Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Limites et continuité

Catherine Laidebeure

Description

Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 215
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Limites et continuité - 1 - ECS 1
LIMITES ET CONTINUITE

I – Limites
On va appeler voisinage de +∞ les intervalles de la forme ]A, +∞[ avec A > 0.
On va appeler voisinage de −∞ les intervalles de la forme ] − ∞, −A[ avec A > 0.
On va appeler voisinage d’un réel a les intervalles de la forme ]a − ε, a + ε[ avec ε > 0 .
Pour ne pas séparer tous les cas on note la droite réelle achevée : =∪{−∞,+∞}.
Si a ∈ , on note V (a) l’ensemble de tous les voisinages de a.
Définition : lim f (x) = b si ∀V ∈V (b) ∃W ∈V (a) ∀x ∈W ∩ D f (x) ∈V f
x→a
Cette définition est valable pour a et b appartenant à .
On traduit dans chaque cas la définition.
1) Limite finie en a
Soit f une fonction définie au voisinage de a, c’est-à-dire dont l’ensemble de définition
contient au moins un intervalle de la forme ]a − r, a[ (on dira qu’elle est définie à
gauche de a) ou ]a, a + r[ (on dira qu’elle est définie à droite de a). Mais la fonction f
n’est pas forcément définie en a.
Définition 1 : lim f (x) =l si ∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D x − a < α ⇒ f (x) −l < ε . f
x→a
Cela signifie que pour tout ε > 0 , il existe un
voisinage W =]a − α, a + α[ tel que
f (W ∩ D ) ⊂]l − ε,l + ε[ .
f
Donc graphiquement, la partie de courbe
correspondant à W ∩ D est incluse dans la f
« bande » délimitée par les droites d’équations
Oy =l − ε et y =l + ε .
Exemple 1 : Montrer que lim (3x + 5) = 2 . Ici : f (x) = 3x + 5 , D = , a = −1 et l = 2 . f
x→−1
ε
f (x) −l = (3x + 5) − 2 = 3 x +1 donc f (x) −l < ε ⇔ x +1 < .
3
ε
Donc : ∀ε > 0 ∃α = ∀x ∈ D x +1 < α ⇒ f (x) − 2 < ε . Et lim (3x + 5) = 2 . f
x→−13
x −1 1
Exemple 2 : Montrer que lim = . Ici : D =− −1 . { }f
x→2 x +1 3
2 x − 2x −1 1 2x − 4
f (x) −l = − = = .
x +1 3 3(x +1) 3 x +1
Ici la majoration est plus compliquée. On peut remarquer que si α existe, il n’est pas
unique car tout α ' ≤ α convient. On peut donc imposer des contraintes sur α , et par
exemple se contenter de chercher les réels α ≤ 1 qui conviennent.
Pour tout x ∈ D vérifiant x − 2 < 1, on aura : 1 < x < 3, donc : 1 < x +1 < 4 . f
2 x − 2
Donc, pour tout x ∈ D vérifiant x − 2 < 1, on aura : f (x) −l < . f
3
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeLimites et continuité - 2 - ECS 1
2 x − 2
Donc, si x − 2 < 1, pour que f (x) −l < ε , il suffit que : < ε , donc il suffit que :
3
3ε 3ε 1
x − 2 < . Donc ∀ε > 0 ∃α = Min(1, ) ∀x ∈ D x − 2 < α ⇒ f (x) − < ε . f
2 2 3
x −1 1
Donc : lim = .
x→2 x +1 3
Remarque : Si a ∈ D , alors ∀α > 0 a − a < α . Donc si la limite existe : f
∀ε > 0 f (a) −l < ε . Donc l = f (a) .
Théorème : Si une fonction f est définie en a et au voisinage de a, sa seule limite
possible en a est f (a) .
C’est le cas des exemples précédents.
Interprétation géométrique : Si lim f (x) =l , alors la courbe de f admet un point
x→a
« limite » A(a, f (a)) .
Parfois, comme par exemple pour la partie entière, le comportement de la fonction est
différent à gauche et à droite de a.
Définition : Une fonction f définie à gauche de a admet une limite à gauche en a si sa
restriction à D ∩] − ∞, a[ admet une limite en a : f
lim f (x) =l si ∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D a − α < x < a ⇒ f (x) −l < ε f−
x→a
Définition : Une fonction f définie à droite de a admet une limite à droite en a si sa
restriction à D ∩]a, +∞[ admet une limite en a : f
lim f (x) =l si ∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D a < x < a + α ⇒ f (x) −l < ε f+
x→a
Les limites à gauche et à droite peuvent être différentes.
Théorème : Une fonction f définie à gauche et à droite de a admet une limite réelle en
a si et seulement si elle admet des limites réelles à gauche et à droite de a et si :
• lim f (x) = lim f (x) dans le cas où a ∉ D . f− +x→a x→a
• lim f (x) = lim f (x) = f (a) dans le cas où a ∈ D . f− +x→a x→a
2) Limite infinie en a
Soit f une fonction définie au voisinage de a.
Définition 2 : lim f (x) = +∞ si ∀A > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D x − a < α ⇒ f (x) > A. f
x→a
1 1
Exemple : Montrer que lim = +∞ . Ici : f (x) = donc D =] − ∞,0[∪]0,+∞[ . f2 2x→0 x x
112f (x) > A ⇔ x < donc f (x) > A ⇔ x < .
A A
1 1
Donc : ∀A > 0 ∃α = ∀x ∈ D x < α ⇒ f (x) > A . Donc lim = +∞ . f 2x→0A x
Définition 3 : lim f (x) = −∞ si ∀A > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D x − a < α ⇒ f (x) < −A f
x→a
On a les mêmes définitions de limites à gauche et à droite.
1
Exemple : Soit g(x) = . Le comportement est différent.
x
1
Sur ]0,+∞[ , g(x) > A ⇔ 0 < x ≤ . Donc lim g(x) = +∞ .
+A x→0
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeLimites et continuité - 3 - ECS 1
1
Sur ] − ∞,0[ , g(x) < −A ⇔ − ≤ x < 0 . Donc lim g(x) = −∞ .
−A x→0 y
Interprétation géométrique : Quand x tend vers a (à
gauche ou à droite), le point variable M (x, f (x))
se déplace sur la courbe : son abscisse se rapproche M
de a tandis que son ordonnée tend vers l’infini. Il
se rapproche donc de la droite d’équation x = a :
on dit alors que la droite d’équation x = a est
asymptote verticale à la courbe.
Théorème : Si lim f (x) = ±∞ (à gauche ou à
x→a
droite), alors la courbe représentative de f admet
une asymptote verticale d’équation x = a . o

3) Limite finie à l’infini
+ ∞On dira qu’une fonction f est définie au voisinage de si son ensemble de
définition contient au moins un intervalle de la forme ]a,+∞[ .
Définition 3 : lim f (x) =l si ∀ε > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ D x > B ⇒ f (x) −l < ε . f
x→+∞
x x3e −1 3e −1
Exemple : Montrer que lim = 3 . Ici : f (x) = donc D = . Et l = 3 . fx xx→+∞ e +1 e +1
x3e −1 −4 4
. f (x) −l = − 3 = = .
x x xe +1 e +1 e +1
4x x Donc f (x) −l < ε ⇔ e +1 > . Si ε ≥ 4 , c’est toujours vrai car e > 0 .
ε
 4 
Et si ε < 4 , alors : f (x) −l < ε ⇔ x > ln −1 .  
ε 
 4 
Donc : ∀ε > 0 ∃B = ln −1 ∀x ∈ D x > B ⇒ f (x) −l < ε .   f
ε 
x
3e −1
Donc: lim = 3 .
x
x→+∞ e +1
On dira qu’une fonction f est définie au voisinage de − ∞ si son ensemble de
définition contient au moins un intervalle de la forme ] − ∞, a[ .

Définition 4 : lim f (x) =l si ∀ε > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ D x < −B ⇒ f (x) −l < ε . f
x→−∞
x x3e −1 3e −1
Exemple : Montrer que lim = −1. Ici : f (x) = donc D = . Et l = −1. fx xx→−∞ e +1 e +1
x x3e −1 4e 4
. f (x) −l = +1 = = .
x x −xe +1 e +1 e +1
4−x −x Donc f (x) −l < ε ⇔ e +1 > . Si ε ≥ 4 , c’est toujours vrai car e > 0 .
ε
4 
Et si ε < 4 , alors : f (x) −l < ε ⇔ x < − ln −1 .  
ε 
 4 
Donc : ∀ε > 0 ∃B = ln −1 ∀x ∈ D x < −B