Cours - Electromagnétisme - 2ème année de CPGE scientifique, voie PC*, Compléments d'électrostatique

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Cours d'électromagnétisme basé sur le programme de physique de 2ème année de la voie PC* des CPGE. Ce cours est composé de 4 chapitres : (1) Compléments d'électrostatique (2) Compléments de magnétostatique (3) Equations locales de l'électromagnétisme (5) Induction électromagnétique

Publié le : mardi 1 janvier 2008
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Electrostatique : révisions de Sup
Conducteurs en équilibre électrostatique
Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

Electrostatique : révisions de Sup
Conducteurs en équilibre électrostatique


I) Electrostatique ; révisions de sup :
1 – Loi de Coulomb, calculs direct du champ et du potentiel :
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* Gradient d’une somme et d’un produit :
r r r r
grad [f (r )+g(r )]= grad [f (r )]+grad [g(r )]

r r r r r r
grad [f (r ).g(r )]= g(r ).grad [f (r )]+ f (r ).grad [g(r )]


r
f (r )
* En tout point, le gradient du champ scalaire est perpendiculaire à la surface de niveau (la
surface iso-f) passant par ce point et il est dirigé suivant la direction de variation la plus rapide de
r r
f (r ) f (r )
, dans le sens des valeurs croissantes de .

Exemple en électrostatique :
Les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles et le champ est dirigé vers les
r
r
E =−grad(V (r ))
potentiels décroissants (car .
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Propriétés de symétrie du champ électrique :

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2 – Topographie du champ électrostatique, lignes de champs et surfaces équipotentielles :


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3 – Le théorème de Gauss, équations locales de l’électrostatique :

ère
Ce théorème a été démontré en 1 année ; on peut l’utiliser comme point de départ pour
démontrer la relation de Green-Ostrogradsky et présenter l’interprétation locale de l’opérateur
divergence.

On considère un volume élémentaire en coordonnées cartésiennes dτ = dxdydz. On montre que
le flux élémentaire sortant de ce volume vaut :
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∂E
 
∂E ∂E
y
x z
 
dΦ= + + dτ
 

∂x ∂y ∂z
 
Soit : (interprétation locale de la divergence)
r

= divE


L’écriture locale du théorème de Gauss s’en déduit :
r
ρ
divE =
ε
0
Et on démontre ainsi le théorème de Green-Ostrogradsky : (valable finalement pour tout champ
vectoriel)

r r r
r
dΦ = divEdτ soit E.n dS = divE dτ
∫∫ ∫∫∫

(S ) (V )
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Théorème de Gauss pour le champ gravitationnel :


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