Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Limites et continuité

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Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction
Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Limites et continuité - 1 - ECS 1
LIMITES ET CONTINUITE

I – Limites
On va appeler voisinage de +∞ les intervalles de la forme ]A, +∞[ avec A > 0.
On va appeler voisinage de −∞ les intervalles de la forme ] − ∞, −A[ avec A > 0.
On va appeler voisinage d’un réel a les intervalles de la forme ]a − ε, a + ε[ avec ε > 0 .
Pour ne pas séparer tous les cas on note la droite réelle achevée : =∪{−∞,+∞}.
Si a ∈ , on note V (a) l’ensemble de tous les voisinages de a.
Définition : lim f (x) = b si ∀V ∈V (b) ∃W ∈V (a) ∀x ∈W ∩ D f (x) ∈V f
x→a
Cette définition est valable pour a et b appartenant à .
On traduit dans chaque cas la définition.
1) Limite finie en a
Soit f une fonction définie au voisinage de a, c’est-à-dire dont l’ensemble de définition
contient au moins un intervalle de la forme ]a − r, a[ (on dira qu’elle est définie à
gauche de a) ou ]a, a + r[ (on dira qu’elle est définie à droite de a). Mais la fonction f
n’est pas forcément définie en a.
Définition 1 : lim f (x) =l si ∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D x − a < α ⇒ f (x) −l < ε . f
x→a
Cela signifie que pour tout ε > 0 , il existe un
voisinage W =]a − α, a + α[ tel que
f (W ∩ D ) ⊂]l − ε,l + ε[ .
f
Donc graphiquement, la partie de courbe
correspondant à W ∩ D est incluse dans la f
« bande » délimitée par les droites d’équations
Oy =l − ε et y =l + ε .
Exemple 1 : Montrer que lim (3x + 5) = 2 . Ici : f (x) = 3x + 5 , D = , a = −1 et l = 2 . f
x→−1
ε
f (x) −l = (3x + 5) − 2 = 3 x +1 donc f (x) −l < ε ⇔ x +1 < .
3
ε
Donc : ∀ε > 0 ∃α = ∀x ∈ D x +1 < α ⇒ f (x) − 2 < ε . Et lim (3x + 5) = 2 . f
x→−13
x −1 1
Exemple 2 : Montrer que lim = . Ici : D =− −1 . { }f
x→2 x +1 3
2 x − 2x −1 1 2x − 4
f (x) −l = − = = .
x +1 3 3(x +1) 3 x +1
Ici la majoration est plus compliquée. On peut remarquer que si α existe, il n’est pas
unique car tout α ' ≤ α convient. On peut donc imposer des contraintes sur α , et par
exemple se contenter de chercher les réels α ≤ 1 qui conviennent.
Pour tout x ∈ D vérifiant x − 2 < 1, on aura : 1 < x < 3, donc : 1 < x +1 < 4 . f
2 x − 2
Donc, pour tout x ∈ D vérifiant x − 2 < 1, on aura : f (x) −l < . f
3
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eeLimites et continuité - 2 - ECS 1
2 x − 2
Donc, si x − 2 < 1, pour que f (x) −l < ε , il suffit que : < ε , donc il suffit que :
3
3ε 3ε 1
x − 2 < . Donc ∀ε > 0 ∃α = Min(1, ) ∀x ∈ D x − 2 < α ⇒ f (x) − < ε . f
2 2 3
x −1 1
Donc : lim = .
x→2 x +1 3
Remarque : Si a ∈ D , alors ∀α > 0 a − a < α . Donc si la limite existe : f
∀ε > 0 f (a) −l < ε . Donc l = f (a) .
Théorème : Si une fonction f est définie en a et au voisinage de a, sa seule limite
possible en a est f (a) .
C’est le cas des exemples précédents.
Interprétation géométrique : Si lim f (x) =l , alors la courbe de f admet un point
x→a
« limite » A(a, f (a)) .
Parfois, comme par exemple pour la partie entière, le comportement de la fonction est
différent à gauche et à droite de a.
Définition : Une fonction f définie à gauche de a admet une limite à gauche en a si sa
restriction à D ∩] − ∞, a[ admet une limite en a : f
lim f (x) =l si ∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D a − α < x < a ⇒ f (x) −l < ε f−
x→a
Définition : Une fonction f définie à droite de a admet une limite à droite en a si sa
restriction à D ∩]a, +∞[ admet une limite en a : f
lim f (x) =l si ∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D a < x < a + α ⇒ f (x) −l < ε f+
x→a
Les limites à gauche et à droite peuvent être différentes.
Théorème : Une fonction f définie à gauche et à droite de a admet une limite réelle en
a si et seulement si elle admet des limites réelles à gauche et à droite de a et si :
• lim f (x) = lim f (x) dans le cas où a ∉ D . f− +x→a x→a
• lim f (x) = lim f (x) = f (a) dans le cas où a ∈ D . f− +x→a x→a
2) Limite infinie en a
Soit f une fonction définie au voisinage de a.
Définition 2 : lim f (x) = +∞ si ∀A > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D x − a < α ⇒ f (x) > A. f
x→a
1 1
Exemple : Montrer que lim = +∞ . Ici : f (x) = donc D =] − ∞,0[∪]0,+∞[ . f2 2x→0 x x
112f (x) > A ⇔ x < donc f (x) > A ⇔ x < .
A A
1 1
Donc : ∀A > 0 ∃α = ∀x ∈ D x < α ⇒ f (x) > A . Donc lim = +∞ . f 2x→0A x
Définition 3 : lim f (x) = −∞ si ∀A > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D x − a < α ⇒ f (x) < −A f
x→a
On a les mêmes définitions de limites à gauche et à droite.
1
Exemple : Soit g(x) = . Le comportement est différent.
x
1
Sur ]0,+∞[ , g(x) > A ⇔ 0 < x ≤ . Donc lim g(x) = +∞ .
+A x→0
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eeLimites et continuité - 3 - ECS 1
1
Sur ] − ∞,0[ , g(x) < −A ⇔ − ≤ x < 0 . Donc lim g(x) = −∞ .
−A x→0 y
Interprétation géométrique : Quand x tend vers a (à
gauche ou à droite), le point variable M (x, f (x))
se déplace sur la courbe : son abscisse se rapproche M
de a tandis que son ordonnée tend vers l’infini. Il
se rapproche donc de la droite d’équation x = a :
on dit alors que la droite d’équation x = a est
asymptote verticale à la courbe.
Théorème : Si lim f (x) = ±∞ (à gauche ou à
x→a
droite), alors la courbe représentative de f admet
une asymptote verticale d’équation x = a . o

3) Limite finie à l’infini
+ ∞On dira qu’une fonction f est définie au voisinage de si son ensemble de
définition contient au moins un intervalle de la forme ]a,+∞[ .
Définition 3 : lim f (x) =l si ∀ε > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ D x > B ⇒ f (x) −l < ε . f
x→+∞
x x3e −1 3e −1
Exemple : Montrer que lim = 3 . Ici : f (x) = donc D = . Et l = 3 . fx xx→+∞ e +1 e +1
x3e −1 −4 4
. f (x) −l = − 3 = = .
x x xe +1 e +1 e +1
4x x Donc f (x) −l < ε ⇔ e +1 > . Si ε ≥ 4 , c’est toujours vrai car e > 0 .
ε
 4 
Et si ε < 4 , alors : f (x) −l < ε ⇔ x > ln −1 .  
ε 
 4 
Donc : ∀ε > 0 ∃B = ln −1 ∀x ∈ D x > B ⇒ f (x) −l < ε .   f
ε 
x
3e −1
Donc: lim = 3 .
x
x→+∞ e +1
On dira qu’une fonction f est définie au voisinage de − ∞ si son ensemble de
définition contient au moins un intervalle de la forme ] − ∞, a[ .

Définition 4 : lim f (x) =l si ∀ε > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ D x < −B ⇒ f (x) −l < ε . f
x→−∞
x x3e −1 3e −1
Exemple : Montrer que lim = −1. Ici : f (x) = donc D = . Et l = −1. fx xx→−∞ e +1 e +1
x x3e −1 4e 4
. f (x) −l = +1 = = .
x x −xe +1 e +1 e +1
4−x −x Donc f (x) −l < ε ⇔ e +1 > . Si ε ≥ 4 , c’est toujours vrai car e > 0 .
ε
4 
Et si ε < 4 , alors : f (x) −l < ε ⇔ x < − ln −1 .  
ε 
 4 
Donc : ∀ε > 0 ∃B = ln −1 ∀x ∈ D x < −B ⇒ f (x) −l < ε .   f
ε 
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eeLimites et continuité - 4 - ECS 1
x
3e −1
Donc: lim = −1.
xx→−∞ e +1
Interprétation géométrique : Quand x tend vers
∞ , le point variable M (x, f (x)) se déplace M
sur la courbe : son abscisse tend vers l’infini
tandis que son ordonnée se rapproche de l . Il
se rapproche donc de la droite d’équation
oy =l : on dit alors que la droite d’équation
y =l est asymptote horizontale à la courbe.
Théorème : Si lim f (x) =l , alors la courbe de f admet une asymptote horizontale
x→±∞
d’équation y =l .
4) Limite infinie à l’infini
Définition 5 : lim f (x) = +∞ si ∀A > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ D x > B ⇒ f (x) > A. f
x→+∞
Exemple : Montrer que lim ln x = +∞ . Ici f (x) = ln x et D =]0, +∞[ . f
x→+∞
A
On pourrait dire que f (x) > A ⇔ x > e . Mais pour définir l’exponentielle, on utilise
le théorème de bijection, et donc lim ln x = +∞ .
x→+∞
Donc on raisonne autrement en n’utilisant que le logarithme.
nOn sait que ln est croissante, que ln 2 = n ln 2 et que ln 2 > 0 car 2>1.
A n n n
Soit A > 0. Pour tout n > , on a ln 2 > A . Donc si x > 2 , alors ln x > ln 2 > A .
ln 2
A n
Donc : ∀A > 0 ∃B = 2 ∀x ∈ D x > B ⇒ f (x) > A avec n = Ent +1. f  
ln 2 
Définition 6 : lim f (x) = −∞ si ∀A > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ D x > B ⇒ f (x) < −A . f
x→+∞
Définition 7 : lim f (x) = +∞ si ∀A > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ D x < −B ⇒ f (x) > A . f
x→−∞
Définition 8 : lim f (x) = −∞ si ∀A > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ D x < −B ⇒ f (x) < −A . f
x→−∞
Interprétation géométrique : Lorsque lim f (x) = ∞ , le problème est de comparer les
x→∞
f (x)
ordres de grandeur de f (x) et de x. On étudie donc le rapport .
x
f (x) 2
Si lim = ∞ , cela signifie que x =o[ f (x)] comme x . Par analogie, on dira que
x→∞ x ∞
la courbe de f admet une branche parabolique de direction Oy.
f (x)
Si lim = 0 , cela signifie que f (x)= o(x) comme x . Par analogie, on dira que
x→∞ x ∞
la courbe de f admet une branche parabolique de direction Ox.
f (x)
Si lim = a ( a ≠ 0 ), cela signifie que f (x) ~ ax . On cherche alors à déterminer
∞x→∞ x
l’ordre de grandeur de f (x) − ax .
Si lim [ f (x) − ax] = ∞ , on dira que la courbe de f possède une direction asymptotique
x→∞
y = ax (mais pas d’asymptote).
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eeLimites et continuité - 5 - ECS 1
Si lim [ f (x) − ax] = b , on dira que la courbe de f possède une asymptote d’équation
x→∞
y = ax + b . En effet, si M est le point de la courbe d’abscisse x et P celui de la droite,
alors PM = f (x) − ax − b . Donc lim PM = 0 . La courbe se rapproche de la droite.
x→∞
Définition : Les courbes des fonctions f et g sont des courbes asymptotes à l’infini si
lim [ f (x) − g(x)] = 0 . En particulier, une droite d’équation y = ax + b est asymptote à
x→∞
la courbe de f à l’infini si lim [ f (x) − ax − b] = 0 .
x→∞
C’est équivalent à dire que : f (x) = ax + b + ε(x) avec lim ε(x) = 0 .
x→∞
En résumé : Si lim f (x) = ∞ et :
x→∞
f (x)
Si lim = ∞ , la courbe de f admet une branche parabolique de direction Oy.
x→∞ x
f (x)
Si lim = 0 , la courbe de f admet une branche parabolique de direction Ox.
x→∞ x
f (x)
Si lim = a ( a ≠ 0 ) et :
x→∞ x
- Si lim [ f (x) − ax] = ∞ , la courbe de f possède une direction asymptotique y = ax .
x→∞
- Si lim [ f (x) − ax] = b , la courbe de f a une asymptote oblique d’équation
x→∞
y = ax + b .
II – Propriétés
1) Unicité
Théorème : Si une fonction f admet une limite réelle en a ∈ , cette limite est unique.
On la note : l = lim f (x) ou l = lim f .
x→a a
l −l2 1Démonstration : On suppose qu’il existe deux limites l <l et on pose ε = . 1 2
3
Par définition : ∃α > 0 ∀x ∈ D x − a < α ⇒ f (x) −l < ε . 1 f 1 1
De même : ∃α > 0 ∀x ∈ D x − a < α ⇒ f (x) −l < ε . 2 f 2 2
 f (x) −l < ε1Donc en prenant α = Min(α ,α ) : ∀x ∈ D x − a < α ⇒ . 1 2 f 
f (x) −l < ε2
Donc f (x) appartient à l’intersection de ]l − ε,l + ε[ et de ]l − ε,l + ε[ . Or c’est 1 1 2 2
impossible car l + ε <l − ε . Donc la limite si elle existe est unique. 1 2
2) Opérations algébriques
Tous les tableaux des opérations algébriques concernent tous les types de limites.
Les théorèmes suivants sont admis ici, mais se démontrent à l’aide des définitions.
u v u + v
u v uv l l' l +l'
l l' ll' + ∞ l' + ∞
∞ l'≠ 0 ∞ − ∞ l' − ∞
0 Indétermination ∞ + ∞ + ∞ + ∞
∞ ∞ ∞ − ∞ − ∞ − ∞
+ ∞ Indétermination − ∞ On complète par la règle des signes.
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eeLimites et continuité - 6 - ECS 1
1 u
u u v
u v
1 l
l ≠ 0 l l'≠ 0
l l'
0 l ≠ 0 0 ∞ ∞
0 0 0 Indétermination ∞
l' ∞ ∞ Lorsque le dénominateur tend vers 0, il
l 0 ∞ faut en étudier le signe, car les tableaux
Indétermination ∞ ∞ ne donnent que la valeur absolue.
3) Composition de limites
Théorème : a, b et l sont des réels (éventuellement gauche ou droite) ou ± ∞ .
Si lim u(x) = b et si lim v(x) =l , alors lim (vo u)(x) =l .
x→a x→b x→a
Il est souvent commode de le rédiger par changement de variable : en posant
X = u(x) , le théorème revient à écrire lim (vo u)(x) = lim v(X ) .
x→a X →b
x −1 x −1 
Exemple : lim = 0 (positif car x > 1). Donc lim ln = lim ln X = −∞ .  
+ + +x→1 x +1 x→1 x +1 X →0 
x −1 x  x −1
lim = lim = 1. Donc lim ln = lim ln X = 0 .  
x→−∞ x→−∞ x→−∞ X →1x +1 x x +1 
4) Propriétés liées à la relation d’ordre
Le passage à la limite est compatible avec la relation d’ordre.
Théorème : Si, au voisinage de a ∈ , on a u(x) ≤ v(x) , alors :
- si u et v admettent en a des limites réelles, alors : lim u(x) ≤ lim v(x) .
x→a x→a
- si lim u(x) = +∞ , alors lim v(x) = +∞ .
x→a x→a
- si lim v(x) = −∞ , alors lim u(x) = −∞ .
x→a x→a
Remarque : Dans le théorème, on a des inégalités larges. Même si au voisinage de a,
on a u(x) < v(x) , au passage à la limite, on ne pourra conclure qu’à l’inégalité large.
1
En effet, une fonction strictement positive, comme par exemple, peut tendre vers 0.
x
+ x Exemple : On démontre par étude de fonction que : ∀x ∈R x ≤ e .
xDonc lim e = +∞ .
x→+∞
Théorème d’encadrement : Si, au voisinage de a ∈ , on a u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) , et si u
et v ont en a la même limite réelle l , alors f a aussi une limite réelle et lim f (x) =l .
x→a
Remarque : Ce théorème démontre l’existence de la limite de f.
Exemple : On démontre par étude de fonction que : ∀x ∈[1,+∞[ 0 ≤ ln x ≤ x −1.
ln x 2 2
∀x ∈[1,+∞[ 0 ≤ ≤ −Donc ∀x ∈[1,+∞[ 0 ≤ ln x ≤ x −1. Donc .
x xx
 2 2  ln x
. Donc d’après le théorème d’encadrement : lim = 0. lim  −  = 0 x→+∞ x→+∞x xx 
1
Et par composition avec u(x) = , on en déduit lim xln x = 0 .
+x x→0
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eeLimites et continuité - 7 - ECS 1
sin x
Exemple : C’est aussi comme cela qu’on démontre que lim = 1.
x→0 x
5) Limite d’une fonction monotone
Théorème : Si f est une fonction croissante sur ]a,b[ , alors :
−- si elle est majorée, elle admet une limite réelle en b . Sinon lim f (x) = +∞ .
−x→b
+- Si elle est minorée, elle admet une limite réelle en a . Sinon lim f (x) = −∞ .
+x→a
Comme une fonction f est décroissante si − f est croissante, on a :
Théorème : Si f est une fonction décroissante sur ]a,b[ , alors :

- si elle est minorée, elle admet une limite réelle en b . Sinon lim f (x) = −∞ .
−x→b
+- Si elle est majorée, elle admet une limite réelle en a . Sinon lim f (x) = +∞ .
+x→a
Ces théorèmes se démontrent à l’aide de la propriété de la borne supérieure de .
III – Comparaison des fonctions en un point
Il s’agit de comparaison de fonctions au voisinage de a∈R . La fonction n’est pas
forcément définie en a si a est réel.
1) Fonctions équivalentes
Définition : Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a∈R . Les fonctions
f et g sont équivalentes au voisinage de a s’il existe un voisinage V de a et une
fonction ε définie sur V tels que : ∀x ∈V f (x) = [1+ ε(x)]g(x) et lim ε(x) = 0 .
x→a
On note f ~ g .
a
On peut remarquer qu’au voisinage de a, f et g ont le même signe car la fonction
xa 1+ ε(x) tend vers 1, donc est positive au voisinage de a.
f (x)
lim = 1Théorème : Si g ne s’annule pas au voisinage de a, f ~ g ssi .
a x→a g(x)
f (x)
En effet = 1+ ε(x) et lim ε(x) = 0 .
x→ag(x)
Cela permet de déterminer des limites en comparant avec des limites connues.
En effet lim[1+ ε(x)] = 1, et donc si lim g(x) =l (réel ou infini), alors lim f (x) =l .
x→a x→a x→a
f (x)
Réciproquement, si lim f (x) =l et lim g(x) =l (réel non nul), alors lim = 1.
x→a x→a x→a g(x)
Théorème : Si f ~ g et si g a une limite (finie ou non) en a, alors f admet la même
a
limite. Réciproquement, si f et g ont la même limite réelle non nulle, alors f ~ g .
a
2 + ∞La réciproque est fausse si la limite est nulle ou infinie (par exemple x et x en 0 ou ).
Transitivité : Si f ~ g et g ~ h , alors f ~ h .
a a a
Compatibilité avec le produit : Si f ~ g et si f ~ g , alors f × f ~ g × g . 1 1 2 2 1 2 1 2
a a a
f g1 1Compatibilité avec le quotient : Si f ~ g et si f ~ g , alors ~ . 1 1 2 2
a a f a g2 2
α α
Compatibilité avec la puissance : Si f ~ g , alors f ~ g (α réel quelconque).
a a
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eeLimites et continuité - 8 - ECS 1
En particulier, si f ~ g , alors et f ~ g si les fonctions sont positives. f ~ g
a a a
Démonstration :
• f ~ g donc il existe V et ε : ∀x ∈V f (x) = [1+ ε (x)]g(x) et lim ε (x) = 0 . 1 1 1 1 1
a x→a
g ~ h donc il existe V et ε : ∀x ∈V g(x) = [1+ ε (x)]h(x) et lim ε (x) = 0 . 2 2 2 2 2
a x→a
Donc ∀x ∈V ∩V f (x) = [1+ ε (x)][1+ ε (x)]h(x) = [1+ ε(x)]h(x) 1 2 1 2
avec ε(x) = ε (x) + ε (x) + ε (x)ε (x) , donc lim ε(x) = 0 . Donc f ~ h . 1 2 1 2
x→a a
• f ~ g donc il existe V et ε : ∀x ∈V f (x) = [1+ ε (x)]g (x) et lim ε (x) = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a x→a
f ~ g donc il existe V et ε : ∀x ∈V f (x) = [1+ ε (x)]g (x) et lim ε (x) = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a x→a
∀x ∈V ∩V f (x) f (x) = [1+ ε (x)][1+ ε (x)]g (x)g (x) = [1+ ε(x)]g (x)g (x) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
avec ε(x) = ε (x) + ε (x) + ε (x)ε (x) , donc lim ε(x) = 0 . Donc f × f ~ g × g . 1 2 1 2 1 2 1 2
x→a a
f (x) 1+ ε (x) g (x) g (x)1 1 1 1 De même : ∀x ∈V ∩V = × = [1+ ε(x)]× 1 2
f (x) 1+ ε (x) g (x) g (x)2 2 2 2
1+ ε (x) f g1 1 1avec ε(x) = −1, donc lim ε(x) = 0 . Donc ~ .
1+ ε (x) x→a f a g2 2 2
• f ~ g donc il existe V et ε : ∀x ∈V f (x) = [1+ ε(x)]g(x) et lim ε(x) = 0 .
a x→a
α αα α αln[1+ε(x)]Donc : ∀x ∈V f (x) = [1+ ε(x)] g(x) . Or [1+ ε(x)] = e .
1α αα
lim [1+ ε(x)] = 1 donc f ~ g . Si α = 1, f ~ g et si α = , f ~ g .
x→a a a 2 a
Mais on ne peut pas :
ajouter des équivalents ou remplacer un terme d’une somme par un équivalent.
2 2 2 2Exemple : f (x) = x +1 ~ x et g(x) = −x +1 ~ − x mais f (x) + g(x) = 2 n’est
+∞ +∞
pas équivalent à 0.
composer des équivalents par une fonction quelconque.
2x +x
2 2 e2 2 x +x xExemple : x + x ~ x mais e n’est pas équivalent à e : lim = +∞ .
2+∞ x→+∞ xe
Equivalents à connaître :
x α
e −1~ x ln(1+ x)~ x (1+ x) −1~ αx
00 0
1 2
sin x ~ x tan x ~ x 1− cos x ~ x
0 0 0 2
A l’infini, un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré, et une fraction
rationnelle au quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son
n na x + ...+ a x + a a xn n n 1 0 ndénominateur : a x + ...+ a x + a ~ a x et ~ n 1 0 n p p∞ ∞b x + ...+ b x + b b xp 1 0 p
En 0, un polynôme est équivalent à son terme de plus bas degré, et une fraction
rationnelle au quotient des termes de plus bas degré de son numérateur et de son
n a ≠ 0a x + ...+ a x + a a n 0n 1 0 0dénominateur : a x + ... + a x + a ~ a et ~ si . n 1 0 0 p0 0 b b ≠ 0b x + ...+ b x + b 0  0p 1 0
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eeLimites et continuité - 9 - ECS 1
x
e −1 ln(1+ x)
Pour les deux premiers : lim = 1 et lim = 1.
x→0 x x→0 x
α αln(1+x) x(1+ x) −1 = e −1 et lim αln(1+ x) = 0 . Or e −1~ x .
x→0 0
α αDonc (1+ x) −1~ α ln(1+ x). Et ln(1+ x)~ x . Donc (1+ x) −1~ αx .
00 0
sin x tan x
lim = 1 et lim cos x = 1 donc lim = 1.
x→0 x→0 x→0x x
2
x x 1 2 2
1− cos x = 2sin donc 1 − cos x ~ 2 donc 1− cos x ~ x .  
0 02 2 2 
Les propriétés des polynômes se démontrent en montrant que la limite du quotient est 1.
Les propriétés des fractions rationnelles se démontrent par compatibilité avec le
quotient.
2) Fonctions négligeables
Définition : Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a∈R . La fonction f
est négligeable devant la fonction g au voisinage de a s’il existe un voisinage V de a et
une fonction ε définie sur V tels que : ∀x ∈V f (x) = ε(x)g(x) et lim ε(x) = 0 .
x→a
On note f = o(g) .
a
f (x)
Théorème : Si g ne s’annule pas au voisinage de a, f = o(g) ssi lim = 0 .
a x→a g(x)
f (x)
En effet = ε(x) et lim ε(x) = 0 .
g(x) x→a
lim ε(x) = 0 , et donc si lim g(x) =l (réel), alors lim f (x) = 0 .
x→a x→a x→a
f (x)
Réciproquement, si lim f (x) = 0 et lim g(x) =l (réel non nul), alors lim = 0 .
x→a x→a x→a g(x)
Théorème : Si f = o(g) et si g a une limite (réelle) en a, alors lim f (x) = 0 .
a x→a
Réciproquement, si lim f (x) = 0 et lim g(x) =l (réelle non nulle), alors f = o(g) .
x→a x→a a
Mais si g a une limite infinie, on peut avoir f = o(g) avec lim f (x) ≠ 0 .
a x→a
2Exemple : x = o(x ) mais lim x = +∞ .
+∞ x→+∞
Et on peut avoir lim f (x) = 0 et lim g(x) = 0 sans que f = o(g) .
x→a x→a a
x
Exemple : lim x = 0 et lim 2x = 0 mais lim ≠ 0 .
x→0 x→0 x→0 2x
Transitivité : Si f = o(g) et g = o(h) , alors f =o(h) .
a a a
Compatibilité avec un équivalent : Si f = o(g) et g ~ h , alors f =o(h) .
a a a
Si g = o( f ) , alors f + g ~ f .
a a
Compatibilité avec l’addition : Si f =o(g) et si f = o(g) , alors f + f = o(g) . 1 2 1 2
a a a
Compatibilité avec le produit : Si f = o(g ) et si f = o(g ), alors f f = o(g g ) . 1 1 2 2 1 2 1 2
a a a
α α
Compatibilité avec la puissance : Si f = o(g) , alors f =o( g ) si α > 0 .
a a
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eeLimites et continuité - 10 - ECS 1
En particulier, si f = o(g) , et f = o( g ) si les fonctions sont positives. f = o( g )
a a a
Démonstration :
• f = o(g) donc il existe V et ε : ∀x ∈V f (x) = ε (x)g(x) et lim ε (x) = 0 . 1 1 1 1 1
a x→a
g = o(h) donc il existe V et ε : ∀x ∈V g(x) = ε (x)h(x) et lim ε (x) = 0 . 2 2 2 2 2
a x→a
Donc ∀x ∈V ∩V f (x) = ε (x)ε (x)h(x) = ε(x)h(x) avec ε(x) = ε (x)ε (x), 1 2 1 2 1 2
donc lim ε(x) = 0 . Donc f =o(h) .
x→a a
• f = o(g) donc il existe V et ε : ∀x ∈V f (x) = ε (x)g(x) et lim ε (x) = 0 . 1 1 1 1 1
a x→a
g ~ h donc il existe V et ε : ∀x ∈V g(x) = [1+ ε (x)]h(x) et lim ε (x) = 0 . 2 2 2 2 2
a x→a
Donc ∀x ∈V ∩V f (x) = ε (x)[1+ ε (x)]h(x) = ε(x)h(x) 1 2 1 2
avec ε(x) = ε (x)[1+ ε (x)], donc lim ε(x) = 0 . Donc f =o(h) . 1 2
x→a a
• g = o( f ) donc il existe V et ε : ∀x ∈V g(x) = ε(x) f (x) et lim ε(x) = 0 .
a x→a
Donc ∀x ∈V f (x) + g(x) = [1+ ε(x)] f (x) . Donc f + g ~ f .
a
• f =o(g) donc il existe V et ε : ∀x ∈V f (x) = ε (x)g(x) et lim ε (x) = 0 . 1 1 1 1 1 1 1
a x→a
f = o(g) donc il existe V et ε : ∀x ∈V f (x) = ε (x)g(x) et lim ε (x) = 0 . 2 2 2 2 2 2 2
a x→a
Donc : ∀x ∈V ∩V f (x) + f (x) = [ε (x) + ε (x)]g(x) = ε(x)g(x) 1 2 1 2 1 2
avec ε(x) = ε (x) + ε (x) , donc lim ε(x) = 0 . Donc f + f = o(g) . 1 2 1 2
x→a a
• f = o(g ) donc il existe V et ε : ∀x ∈V f (x) = ε (x)g (x) et 1 1 1 1 1 1 1 1
a
lim ε (x) = 0 . 1
x→a
f = o(g ) donc il existe V et ε : ∀x ∈V f (x) = ε (x)g (x) et lim ε (x) = 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a x→a
Donc : ∀x ∈V ∩V f (x) f (x) = ε (x)ε (x)g (x)g (x) = ε(x)g (x)g (x) . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
avec ε(x) = ε (x)ε (x), donc lim ε(x) = 0 . Donc f f = o(g g ) . 1 2 1 2 1 2
x→a a
• f = o(g) donc il existe V et ε : ∀x ∈V f (x) = ε(x)g(x) et lim ε(x) = 0 .
a x→a
α α α α
Donc : ∀x ∈V f (x) = ε(x) g(x) . Or si α > 0 , alors lim ε(x) = 0 .
x→a
1α α
Donc f =o( g ) . Donc pour α = 1 et f = o( g ) pour α = . f = o( g )
aa a 2
Mais on ne peut pas :
diviser des o.
f (x) 12Exemple : f (x) = x x = o(x) et g(x) = x = o(x) mais = n’est négligeable
0 0 g(x) x
x
ni devant x ni devant = 1.
x
composer des o par une fonction quelconque.
2 2
Exemple : x = o(x ) mais ln x n’est pas négligeable devant ln(x ) = 2ln x .
+∞
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