Cours - Electrocinétique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Régime sinusoïdal forcé

Damien Decout

Description

Cours d'électrocinétique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est la suite du cours "Electrocinétique I"; il est composé de 2 chapitres : (1) Régime sinusoïdal forcé (2) Filtres du premier ordre

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 84
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Re´gimesinuso¨ıdalforce´

e s uso
R´egimin¨ıdalforce´

Tabledesmatie`res

1

2

Roˆleg´ene´riquepourl’e´tudedesre´gi´riodiquesforc´es
mes pe

Signauxsinusoı¨daux
2.1Amplitude,phase,pulsationetfr´equence.............
2.2 Valeur moyenne et valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 R ´ ntation de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
eprese

. .
. .
. .
. .

´
3EtudeduRLCse´rie
3.1Re´gimesinuso¨ıdalforce´........................
3.2Simplificationapporte´eparlanotationcomplexe..........
3.3R´eponseenintensit´e-R´esonanced’intensit´e.............
3.4R´eponseencharge-R´esonancedetensionauxbornesduconden-
sateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4Impe´dance
4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
4.2DipˆolesR,LetC............................
4.3G´ene´rateurs...............................

5Re´seauxlin´eairesenr´egimesinusoı¨dalforc´e
5.1 Loi des noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3Associationse´rie-Diviseurdetension................
5.4Associationparall`ele-Diviseurdecourant..............
5.5 Loi des noeuds en terme de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6G´ene´rateurse´quivalentsdeThe´veninetNorton...........

6Puissanceenre´gimesinuso¨ıdalforce´
6.1Puissanceinstantan´ee-Puissancemoyenne-Facteurdepuissance
6.2 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

1

1
1
2
2
3

3
3

3
4

5

6
6
6
6

7
7
7
7
7
7
7

7
7
7

1

page 1/7

Roˆleg´ene´riquepourl’e´tudedesre´gimespe´riodiques
forces
´

Nousallonsreprendrel’e´tudedur´egimelibreenajoutant`al’e´quationdiffe´rentielle
unsecondmembresinusoı¨dal:

x¨ + 2αx+ω20x=Acos(ωt)
˙
p´eriodiep´eriodeT= 2π-biomecunpemoemricee´rctu’s
Tout signal ques(t) dω
naisonline´airedesignauxsinusoı¨daux(s´eriedeFourier):

s A0n=∞Ancos(nωt) +Bnsin(nωt))
(t)=2+X(
n=1

Sinousrajoutons`al’´equationdiffe´rentielleunsecondmembrepe´riodique(non
sinuso¨ıdal),connaissantlasolutionavecsecondmembresinusoı¨dalnouspouvons
ende´duirelasolutionavecsecondmembrepe´riodique.
EneffetL’e´quationdiffe´rentielle´etantlin´eaire,lasolutionavecsecondmembre
pe´riodiquepeuts’e´crirecommeunecombinaisonlin´eairedessolutionsavecsecond
membresinusoı¨dald’ou`lerˆoleg´en´eriquedur´egimesinusoı¨dalforce´pourl’´etude
desr´egimesperiodiquesforc´es.
´
2Signauxsinusoı¨daux
2.1Amplitude,phase,pulsationetfre´quence
Unegrandeursinuso¨ıdalepeut-ˆetrerepre´sente´epar:

x(t) =Xmcos(ωt+ϕ)

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Re´gimesinusoı¨dalforce´

Xm

0

x(t)

T

Xmest l’amplitude(dimension de la grandeurx)

ωest lapulsationenrads−1

ωt+ϕest laphasetant`al’inst(en radian)

ϕginideseesa`’lroestlaphadira)anmpteens(

t

Laee´pdoireleluqleedalobtueeaudur´stlalleemeterop
duitidentiquea`lui-meˆme:
T= 2π
ω

en seconde (s)

signal se repro-

Laecnefr´equde:econcucyseo(apsrel)somenedbr´eepodriisudlangltse

en hertz (H z)

2.2

f=T 21 =ωπ

Valeur moyenne et valeur efficace

Ond´efinitd’unemanie`reg´en´eralepourunsignalp´eriodiquelavaleur moyenne
note´e< x >par :
< x(t)>=T1Z0Tx(t)dt

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

< x >= 0 pour une fonction sinuso¨ıdale.

un

Onde´finitd’unemanie`reg´ene´ralepour
efficace´eotneXpar :
T1ZT(t)dt
X2=x2
0
Pour une fonction sinuso¨ıdale :

2.3

X2=X2m1T⇒
T2

Notation complexe

signal

X=Xm
2

p´eriodique

page 2/7

la

Toute grandeur sinuso¨ıdale de pulsationωe:rmussofolateerimeseptuˆ-

x(t) =Xmcos(ωt+ϕ)

Larepre´sentationcomplexedex(t) est la fonction complexe

avecj2=−1

x(t) =Xmexpj(ωt+ϕ) =Xmexpjωt

Xm=Xmexpjϕest l’amplitude complexe, son module est
l’amplitude de la grandeurx(t) :

Xm=|Xm|

valeur

´egale

sonargumentest´egalea`laphase`al’originedestempsdelagrandeurx(t) :

ϕ= arg(Xm)

`
a

Leretour`alagrandeurre´elles’effectueenprenantlapartiere´elledelafonction
complexe :
x(t) =Re{x(t)}

AttentionXm6=Re{Xm}

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Re´gimesinuso¨ıdalforc´e

2.4Repre´sentationdeFresnel

Larepre´sentationdeFresneldex(t) =Xmcos(ωt+ϕ) est la
g´eom´etriquedeXmdans le plan complexe.

3

3.1

´
EtudeduRLCse´rie

R´egimesinusoıdalforc´e
¨

e(t)

R

L

C

i

q

repre´sentation

u

Nousavonsde´j`ae´tudi´eler´egimelibree(tednrae´e0lt=)helon´ece`aupons
tensione(t) =E.
Nousallonse´tudierlecaso`ue(t) =Emcosωt

La solution est la somme

q 2¨ +αq˙ +ω20q=LEmcosωt

q=q(h)+q(p)

q(h)eqbrlimearspdiuiobuatıˆaleuqedtucpsnoroere´igadruseuqτ21=
α

q(p)lefaroemre,esedticrti`ultilupaonos,Qmcos(ωt+ϕ)

Enr´eec´orfladı¨osunisemigencunhedoherco,cnapurdasibierelimegr´le,
solution de la forme
q(t) =Qmcos(ωt+ϕ)
Lar´eponseq(tˆmmepeluasitnouq)`alaitxc’eelnioate(t`etser;)mrete´dainer
l’amplitude et le dephasage.
´

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

En reportantq(td)nadiff´tionequasl’´ortno,elleitnereeuv

page 3/7

−Qmω2(cosωtcosϕ−sinωtsinϕ)−2αQmω(sinωtcosϕ+ cosωtsinϕ)

+ω2Qm(cosωtcosϕ−sinωtsinϕ) =ELmcosωt
0
En identifiant les termes en cosωtet les termes en sinωt
((ω2−ω2)Qcosϕ−2αω Qsinϕ=Em

0m mL
−2αω Qmcosϕ−(ω20−ω2)Qmsinϕ= 0
cosLEϕm(ω02−ω2)Q
=[(ω20−ω2)2+ 4α2ω2]m
m
−2LαEω
sinϕ([=ω20−ω2)2+ 4α2ω2]Qm
−2αω
tanϕ=ω20−ω2
Em
cos2ϕ+ sin2ϕ= 1⇒Qm=(ω02−ω2L)2+ 42ω2
α

3.2Simplificationapport´eeparlanotationcomplexe

Soitq(tedexetntae´esmolpoicnrepr)laq(t).
L’´equationdiffe´rentielle´etantlin´eaire,siq(t) est solution alorsq(t) est aussi so-
lution (on remplace cosωtpar exp(jωtan)d’´slle)tielitnoqeaureneid´ff

−ω2Qmexpj(ωt) + 2αjω Qmexpj(ωt) +ω02Qmexpj(ωt) =ELmexp(jωt)

On simplifie par exp(jωt)

Em
Qm=ω02−ω2L+j2αω

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-R´egimesinuso¨ıdalforce´

etonend´eduitdirectementl’amplitude

etled´ephasage

Qm=|Qm|=

Em
L
(ω02−ω2)2+ 4α2ω2

−2αω
ϕ= arg
(Qm) = arctanω20−ω2

Retenonsqued’unemani`ereg´en´eraleennotationcomplexe:
-d´eriverrevienta`multiplierparjωruendre(`atoπ ;2 dans le plan complexe)
´
-integrerrevient`adiviserparjωa`(erdneurto−π2 dans le plan complexe).

3.3

´
R´eponseenintensite´-Resonanced’intensite´

(t) =Ri+L di1CZidt
e
dt+
Enr´egimesinuso¨ıdalforce´(i(h)→0), on cherche une solution de la forme

i(t) =Imcos(ωt+ϕ)

ayantpourrepre´sentationcomplexe

avecIm=Imexp(jϕ)

i(t) =Imexp(ωt)

i