Cours - Mécanique du point matériel - 1ère année de CPGE scientifique, voie PCSI, Etude énergétique

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Cours de mécanique du point matériel basé sur le programme de physique de 1ère année de la voie PCSI des CPGE. Ce cours est composé de 8 chapitres : (1) Cinématique du point matériel (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Etude énergétique (4) Système à deux corps (5) Oscillateurs mécaniques (6) Changement de référentiels - Mécanique terrestre (7) Moment cinétique (8) Particules dans des champs électriques et magnétiques
Publié le : mardi 1 janvier 2008
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(O.Granier)
Energie
(mécanique du point matériel)
Olivier GRANIER 1 - Énergie cinétique :
r
(Dans toute la suite, on considère un point matériel M (m), de vitesse dans un
v
référentiel (R) galiléen.)
L’énergie cinétique du point matériel est :
r
1
2
E = mv
c
2
2 −2
E s’exprime dans le SI en Joule :
1J =1kg.m .s
c
Autres unités d’énergie :
−19
1eV =1,6.10 J
6
1kW.h =3,6.10 J =3,6MJ
1cal = 4,18J
Olivier GRANIER 2 - Théorème de l’énergie cinétique :
Le PFD appliqué au point matériel dans le référentiel (R) supposé galiléen donne :
r
r
dv
f =m
dt
On multiplie scalairement cette équation par le vecteur vitesse :
r
r
r
r r dE
r r dv d 1
dv    
 
2
c
or m .v =m v =
f.v =m .v
   
 
dt dt 2 dt
dt
   
 
r r
r dE r
c
Par conséquent :
f.v = ou f.v dt =dE
c
dt
Interprétation : entre les instants t et t+dt, l’énergie cinétique de M varie
r r
d’une quantité qui dépend de la force et du déplacement d r = v dt du point,
r
r
r
appelée travail de la force lors du déplacement d r et notée .
f δW
f
Olivier GRANIERTravail élémentaire d’une force :
r r
r r
r
δW = f.v dt = f.dr
f
Travail total d’une force lors d’un déplacement de A à B :
r r
r r
r
W = f.v dt = f.dr
f ,C
C’
∫ ∫
AB
AB
B
C C
AB AB
Le travail dépend a priori du trajet
r r
M’ dr =vdt choisi pour aller de A à B :
M
r r
W ≠W
r
f ,C' f ,C
AB AB
C
AB
f
Si la force est constante, alors :
A
r r r
B
r
r
W = f.dr = f.[OM ] = f.AB
A
f ,C

AB
O
C
AB
(Remarque : le travail de deux forces est additif)
Olivier GRANIERPuissance instantanée d’une force :
r
δW
r
r
f
(Une puissance s’exprime en
r
P = = f.v
Watt (W) dans le SI)
f
dt
Enoncé du théorème de l’énergie cinétique :
La variation d’énergie cinétique d’un point matériel est égale à la somme des
r
travaux des forces qui lui sont appliquées :
F
r r
r r
r
• Sous forme élémentaire (entre t et t+dt) : dE = δW = F.dr = F.v dt
c
F
r
r
r
• Sous forme intégrée :
ΔE = E (B) −E (A) =W = F.dr
c c c
F

C
AB
r
r dE
c
r
On parle également du théorème de la puissance cinétique :
P = F.v =
F
dt
Olivier GRANIER 3 - Exemples de forces conservatives :
La tension d’un ressort :
Le travail élémentaire de la tension lors
r r
r
r d’un déplacement d r = d x u s’écrit :
x
r
u
r r r
T
x
r
δW =T.dr = −k(l −l ).u .dxu = −kx.dx
M(m)
0 x x
T
Ce travail peut s’écrire sous la forme
d’une différentielle :
l
O x
1
 
2
r
δW = −kx.dx = −d kx
 
x T
2
 
On pose :
1
2
(à une constante près)
E = kx
p
2
r r
Alors : δW = −dE et W = −ΔE
P P
T T
Simulation Java
E est appelée énergie potentielle élastique de la masse m (elle est définie à une
p
constante près).
Olivier GRANIERRelation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant l’énergie potentielle
par rapport au déplacement x, on obtient :
r
dE dE dE
r
p p p
=kx soit T = − et T = − u
x
dx dx dx
Cette relation entre la force et l’énergie potentielle est générale.
Le poids d’un corps :
r
Le travail du poids d’un corps M(m) lors d’un déplacement s’écrit :
dr
r r
z
A r
r δW =mg.dr
mg
g
r r r r
M
dr =dxu +dyu +dzu
x y z
h
r r r
r
mg g = −gu
z
u
z
B
r
y δW = −mgdz = −d(mgz) = −dE
O
mg P
x
Olivier GRANIEROn définit ainsi E =mgz comme étant l’énergie potentielle de pesanteur du point M.
P
Elle ne dépend que de la cote de z. Le travail total du poids de M pour aller de A à B
est ainsi :
r
W =mgh
mg,AB
Ce travail ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement de la dénivellation entre les
points A et B.
Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant par rapport à la cote z, on
obtient :
dE dE dE
r r
p p p
=mg soit −mg = − et mg = − u
z
dz dz dz
Remarque : si l’axe (Oz) est orienté vers le bas, alors . Il faut
E = −mgz
P
donc bien préciser l’orientation choisie pour l’axe (Oz) ! Un bon moyen de vérifier
si l’expression utilisée est correcte consiste à vérifier que l’énergie potentielle de
pesanteur augmente toujours avec l’altitude.
Olivier GRANIER La force gravitationnelle :
On considère une masse M immobile en O et un point matériel P(m) mobile. Le
travail élémentaire de la force gravitationnelle subie par le point P est :
r
r mM r r
r
δW = f.dr = −G u .dr
r
f 2
z
r
r
P(m)
dr
r r r r
dr =d(r u ) = (dr)u +r d(u )
r r r
r
r
mM
r = OP
f = −G u
r
2
r r r r r r r
r
2
u .dr =(dr)u +r u .d(u ) = (dr) +r u .d(u )
r r r r r r
r
r r r r
1 1
u    
2 2
r
Mais : u .d(u ) =d u =d = 0 (u =1)
   
r r r r
x
y 2 2
O(M)    
mM mM
 
r
D'où : δW = −G dr = −d −G
 
f 2
r
r
 
Olivier GRANIEROn définit alors l’énergie potentielle gravitationnelle E telle que :
P
mM
r
E = −G alors δW = −dE
P P
f
r
Par convention, on choisit une énergie potentielle nulle à l’infini.
Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant E (r) par rapport à la
p
variable r, on obtient :
r
dE dE dE r
mM
P P P
=G soit f = − et f = − u
r
2
dr dr dr
r
On retrouve, là encore, une relation identique à celles vues pour les deux forces
précédentes (la variable est ici la distance r).
Olivier GRANIER

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