Cette publication est accessible gratuitement
Télécharger

(O.Granier)
Changements de
référentiels - référentiels
non galiléens
(mécanique du point matériel)
Olivier GRANIER- A -
Cinématique
Changements de référentiels
Olivier GRANIER I – Relativité du référentiel :
Le mouvement d’un mobile diffère selon le référentiel d’étude (relativité du
mouvement).
Problématique :
On connaît le mouvement d’un point matériel dans un référentiel (R).
Quelle est la nature de ce mouvement, étudié dans un référentiel (R’) en
mouvement par rapport à (R) (trajectoire, vitesse et accélération) ?
Exemple :
Quelle est l’allure du mouvement de la Lune par rapport au Soleil ?
Olivier GRANIERz’
1 - Notations utilisées :
y’
r
M
r
z
r'=OM '
u'
z
r
r
u'
r =OM
y
O’
(R’)
r
r
u
u'
z
x
r
(R)
u
y
r r r
y
r
O
(R’), O’,( u ' , u ' , u ' ) ,
u x y z
x
x’
r r r
(u ,u ,u )
(R), O, ,
x y z
r r r r
r'=O'M = x'u' +y'u' +z'u'
r r r r
x y z
x
r =OM = xu + yu +zu
x y z
r r
r r
r r r r
dr ' dv'
   
r r r r
dr dv
   
v' =v'= ;a' =a'=
   
(R') (R')
v =v = ;a =a =
   
(R) (R)
dt dt
   
R' R'
dt dt
   
R R
Olivier GRANIER2 - Relations entre v et v’ (composition des vitesses) :
r
r =OM =OO' +O'M
     
r r dOM dOO' dO'M
     
(v) =v = = +
R
     
dt dt dt
     
R R R
L’indice (R) signifie que la vitesse v est exprimée par rapport au
r r r
(u ,u ,u )
référentiel (R), pour lequel les vecteurs de base sont
x y z
r r r
constants, mais pas les vecteurs , qui varient au
(u' ,u' ,u' )
x y z
cours du temps. Ainsi :
     
r dOM dO'M r dO'M
     
v = mais ≠ v'=
     
dt dt dt
     
R R R'
Olivier GRANIEREn effet, si on explicite :
 
r r r
dO'M d
 
= (x'u' +y'u' +z'u' )
x y z
R
 
dt dt
 
R
r
r r
 
du'
 
dO'M r r r du' du'
y
x z
 
 
& & &
= (x'u' +y'u' +z'u' )+ x' + y' +z'
x y z
 
 
dt dt dt dt
 
 
R
r
r
r
 
du'
 
r
dO'M du' du'
y
x z
 
 
=v'+ x' + y' +z'
 
 
dt dt dt dt
 
 
R
r
Finalement : r r
du'
 
r r r du'
du'
y
x
z
 
v(M ) =v'(M ) +v(O') + x' + y' +z'
 
dt dt dt
 
Olivier GRANIERInterprétation :
r
r
r
du'
 
r r r du' du'
y
x z
 
v(M ) =v'(M ) +v(O') + x' + y' +z'
 
dt dt dt
 
Vitesse de M Vitesse de M
Vitesse d’entraînement
dans (R’)
dans (R)
r r r
(Loi de composition
v(M ) =v'(M ) +v
e
des vitesses)
Point coïncident : on appelle point coïncident le point P de (R’), immobile dans
ce référentiel, qui coïncide à l’instant t avec le point matériel M.
La vitesse d’entraînement v est la vitesse du point coïncident dans (R).
e
Olivier GRANIER3 - Relations entre a et a’ (composition des accélérations) :
La formule de composition des accélérations dans le cas général est
compliquée et hors programme.
Dans la suite, on se limitera à deux types de mouvements d’entraînement
du référentiel (R’) par rapport au référentiel (R) :
* Un mouvement de translation
* Un mouvement de rotation autour d’un axe fixe
Olivier GRANIER II – Référentiels en translation l’un par rapport à l’autre :
Un solide est animé d’un mouvement de translation si tous ses points
possèdent à tout instant le même vecteur vitesse :
* Exemple de la main.
* Exemple de la grande roue (translation circulaire) et du
référentiel géocentrique (transparent suivant)
Les vecteurs de base du référentiel (R’) gardent donc une direction
constante ; par conséquent :
r
r r
r
du'
 
du'
du'
   
y
x z
 
= = = 0
   
 
dt dt dt
   
R   R
R
Olivier GRANIERRéférentiel géocentrique :
*** Origine : le centre d’inertie
de la Terre
(R )
K
(R )
G
*** Trois axes dirigés vers
trois étoiles lointaines
« fixes »
« Etoiles fixes »
(R ) a un mouvement de translation quasi-circulaire par rapport à (R ).
G K
Olivier GRANIER