Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Variables aléatoires discrètes

Catherine Laidebeure

Description

Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 86
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Variables aléatoires discrètes - 1 - ECS 1
VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES


I - Généralités
1) Définition et exemples
Définition : Soit (Ω,A , P) un espace probabilisé. Une variable aléatoire est une
application de Ω dans telle que, pour tout intervalle I de , l’ensemble
−1X (I)={ω∈Ω / X (ω)∈ I} soit un événement, c’est-à-dire appartienne à A .
Si A =P (Ω) , toute application de Ω dans est une variable aléatoire.
C’est en particulier le cas lorsque Ω est un ensemble fini ou infini dénombrable.
Exemple 1 : Dans un sac qui contient 4 jetons numérotés 0, 1, 2 et 3, on tire
successivement (sans remise) deux jetons et X est la somme des deux numéros
obtenus. Ω est l’ensemble des couples ω= (a,b) tels que a et b appartiennent à
{0,1,2,3} avec a≠ b . Et X est l’application qui au couple ω= (a,b) associe le réel
X (ω)= a+ b .
Exemple 2 : Dans une urne qui contient 5 boules blanches et 5 boules rouges, on tire
simultanément 3 boules et X est le nombre de boules rouges obtenues. Ω est
l’ensemble des poignées (non ordonnées) de 3 boules. Et X est l’application qui à
chaque poignée ω associe le nombre (réel) X (ω) de boules rouges qu’elle contient.
Exemple 3 : Dans une urne qui contient 2 boules blanches et 1 boule rouge, on tire
successivement 3 boules (avec remise) et X est le nombre de boules rouges obtenues.
Ω est l’ensemble des triplets (donc ordonnés) de boules. Et X est l’application qui à
chaque triplet ω associe le nombre (réel) X (ω) de boules rouges qu’il contient.
Exemple 4 : Dans une urne qui contient 2 boules blanches et 1 boule rouge, on fait des
tirages successifs avec remise d’une boule et X est le rang de la première boule rouge
tirée. Ω est l’ensemble des suites infinies de couleurs B ou R, comme
ω= BBRBRR… C’est un ensemble infini dénombrable. Et X est l’application qui à
chaque suite infinie ω associe le rang (réel) X (ω) du premier R qu’elle contient.
Exemple 5 : On lance trois dés honnêtes. Si l’on obtient 1 six, on gagne 1€. Si l’on
obtient 2 six, on gagne 2€. Si l’on obtient 3 six, on gagne 3€. Si l’on n’obtient aucun
six, on perd 1€. Ω est l’ensemble des triplets ω= (a,b,c) obtenus où a, b et c
appartiennent à {1,2,3,4,5,6}. Et X est l’application qui à tout triplet ω= (a,b,c)
associe le gain algébrique (réel) X (ω) défini précédemment.
2) Univers image
On détermine alors toutes les valeurs prises par la variable aléatoire X.
Définition : Si X est une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé
(Ω,A , P) , alors l’univers image de X est l’ensemble de toutes les valeurs prises par
X, que l’on note X (Ω) . La variable aléatoire X est discrète si son univers image
X (Ω) est un ensemble fini ou infini dénombrable.
Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, on peut alors numéroter les éléments de
son univers image X (Ω) . On notera alors X (Ω)={x / k∈ I}, l’ensemble I étant soit k
une partie finie de (en général 1,.n ou 0,.n), soit une partie infinie de (en
général ou *).
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeVariables aléatoires discrètes - 2 - ECS 1
Un cas assez fréquent est celui où la variable aléatoire prend des valeurs entières
positives : on note alors simplement x = k . k
Exemple 1 : X (Ω)=P1,5T car X (ω)= a+ b avec 0≤ a≤ 3 et 0≤ b≤ 3 . Les valeurs 0
et 6 ne sont pas obtenues car 0= 0+ 0 et 6= 3+ 3. Or : a≠ b .
Exemple 2 : X (Ω)=P0,3T car le nombre de boules rouges est inférieur ou égal au
nombre de boules tirées.
Exemple 3 : X (Ω)=P0,3T pour la même raison.
Exemple 4 : X (Ω)= * car il faut au minimum un tirage pour obtenir une boule
rouge et on peut tirer indéfiniment sans l’obtenir.
Exemple 5 : X (Ω)={−1,1, 2,3}. En effet, perdre 1€ revient à gagner (−1) €.
La détermination de l’univers image est la première chose à faire pour étudier une
variable aléatoire. En particulier, elle permet de distinguer les variables discrètes finies
des variables discrètes infinies.
Notation : On abrège l’écriture de certains événements liés à X. Par exemple :
(X = a)={ω∈Ω / X (ω)= a} (X ≤ a)={ω∈Ω / X (ω)≤ a}
(X > a)={ω∈Ω / X (ω)> a} (a< X ≤ b)={ω∈Ω / a< X (ω)≤ b}
3) Loi de probabilité
On détermine alors avec quelle probabilité la variable aléatoire prend chacune des
valeurs de son univers image. C’est la loi de probabilité de X.
Définition : Si X est une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé
(Ω,A , P) et si son univers image est X (Ω)={x / k∈ I}, alors la loi de probabilité k
de X est l’ensemble des couples (x , p ) où p = P(X = x ) pour k∈ I . k k k k
Dans le cas d’un ensemble X (Ω) fini et ne contient pas un très grand nombre de
valeurs, on résume les résultats dans un tableau :
x x x … n1 2
p = P(X = x ) p = P(X = x ) p = P(X = x ) … n n1 1 2 2
Si X prend un grand nombre de valeurs (éventuellement infini), la loi de probabilité ne
peut plus être résumée par un tableau. Alors, on établit une formule générale.
Dans tous les cas, on peut remarquer que pour tout ω∈Ω , X (ω) est une et une seule
des valeurs x , donc que ω appartient à un et un seul des événements (X = x ) pour k k
k∈ I . Cela revient à dire que ces événements sont incompatibles et que leur réunion
est l’univers Ω . De plus leur probabilité est non nulle car ce sont les valeurs prises
effectivement par X.
Théorème : Si X est une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé
(Ω,A , P) et si son univers image est X (Ω)={x / k∈ I}, alors la famille k
(X = x ) forme un système complet d’événements. Et donc P(X = x )= 1. k k∈I k∑
k∈I
Lorsque X (Ω) est infini dénombrable, le système complet d’événements comporte
une infinité d’événements et la somme est la somme d’une série.
Exemple 1 : X (Ω)=P1,5T. Il y a équiprobabilité et comme il s’agit de 2-listes sans
2répétition, donc d’arrangements : Card(Ω)= A = 12 . 4
2 1
1= 0+1= 1+ 0 , donc (X = 1)={(0,1),(1,0)}. Donc P(X = 1)= = .
12 6
2 1
2= 0+ 2= 2+ 0 (on élimine 1+ 1 car a≠ b ). Donc P(X = 2)= = .
12 6
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeVariables aléatoires discrètes - 3 - ECS 1
4 1 2 1 2 1
De même : P(X = 3)= = , P(X = 4)= = et P(X = 5)= = .
12 3 12 6 12 6

k 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
P(X = k)
6 6 3 6 6
5
On vérifie aisément que P(X = k)= 1. ∑
k=1
Exemple 2 : X (Ω)=P0,3T. Il y a équiprobabilité et, puisque ce sont des tirages
10! 10× 9× 83simultanés : Card(Ω)= C = = = 120 . 10
3!7! 6
3
C 10 15(X = 0) est réalisé si l’on a tiré 3 boules blanches : P(X = 0)= = = .
120 120 12
2 1
C C 50 55 5(X = 1) est réalisé si l’on a tiré 2 blanches et 1 rouge : P(X = 1)= = = .
120 120 12
1 2 3C C C50 5 10 15 5 5De même P(X = 2)= = = et P(X = 3)= = = .
120 120 12 120 120 12
k 0 1 2 3
1 5 5 1
P(X = k)
12 12 12 12
3
On vérifie aisément que P(X = k)= 1. La symétrie du tableau est due au fait qu’il ∑
k=0
y a autant de boules blanches que de boules rouges.
Exemple 3 : Le raisonnement est identique : X (Ω)=P0,3T. Mais ici, les tirages ont
3lieu avec remise, donc Card(Ω)= 9 .
33
6 2 8 
P(X = 0)= = =(X = 0) est réalisé si l’on a tiré 3 boules blanches : .  3 3 27 9
(X = 1) est réalisé si l’on a tiré 2 blanches et 1 rouge dans un ordre quelconque. Il y a
3 ordres possibles (RBB ou BRB ou BBR).
223× 3× 6 1 2 4 
Donc P(X = 1)= = 3× × = .  
3 3 3 99  
2 32 3
3× 3 × 6  1 2 2 3  1 1
De même P(X = 2)= = 3× × = et P(X = 3)= = = . 