Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Vecteurs aléatoires

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Ce cours est composé de 13 chapitres : (1) Espaces vectoriels (2) Applications linéaires (3) Probabilités discrètes (4) Suites et séries réelles (5) Réduction des endomorphismes (6) Vecteurs aléatoires (7) Intégration (8) Fonctions de deux variables (9) variables à densité (10) Problèmes de convergence et approximations en probabilités (11) Formules de Taylor et développements limités (12) Estimation (13) Eléments de Turbo-Pascal
Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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Table

1

2

3

4

5

6

7

des

Definition
´

Chapitre

mati`eres

6.

1

Vecteurs

ale´atoires

Loisconditionnelles,inde´pendancedesvariablesal´eatoires

Sommededeuxvariablesal´eatoires

Produitdedeuxvariablesal´eatoires

SupetInfdedeuxvariablesal´eatoiresinde´pendantes

Covariance,corr´elation

G´en´eralisationauxvecteurs

al´eatoiressurRn

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

2

3

3

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5

6

Juillet 2010

1

D´efinition

2

De´finition1:OntelllleepepuaqXve(=etceXu1raXl2´ea.t.o.ireXdnse`olu´e,)finisu(rXΩisAonPcaliontiiotae´lablesar)iaodettsvuaeptpXee´rserΩ:−ll→es.Rn

Lecasquenouse´tudieronsdanslesparagraphessuivantsestceluiden= 2’au-i-d`lruecdei,cstn’ecouple
devariablesale´atoires,quel’onnotealors(X Y).

Soit (X Yefiniessur(Ωcnu)lpuoVede´dRAA P)

D´efinition2:dneesbmelelsppelOanlodiecvoalnejuorisnrteesfitcepusdpuocX((elΩ)X=Y{)xli’}a1p≤pil≤icnonettiaY(de)ΩX(Ω={y)j}×1Y≤j(≤Ωpre.[s0v)1] :
(xi yj)7−→pij=P(X=xietY=yj)

Onpeutalorsrepr´esenterlaloiducouple(X Ytr´eleendoubau`a.etnuselbanad)

Exemple :alcnnOliuieqs´´exdeuedtioS.se´rbXla somme des deux nombres obtenus, etY
deleurdiff´erence.Laloiducouple(X Ye)ts´eepdonntablarleaviusuae:tn

❍j❍❍❍i❍
0
1
2
3
4
5
P(X=i)

2
1
36
0
0
0
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1
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2
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12

1
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0
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0
0
0
1
36

P(Y=j)

D´efinition3:valade´eleabrirpediolatilibaboLXet celle deY
sontappel´eesleslois marginalesdu couple (X Y).

6
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10
36
8
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6
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4
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2
36
1

Onobtientcesloisa`l’aidedelaformuledesprobabilit´estotales:
p p
P(X=xi) =XP(X=xi∩Y=yj) =Xpij
j=1j=1

la valeur absolue

n n
P(Y=yj) =XP(X=xi∩Y=yj) =Xpij
i=1i=1
On note parfois :pi•=P(X=xi) etp•j=P(Y=yj).
p n
On a alors :pi•=Xpij, et :p•j=Xpij.
j=1i=1
n p n p
On a aussi :X Xpij=Xpi•=Xp•j= 1.
i=1j=1i=1j=1
Remarque :susenaptffitnoclieresalar.Pmaisinrgseollldeenecarıˆeentoupliduclaloedee´nnodaL
d’avoirlesloismarginalespourconnaıˆtrelaloiconjointedesdeuxvariables.
Lesdeuxtableauxci-dessousdonnentdeuxcouplesdeVARayantlesmeˆmesloismarginalesmaispaslamˆeme
loi conjointe :
❍❍❍i1 2 3P(Y=j)❍j❍❍❍i❍1 2 3P(Y=j)
j❍❍
1 0,1 0,2 0,2 0,5 1 0,1 0,25 0,15 0,5
2 0,1 0,3 0,1 0,5 2 0,1 0,25 0,15 0,5
P(X=i) 0,2 0,5 0,3 1P(X=i 1 0,3 0,5) 0,2

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

2

Lois conditionnelles,

3

ind´ependancedesvariablesale´atoires

SoitXnuVeRA´dfieinseur(ΩA P), telle queX(Ω) ={x1 x2 . . .  xn}
D´efinition4:etAnemepedtriditcinolldenoeneun´ev´enXaboilibent´nuonllrrappa`aportAlppa’lts:noitacie.e
La lo
xi→7−PA(X=xi).

Notation :Loi deX|A
Casfre´quent:La loi deXioit´ennndcorape(Y=yjpar:n´eese)nodt
= )pij
P|Y=(X=xi) =P(X=xi∩Y yj=
yjP(Y=yj)p•j
Onde´finitdemeˆmelaloideYemtn(een´rupaevn´ne´ecidnonoitX=xi).

Exemple classique :SoitXsansdur.A.Venuelava`.RNm`etpararediPeenolnoediosstuanivsuλ, et
Ynadsusva`aurleV.neR.A.Ntelle que, siXprend la valeurnnon nulle, la loi conditionnelle deYsachant
(X=nsee`rtramaedepmialbinoeloinutse)netp. (SiX= 0, alorsY= 0.) AlorsYsuit une loi de Poisson
deparam`etreλp.

de´m:Soitkt(emenv´enl’´enuneitreanuterl.Enappliquantlamrofdelurpsebaboitilst´ealot`aesY=k),
aveclesyst`emecompletd’´eve´nements{(X=n)/n∈N}on obtient :

D´efinition5:

P(Y=k)

+∞
=XP(X=n)(Y=k)P(X=n)
n=0
+∞n
X knpkqn−ke−λnλ!
=
n=k
=e−λ(λpk!)k+X∞(qλ)n−k
k!
n=k(n−)
=
e−λeqλ(pλk!)k=e−λp(λp)
k!

Deuxvariablesal´eatoiresXetYtonssleabbreursfinisoud´enoma`neesbmeldsvelasetnadnep´endi
si, et seulement si :
∀xi∈X(Ω)∀yj∈Y(Ω)(X=xi) et (Y=yitnemdnisve´sene´so)dentts.´ependan

Dans ce cas :P((X=xi)∩(Y=yj)) =P(X=xi)P(Y=yj:erst-`a-di),c’epij=pi•p•j

Propri´et´e:SiXetYsni´d.A.Rse.Vnodttes,edantepenfetg´dsnoitcnofxuedvetiecspreesniefiment
sur les ensembles de valeurs deXetY, alors les variablesf(X) etg(Yos)galent´eind´mentadtnpenese.

3

Sommededeuxvariablesale´atoires

SoientXetYssur(Ωdse´nfieie´taioerbliaaleseudarxvA P),X(Ω) ={xi/1≤i≤n}
Y(Ω) ={yj/1≤j≤p}et (pij) la loi conjointe du couple (X Y).
De´finition6:AlorsX+Y(Ωaelbae´lriotrusesteevuniaarA Pedrpbobalitie´se)dontlaloieen´ontdr:pa
P(X+Y=z) =Xpij
{(i,j)/xi+yj=z}

Exemple :Soit le couple(X Yjnioioocltlad)noeparnn´estdonteetnaviusuaelbatel:
❍j❍❍❍i❍0 1 2P(Y=j)
0 0,3 0,1 0,1 0,5
1 0,1 0,3 0,1 0,5
P(X=i) 0,4 0,4 0,2 1

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

4

SoitZ=X+Y. AlorsZ(Ω) ={0123}et la loi deZest donnee par :
´

P(Z= 0) =P((X= 0)∩(Y= 0)) = 03
P(Z= 1) =P((X= 0)∩(Y= 1)) +P((X= 1)∩(Y= 0)) = 01 + 01 = 02
P(Z == 2)P((X= 1)∩(Y= 1)) +P((X= 2)∩(Y= 0)) = 04
P(Z == 3)P((X= 2)∩(Y= 1)) = 01

Remarque :luclacnEpse’ltnaeare´decnZnoocsnatibil´t,elit´e:tel’´egaa`ia’lepidbarodedelosa
E(X+Y) =E(X) +E(Y)

SoientXetYbaelaviredxud´efiireseatosal´esnir(suΩA P),
Th´eor`eme1:ursfinisoud´enombarlbsea,olsr`snealbmeedseelav
E(X+Y) =E(X) +E(Y)

Casfre´quent:uaso`celsnaDXetYtdeusonailbvxranaaveslsreudas`N, on calcule la loi de proba-
bilite´deX+Yal’´ev´etotales`ibil´tseedpsorabemen(tnlemuoraftlanqulippaneX+Y=keemesclt`yseva)
completd’´ev´enements{(X=i)/i∈X(Ω)}:
P(X+Y=k) =XP((X+Y=k)∩(X=i)) =XP((X=i)∩(Y=k−i))
i∈X(Ω)i∈X(Ω)

Ilsuffitalorsdeconnaıˆtrelaloiconjointeducouple(X Y).
Lecasleplussimpleestceluidedeuxvariablesal´eatoiressetepe´nadnind. On a alors :
P(X+Y=k) =XP(X=i)P(Y=k−i)
i∈X(Ω)

certainstermesdecettesommepouvanteˆtrenuls.

Exemple :SoientXetYtoeaesiraviredxuas´lbaeld´ineneptnadseusnavisedtloisdePoissondepramae`rtse
respectifsλ1etλ2.
AlorsX+YsutiuolenPedioissondeparam`eterλ1+λ2.

d´em:ntsalitiulrmfolaborpsedee´tilibaalesstotind´etl’adcnpeneedxudeseonoseitbiravelba:ntEun

P(X+Y

=k)

=

=

=

=

(enutilisantlaformuledubinˆomedeNewton.)

+∞
XP(X=i)P(Y=k−i)
i=0
kλ1λi1−λλk−i
22
i=X0e−i!e(k−i)!
e−(λk1!+λ2)kXi!(kk−!i)!λi1λk2−i
i=0
−(λ1+λ2)(λ1+λ2)k
ek!

Onde´montredemˆemeler´esultatsuivant:
Lasommededeuxvariablesal´eatoiresinde´pendantesdeloisrespectives
B(n2 p)suit une loi binomialeX ,→ B(n1+n2 p).

4

Produitdedeuxvariablesale´atoires

De´finition7:

X ,→ B(n1 p)

et

Y ,→

SoientXetY(Ωssurarxveudalesbliaeriotae´einfie´dsA P),X(Ω) ={xi/1≤i≤n}
Y(Ω) ={yj/1≤j≤p}et (pij) la loi conjointe du couple (X Y).
AlorsXYseutenavirba(ruseriotae´laelΩA Peetsil´tabibpeorar:´eepdonnidlolantdo)
P(XY=t) =Xpij
{(i,j)/xiyj=t}

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

5

Reprenonsl’exemplepre´c´edent:SiT=XY, alorsT(Ω) ={012}et la loi deTnndoste:rapee´

P(T= 0) =P((X= 0)∩(Y= 0)) +P((X= 0)∩(Y= 1)) +P((X= 1)∩(Y= 0)) +P((X= 2)∩(Y= 0)) = 06
P(T= 1) =P((X= 1)∩(Y= 1)) = 03
P(T= 2) =P((X= 2)∩(Y= 1)) = 01

The´ore`me2

SoientXetYsur(niesΩotae´lasfie´dseriuxdeleabrivaA P),
tels queX(Ω) ={xi/1≤i≤n},Y(Ω) ={yj/1≤j≤p}et (pij) la loi conjointe du couple (X Y)
n p
alorsE(XY) =X Xxiyjpij
i=1j=1
et siXetYsontisnaetepdndne´,E(XY) =E(X)E(Y).

Remarque :La relationE(XY) =E(X)E(Yind´epen´ementl’pesaofcrnertˆanıedna’nc)
des deux variablesXetY.

´
5SupetInfdedeuxvariablesale´atoiresindependantes

D´efinition8:

SoientXetYeudarxvbliaalestae´erioe´dseinfiΩ(ssruA P), a valeurs dansN.
`
On noteZ=Sup(X Y) ouM ax(X Y) le plus grand des deux nombresXetY,
`al’issued’uneexpe´rial´atoiredonn´ee,
ence e
etT=Inf(X Y) ouM in(X Yle plus petit de ces deux nombres.)

Pourd´eterminerlaloideprobabilite´deZalesilitunono:ititeparder´tionfonc
Pour tout entierk,P(Z≤k) =P((X≤k)∩(Y≤k)) =P(X≤k)P(Y≤k)
´
(par independance des variablesXetY.)
On a alors, pour toutkdeZ(Ω),P(Z=k) =P(Z≤k)−P(Z≤k−1).
Demeˆme,P(T≥k) =P((X≥k)∩(Y≥k)) =P(X≥k)P(Y≥k), puis
pour toutkdeT(Ω),P(T=k) =P(T≥k)−P(T≥k+ 1).

Exemple :SoientX ,→ G(p1) etY ,→ G(p2dne´epdnnaet.siselbairavxued)
Cherchonslaloideprobabilite´dupluspetitdesdeuxnombresXetY,eon´tT.
On a :P(X≥k) = (1−p1)k−1=qk1−1a`tleaffgeen´es:nonigurmatlaeessieisece`mupcrdrusk, c’est que
lesk−see´nodtiassesssmier1prealedfieinitnoriedal´d´e`apartobabilittecrrpetlacielucutpessauecchOns.
fonctiondere´partition:
k−1k
P(X≥k) = 1−P(X≤k−1) = 1−XP(X=i) = 1−i=X−11p1(q1)i−1= 1−p1kjX−20=(q1)j= 1−p11−(1−q1q)1k−1
i=1
Onobtient,d’apr`eslescalculspre´ce´dents:pourtoutentierkdeN∗
P(T=k) = (q1q2)k−1−(q1q2)k= (1−q1q2)(q1q2)k−1
Tom´etr´enecuiglo`marerteeuqiaped1siudtno−q1q2

6

Covariance,corr´elation

De´finition9:aeioSLcnotvaXriaetncYeudedeXxrtievaYstenolelreeambb:as´laeotrise´deCfionvies(XsuY=r()ΩEA(YXP)).−E(X)E(Y)

L’espe´ranceduproduitsecalcule`apartirdelaloiconjointeducouple(X Y`tu´h.me2e):edulrmfo
eor
Proprie´t´es:
1. SiXetYepd´daensoinntsetn,Cov(X Y) = 0.
2. SiYleurrivaneeuir-d`at-aveluesenua`elbaunevariaestni,e’cselbcereatC, telle queP(Y=C) = 1,
alorsCov(X Y) =E(CX)−CE(X) = 0
3.Cov(X X) =V(X)
4.Cov(aX+b cY+d) =acCov(X Y) (On retrouve ainsiV(aX+b) =a2V(X).)
5.Cov(X+Y Z) =Cov(X Z) +Cov(Y Z) etCov(X Y+Z) =Cov(X Y) +Cov(X Zb(linie´)itar)´e

Brigitte Bonnet, Ly ´ Int rnational de Valbonne
cee e

Juillet 2010

6.V(X+Y) =V(X) +V(Y) + 2Cov(X Y)
aveclesidentit´esremarquables)

6

etV(X−Y) =V(X) +V(Y)−2Cov(X Y)

SoientXetYrusseinfie´dserioat´ealesbliaarxvdeu(ΩA P).
D´efinition10:Letaoi´rleceronedtefficicondeXetYest le nombre :ρ(X Y)Cσ(ovX()Xσ(YY))
=

(analogie

Proprietes :
´ ´
1.ρ(aX+b cY+d) =ρ(X Yu,)`oest le signe du produitac.
2. Pour tout couple (X Yraailbselae´taiores,ev)d−1≤ρ(X Y)≤1, et|ρ(X Y)|1=snadcale`uso
Y=aX+b.
d´em:∀λ∈R V(λX+Y)≥ider`--ae’ts0c,
∀λ∈R V(X)λ2+ 2Cov(X Y)λ+V(Y)≥0
Lediscriminantdecetrinˆomeduseconddegr´eenλtdescnonlunu:age´ofit
4[Cov(X Y)]2−4V(X)V(Y)≤u:o`[d’0,Cov(X Y)]2≤V(X)V(Y), soit :|Cov(X Y)| ≤σ(X)σ(Y).
Etsil’´egalite´estre´alise´ec’estquelediscriminantestnul:ilexistealorsunr´eelλtel queV(λX+Y) = 0,
c’est-`a-dire:
Il existe une constanteCtelle queP(λX+Y=C) = 1, ou encore telle que :P(Y=−λX+C) = 1. Il y a
donc bien une relation affine entreXetY.

7

Ge´ne´ralisationauxvecteursale´atoiressurRn

Onretiendrales´enonce´ssuivants:

D´efinition11:

Th´eore`me3:

nrivaablesal´eatoires´reellseX1 X2 . . . Xnstdonesitd´innepetnadse
dansleurensemble(ou:globalementinde´pendantes)
si∀(i1 i2 . . .  in)∈X1(Ω)×X2(Ω)×. . .×Xn(Ω),
lese´v´enements(X1=i1)(X2=i2) . . . (Xn=inannd.tsdnitepe´labonementgl)so
Ellessontind´ependantes2a`2si
∀(i j)∈[[1 n]]2 i6=j(Xi=x) et (Xj=ys)e´dnitnoantspend,
pour toutes les valeurs possibles de ces deux variables.

n n
E(XXi) =XE(Xi)
i=1i=1
n n
V(XXi) =XV(Xi) + 2XCov(Xi Xj)
i=1i=1 1≤i<j≤n

n n
Cas particulier :si lesne´epdnnassnoitdntes2`a2,leabrivaV(XXi) =XV(Xi).
i=1i=1
Exemple important :SoitXunevbledariaonluBereracailc,tiisert´n´’uedquemene´vetnAbabilit´eorped
pnonnulela,pplee´suscce`:X ,→ B(p).
Onre´pe`teniencp´ereatoeal´tenori,eonetioftecsxeetXiialleabrivatrcadiincusudeciala`se`cemetentative.
Les variablesXiteouamslmeˆeiqloeunottX.
SoitYsenecu`cdesenelrbmontentatives, alors :Y=X1+X2+. . .+Xn.
En effet, il suffit de compter parmi lesXicelles qui valent 1.
Si on suppose de plus que les variablesXitbono,se:tneid´inntsontdaenep
P(Y=k) =nkpk(1−p)n−k

Th´e`me4LssaiuutmeomdeneBeduonriille´dnviaaresblapar`mteerpendantesdemˆemep
eorestr`eamarepdelaimoˆnibiolennetp.

Onretrouvealorsl’expressiondel’esp´eranceetdelavarianced’une
formulesduth´eor`eme3.

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

variable binomiale, en

appliquant les

Juillet 2010

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