résultat est aussi vrai pourx0 . n Théorème : La série exponenti e néralx de et elle de term gén!  1meer termire p n out réelxet sa somme estex. converge pour tk0nx!
 
4) Séries de Riemann Définition : On appelle série de Riemann toute série dont le terme général est : un1où est un réel strictement positif. n On peut d’abord remarquer que ce sont des séries à termes positifs, donc que la suite n de terme généralSnk1est croissante. Donc deux cas sont possibles : k1  la suite (Sn) est majorée, donc elle converge et la série est convergente.  la suite n’est pas majorée, donc elle diverge vers la série est divergente. et On a déjà étudié le cas 1 . On a montré que la suite (Sn) ne peut pas converger car n*S2nSn, no cted2 1S2nSnne peut pas tendre vers 0. Donc pour 1 , la série (harmonique) est divergente. D’autre part, si 1 , on a :k*kk, donck11. k
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Donc :n*kn1kknk1. Donc la suite (Sn minorée par une suite qui) est 11 diverge vers . Donc (Sn . 1 Donc la série diverge pour . vers) diverge Supposons maintenant1 et posons :x[0,[f(x)(1x)1 x. On a :x[0,[f' (x) (1x) 1   [(1x) 11] x[0, [ 1x1, et donc, puisque on a :1 ,x[0,[(1x) 11 . Donc :x[0, [f'(x) Donc0 .f . [est croissante sur [0, Doncx[0, [f(x)f donc(0) ,f(x) (1 )0 , donc1 x. lier :k2111.  Donc, en particuk1k1 onc 11.1 Donc :k(2kk1)kk11 (, dk1) 1k 1k Donc :k2k111(k)11 1k11.   Donc :Sn11knk1 1k11. Donc :Sn111n1. 12( 1) 11 1 La suite (Sn majorée, donc elle converge et la série est convergente pour) est1 . Théorème : La série de Riemann de terme généralune ts1on crgveteeni  s1 , net divergente si 1 .
III – Quelques critères de convergence 1) Combinaison linéaire de séries convergentes Théorème : Siun etvn les termes généraux de deux séries convergentes, alors, sont pour tous réels et , la série de terme généralwn un vnest convergente et sa    somme est :wk uk vk. k0k0k0 n n n En effet, la somme partielle est :wk uk vk. k0k0k0 On essaie ainsi de faire apparaître des séries usuelles dont on connaît la convergence. unn24nn1161n(n1)41n221n14n141n. Exemple:On reconnaît trois séries (géométriques et dérivées) convergentes car1411. Donc la et :S .1 68 série converge 12111127 161413211424 Conséquence : Si l’on additionne une série convergente et une série divergente, on obtient une série divergente. Mais si l’on additionne deux séries divergentes, on ne peut pas conclure.
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2) Cas des séries à termes positifs nSn1Snun1est à termes positifs, la suite des sommes. Donc si la série partielles est croissante. Donc elle converge si et seulement si elle est majorée. Théorème : Une série à termes positifs est convergente si et seulement si ses sommes partielles sont majorées. En fait, il suffit que tous les termes soient positifs à partir d’un certain rang. On a déjà utilisé ce critère pour les séries de Riemann. On a également utilisé pour les séries de Riemann des majorations et des minorations par d’autres séries. 3) Majoration ou minoratio n Théorème : Siunetvnsont les termes généraux de deux séries à termes positifs et si à partir d’un certain rangunvn, alors :  Si la sérieundiverge, alors la sérievndiverge.  Si la sérievnconverge, alors la sérieunconverge. n n En effet, sinp unvn, on a :npukvk. kp kp n n Si la série de terme généralunest divergente, la sommevkest minorée paruk kp kp n n qui tend vers l’infini, doncvk vers l’infini de même que tendvk, et donc la kp k0 série de terme généralvnest divergente. n Si la série de terme généralvnest convergente, la sommeukest majorée de même kp n queuk, et donc la série de terme généralunest convergente. k0 Les paragraphes suivants en sont des applications. 4) geliilabé itgéN Théorème : Siunetvnsont les termes généraux de deux séries à termes positifs telles queuno(vn) , alors :  Si la série de terme généralundiverge, alors la série de terme généralvndiverge.  Si la série de terme généralvn alors la série de terme général converge,un converge. . En effet, il existe une suite (n) telle que :nun nvnet limn0 n Donc par définition de la limite :pnp0 n1 , doncunvn. On applique alors le théorème précédent. 5) Equivalence Théorème : Siunetvnsont les termes généraux de deux séries à termes positifs telles queun~vnles deux séries sont de même nature., alors En effet, il existe une suite (n) telle lim quen0 etnunvn(1 n) . n  nc Donc, il existe un rangptel que :npn2,od121 n2.  1
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