Cours - Electrostatique et magnétostatique - 1ère année de CPGE scientifique, voie PCSI, Théorème d'Ampère

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Cours d'électrostatique et magnétostatique basé sur le programme de physique de 1ère année de la voie PCSI des CPGE. Ce cours est composé de 5 chapitres : (1) Champ et potentiel électrostatiques (2) Dipôle électrostatique (3) Théorème de Gauss (4) Champ magnétique - Loi de Biot et Savart (5) Théorème d'Ampère
Publié le : mardi 1 janvier 2008
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(O.Granier)
Le champ magnétique
Le théorème d’Ampère
Olivier GRANIERI – Énoncé du théorème d’Ampère
Le théorème d’Ampère est « l’équivalent » du théorème de Gauss.
Il permet de calculer le champ magnétique créé par une distribution de
courants lorsque celle-ci possède des symétries « fortes ».
1 – Fil infini et circulation du champ magnétique :
La circulation du champ magnétique est définie par :
r
r
r
dr
C = B(M ).dr
r

contour
B(M )
M
Olivier GRANIERPour le champ électrostatique, cette circulation est nulle puisque :
r
r r
)
C = E(M).dr = (−gradV .dr = − dV = 0
∫ ∫ ∫
contour contour contour
Si l’on regarde la carte du champ magnétique créé par un fil infini (ou
une spire circulaire), on constate que la circulation du champ magnétique
le long d’une ligne de champ (fermée) orientée n’est pas nulle.
Afin d’évaluer cette circulation, on prend le cas du champ magnétique
créé par un fil infini, qui vaut :
r
rμ I 1
0
B(M)= u
θ
2π r
Olivier GRANIER∞
Lignes de champ
r
B

r r r r
dr = (dr)u +(rdθ)u +(dz)u
r θ z
r
r μ I 1 r r μ I
0 0
B(M).dr = u .dr = dθ
θ
2π r 2π
Olivier GRANIERer
1 cas : le contour fermé n’enlace pas le fil infini
Soit (C) un contour fermé orienté de
telle manière que la normale au contour
(C)
soit orienté comme le fil infini.
z
Vue de haut :
r
B(M) P
H
z
(C)
r
M
I
r y
θθθθ
dr M
r
r
r
B(M)
u
r
z
θ
Q
u
θ
O
r
r
u
y
dr
r
M
r
θ
θθθθ
m
x
x
Olivier GRANIERLa circulation du champ le long du contour (C) est alors :
P
(C)
I
y
θ
M
r
r r μ I
0
r
C = B(M).dr = dθ
B(M)
∫ ∫
(C) (C)
θ 2π
Q
r
dr
M
θθθθ
m
x
P Q
μ I μ I
 
0 0
C = dθ + dθ = [(θ −θ )+ (θ −θ )]= 0
 
M m m M
∫ ∫
Q P
2π 2π
 
Olivier GRANIERème
2 cas : le contour fermé enlace le fil infini
(C)
Vue de haut :
(C)
z
r
dr
H
z
y
r M
I
r
r
B(M)
r
B(M)
r
r
u
r
z θ
dr
u
θ
O
r
M
u
y
r
r
θθθθ
x
x
r
r μ I μ I
0 0
C = B(M).dr = dθ = (2π) = μ I
0
∫ ∫
(C) (C)
2π 2π
Olivier GRANIER2 – Énoncé du théorème d’Ampère :
On considère un certain nombre de fils parcourus par des courants
d’intensités I , I , …. Soit (C) une courbe fermée orientée enlaçant certains
1 2
de ces courants et n le vecteur normal déduit de la règle de la main droite.
I
2
I
3
On compte positivement les
courants dirigés dans le
même sens que n et
r
n
négativement les courants
de sens contraire.
M
r
(C)
dr
r
r
C = B(M ).dr

I
5 r
contour
I
I
1
4
B(M )
Olivier GRANIERLe théorème d’Ampère s’écrit :
I
3
I
2
r
n
M
r
(C)
dr
I
5 r
I
I
1
4
B(M)
r
r
C = B(M).dr = μ (−I +I +I −I )
0 1 2 3 4

(C)
r
r
C = B(M ).dr = μ I
0 enlacées


(C)
algébrique
Olivier GRANIERII – Exemples d’applications du théorème d’Ampère
Étude des invariances et des
1 – Le fil infini :
symétries :

Invariance par rotation autour
de (Oz) et par translation
autour de z. Le champ ne
I
dépend pas des coordonnées θθ
θθ
r
et z.
B(M)
Le plan contenant le fil et le
+
M
point M est un plan (π ), par
conséquent le champ s’écrit :
r
r
B(M)= B(r)u
θ

Olivier GRANIER

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