Cours - Electrostatique et magnétostatique - 1ère année de CPGE scientifique, voie PCSI, Théorème de Gauss

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Cours d'électrostatique et magnétostatique basé sur le programme de physique de 1ère année de la voie PCSI des CPGE. Ce cours est composé de 5 chapitres : (1) Champ et potentiel électrostatiques (2) Dipôle électrostatique (3) Théorème de Gauss (4) Champ magnétique - Loi de Biot et Savart (5) Théorème d'Ampère
Publié le : mardi 1 janvier 2008
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(O.Granier)
Le théorème de Gauss
Olivier GRANIERI – Flux du champ électrostatique
Définition :
Soit E(M) un champ électrostatique défini dans un domaine de l’espace.
r
r
Soit (ΣΣ) une surface dont le
ΣΣ
E(M)
n
contour (C) est orienté de manière
θ
arbitraire.
Surface (Σ)
Le choix de cette orientation
M
conditionne le choix du vecteur
normal unitaire à la surface
Surface
élémentaire dS centrée en M
élémentaire dS
(C) orienté
(règle du tire-bouchon ou de la
main droite).
Olivier GRANIEROn appelle flux élémentaire dΦ du
r
champ E à travers la surface dS
r
E(M)
orientée la quantité :
n
θ
r
r
dΦ = E(M).n dS
Surface (Σ)
M
Le flux total du champ E à travers
toute la surface est alors :
Surface
élémentaire dS
(C) orienté
r
r
Φ = E(M).n dS
∫∫
(Σ)
Intérêt physique du flux :
dΦ = E(M)cosθ dS
Le flux « compte » les lignes de champ qui traversent la surface (le flux
est maximal lorsque θ = 0 et nul pour θθθθ = π/ 2 ).
Olivier GRANIERCas d’une surface fermée :
Exemples de surfaces fermées (elles délimitent un volume fini) :
r
n
Surface
r
fermée (Σ)
M
E(M)
dS
Le vecteur normal n est choisi, par
convention, dirigé vers l’extérieur du
volume délimité par la surface fermée.
On définit alors le flux sortant à travers la surface fermée,
que l’on note :
r
r
Φ = E(M).n dS
S
∫∫
(Σ)
Olivier GRANIERII – Le théorème de Gauss
Le théorème de Gauss permet d’évaluer le flux du champ électrostatique
sortant d’une surface fermée, en fonction des charges contenues à
l’intérieur de cette surface.
On considère une charge ponctuelle q placée en O et on choisit comme
surface fermée la sphère ΣΣΣΣ(O,r) de centre O et de rayon r.
On évalue le flux sortant du champ électrique à travers ΣΣΣΣ(O,r).
r r
r r
n =u
r r
r
r
dΦ = E(M).n dS = E(M).u dS
S r
E(M)
M
r
r
1 q
E(M) = u
dS
r
O
2
4πε
r
0
q
q 1
dΦ = dS
S
2
Σ(O,r)
4πε
r
0
Olivier GRANIEREn intégrant sur toute la sphère (sur laquelle r est constant) :
q 1 q 1 q
2
Φ = S = (4πr ) soit Φ =
S sphère S
2 2
4πε 4πε ε
r r
0 0 0
Généralisation : on considère des charges ponctuelles q placées à
int
l’intérieur d’un volume délimité par une surface fermée (ΣΣ) quelconque.
ΣΣ
r
E(M)
r
Surface
r
fermée (Σ) Φ = E(M).n dS
S
q
∫∫
int
(Σ)
r
dS
q
int
n 1
M
Φ = q
q
S int
int

Volume
ε
0
intérieur (V)
Olivier GRANIERCas de charges extérieures à la surface fermée :
r
Surface
n
2
fermée (Σ)
r
r
2
r
E (M)
2
r
M
n
2
M
1 dS
1 2
E (M)
1
q
ext
r
dS
1
1
Le flux sortant du champ créé par la charge q à travers la surface
ext
fermée est nul (les flux à travers dS et dS se compensent deux à deux :
1 2
2
les champs diminuent comme 1 / r mais les surfaces dS augmentent
2
comme r ).
Olivier GRANIERÉnoncé du théorème de Gauss :
Les charges q et q créent un champ E en tout point M de l’espace.
int ext
r
E(M)
Surface
r
fermée (Σ)
r
q
int
Φ = E(M).n dS
S
∫∫
(Σ)
r
dS
q
int
n
M
1
q
Volume
int
Φ = q
S int

intérieur (V)
ε
0
q
ext
Le flux du champ sortant d’une surface fermée est égal au produit par 1/εε
εε
0
de la somme des charges intérieures à la surface ; ce flux est indépendant
de leur position et de la présence de charges extérieures.
Olivier GRANIERCas d’une répartition volumique de charges :
Soit ρ la densité volumique de charges.
r
E(M)
Surface
fermée (Σ)
r
ρ
dS
n
M
Volume
intérieur (V)
ρ
r
r
1
Φ = E(M).n dS = ρ(P)dτ
S
∫∫ ∫∫∫
(Σ) (V )ε
0
Olivier GRANIERTopographie du champ électrostatique
- q
2q
Nombre de lignes : les lignes partant de + 2q sont deux fois plus
nombreuses que celles qui arrivent en – q.
Olivier GRANIER

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