Cours - Electrostatique et magnétostatique - 1ère année de CPGE scientifique, voie PCSI, Dipôle électrostatique

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Cours d'électrostatique et magnétostatique basé sur le programme de physique de 1ère année de la voie PCSI des CPGE. Ce cours est composé de 5 chapitres : (1) Champ et potentiel électrostatiques (2) Dipôle électrostatique (3) Théorème de Gauss (4) Champ magnétique - Loi de Biot et Savart (5) Théorème d'Ampère
Publié le : mercredi 25 septembre 2013
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(O.Granier)
Étude du dipôle
électrostatique
Olivier GRANIERI – Définition et approximation dipolaire
On appelle « dipôle électrostatique » un ensemble rigide de deux charges
ponctuelles + q et – q (donc globalement neutre), distantes de 2a.
P(+q)
N(−q)
O
r
z
u
z
2a
Un tel modèle permet d’étudier :
* Les molécules polaires (par exemple : HCl, H O)
2
O(−2δ)
H(+δ)
Cl(−δ)
H(+δ)
H(+δ)
Olivier GRANIER* La polarisation des atomes dans un champ électrique extérieur (phénomène
de solvatation des ions)
M On calcule le potentiel puis le champ
r
électrique ( ) créé par
E = −grad(V)
le dipôle en un point M de l’espace.
r
Symétrie de révolution autour de
l’axe (Oz) : on choisit M(r,θθθθ) dans le θ
plan des deux charges.
P(+q)
N(−q)
O
r
z
u
z
2a
Approximation dipolaire : r >> a (on se place « loin » des charges,
c’est-à-dire à des distances bien supérieures à quelques nm).
Olivier GRANIERII – Calcul du potentiel dans le cadre de l’approximation dipolaire
Le potentiel au point M est (principe de superposition) :
M
1 q 1 q
V(M) = −
4πε r 4πε r
0 P 0 N
r r
N P
 
1 1 1
r θ
 
V(M) = q −
 
4πε r r
0 P N
 
r
z
N(−q)
u
O
P(+q)
z
(avec:r = PM et r = NM >>a)
P N
2a
Olivier GRANIERCalcul des distances r et r :
P N
r r
D’après la relation de Chasles :
PM =OM −OP =r −au
z
r r
En élevant au carré :
2 2 2
PM =r +a −2r.au
z
M
2 2 2
r =r +a −2arcosθ
P
On calcule ensuite 1 / r :
P
r r
N P
1 1
=
r θ
2 2
r
P
r +a −2arcosθ
r
−1/2
z 1
2 2
N(−q)
u
O
P(+q)
= (r +a −2arcosθ )
z
r
P
2a
Olivier GRANIEROn rappelle le développement limité (à l’ordre 1) de :
1
−1/2
(1+x) ≈1− x (x <<1)
2
On pose x = a / r (x << 1), alors :
M
−1/2
2
 
1 1 a a
 
= 1+ −2 cosθ
2
 
r r r
r
r r
P
 
N P
er
Un DL au 1 ordre en x donne :
r θ
1 1 a
 
= 1+ cosθ
 
r
z
N(−q)
u r r r
O
P(+q)
 
z
P
2a
Olivier GRANIERDe la même manière (il suffit de remplacer θ par π − θ et donc cosθθθθ par
- cosθ) :
1 1 a
 
= 1− cosθ
 
r r r
 
N
M
Par conséquent :
1 1 a
− = 2 cosθ
2
r r
r
P N
r r
N P
D’où le potentiel :
r θ
1 (2aq)
V(M) = cosθ
2
4πε
r r
z 0
N(−q)
u
O
P(+q)
z
Olivier GRANIEROn définit le vecteur moment dipolaire du dipôle électrostatique (vecteur
dirigé de la charge négative vers la charge positive) :
r r
p = (2aq)u =qNP
z
2
Alors (décroissance du potentiel en 1 / r ) :
M
1 p
V(M) = cosθ
2
4πε
r
0
r r
En notant :
u =r /r
r
r θ
r r
r r
1 p.u
r
V(M) = (u .u = cosθ)
z r
2
r
z
4πε
r
0
N(−q)
u
O
P(+q)
r
z
p
Olivier GRANIERRetour sur la définition du moment dipolaire :
Le vecteur moment dipolaire est une caractéristique du dipôle électrostatique.
p s’exprime en C.m dans le SI.
On définit plutôt le Debye, mieux adapté :
−30
1D = 3,33.10 C.m
Exemple : la molécule d’eau a un moment dipolaire p = 1 , 8 5 D . En déduire
H O
2
les charges + δ et – 2δ portées respectivement par les atomes d’hydrogène et
par l’atome d’oxygène.
Données : α = (OH,OH) =104° ; l =OH = 0,096nm
Olivier GRANIERLe moment dipolaire total de la molécule est :
r r r
p = p + p'
O(−2δ)
H O OH OH
2
r
r
p
OH
p'
OH
p = p' = lδ
Avec :
OH OH
α
Par conséquent :
r H(+δ)
H(+δ)
2
p
α
H O
2
p = 2lδ cos
H O
2
2
On en déduit :
p
e
H O
−19
2
δ = ≈ (e =1,6.10 C)
α
3
2lcos
2
Olivier GRANIER

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