Cours - Mécanique du point matériel - 1ère année de CPGE scientifique, voie PCSI, Particules dans des champs électriques et magnétiques

De
Publié par

Cours de mécanique du point matériel basé sur le programme de physique de 1ère année de la voie PCSI des CPGE. Ce cours est composé de 8 chapitres : (1) Cinématique du point matériel (2) Principe fondamental de la dynamique (3) Etude énergétique (4) Système à deux corps (5) Oscillateurs mécaniques (6) Changement de référentiels - Mécanique terrestre (7) Moment cinétique (8) Particules dans des champs électriques et magnétiques
Publié le : mardi 1 janvier 2008
Lecture(s) : 246
Licence : En savoir +
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Nombre de pages : 7
Voir plus Voir moins
Mouvements de particules chargées dans des champs électriques et magnétiques
I  Champ électrique seul : 1 - Analogie formelle : On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ électrostatiqueEr0 uniforme et indépendant du temps. Le référentiel détude est celui du laboratoire supposé galiléen. Le PFD appliqué à la particule donne : dvrdvrr md=qEr soit=Eqt dt m Il y analogie avec un point matériel dans le champ de pesanteur supposé uniforme : dvrr mdt=mg soittddvr=grPar conséquent, le mouvement dune particule dans le champEr0sera soit une droite soit une parabole. 2  Principe de loscilloscope analogique :SolutionLe tube dun oscilloscope est une ampoule où la pression résiduelle est très faible et dans laquelle sont installés un canon à électrons, deux systèmes de plaques déflectrices et un écran luminescent sous limpact des électrons. Ce tube est à symétrie cylindrique daxe (Oz) horizontal (voir figure (a)).
(A) (C) r O1v
Y2 I Y1
I
1
2
O r ez
z
x
G
O
y
G x
Ecran 2a Figure (a) Figure (b) a - Le canon à électrons : une cathode (C) émet des électrons sans vitesse ; ceux-ci arrivent sur lanode (A) et la traversent par une petite ouverture (O1) située sur laxe (Oz) avec une r r vitessev0v0ez. Déterminer la tension U0à appliquer entre la cathode et lanode pour que = v0= 2,5.104km.s1 :. Donnéese=1 6 1019C(valeur absolue de la charge dun électron) et , .m=9,1.1031kg (masse dun électron). On rappelle que lénergie potentielle dune charge q placée au potentiel U vaut qU. b - La déviation verticale : les plaques sont des rectangles de longueurlparallèles à (Oz) ; lécartement des plaques est noté d. Leurs positions sont repérées par les centres géométriques I et I des condensateurs ainsi constitués. Le centre de lécran est noté O, origine dun système daxe (Oxyz) (voir figure précédente). On pose IO = D et IO D . = 
On applique entre les plaques horizontales Y1et Y2centrées en I une différence de potentiel uy= Vy2Vy1 et entre les plaques verticales X1 et X2 différence de potentiel une ux= Vx2Vx1. Lorsque ux= uy= 0, on observe un spot lumineux en O. On maintient ux= 0 et on établit une différence de potentiel constante uynon nulle. On admet que le champ électrique résultant dans le parallélépipède défini par Y1et Y2 uniforme et est nul à lextérieur. Un électron pénètre (à t = 0) dans ce champ au point de coordonnées (0,0,z0) avec le vecteur vitessevr0défini à la question (a). On appellevr1son vecteur vitesse quand il quitte le condensateur constitué par les plaques horizontales.
d
Y2(uy> 0)
r M0v0
l
r v1αSy1 r r = −eES r MDl/ 2ey 1 I O z r E
Y1Ecran Déterminer la duréeτde la traversée du condensateur et lordonnée ySdu spot lumineux sur lécran. Calculer numériquementτ et yS avec :l= 5,0 cm ; d = 4,0 cm ; D = 50 cm ; v0= 2,5.104km.s1et uy= 100 V. Résultat important : la déviation ys proportionnelle à la différence de est potentiel uyappliquée. 3  Simulation de la déviation verticale : Cliquer sur : Animation déviation
II  Champ magnétique seul : 1  Puissance de la force magnétique : On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatiqueBr0uniforme et indépendant du temps. Le référentiel détude est celui du laboratoire. Le PFD appliqué à la particule donne : r m dv=rBrdtqv La puissance de la force magnétique est nulle (P=(qvrBr).vr=0). Par conséquent, daprès le théorème de la puissance cinétique :
dEc0 cstee v soit E cste t P=dt=c= =Un champ magnétique ne modifie pas la norme de la vitesse mais seulement sa direction.
2
2  Mouvement circulaire : On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatiqueBr0=Bàurzuniforme et indépendant du temps. La vitesse initiale de la particule est perpendiculaire au champ et portée, par exemple, selon laxe (Ox) :v0=vàurx.
SimulationTravaux pratiques :de la tension accélératrice du canon à électrons (donc de la  influences vitesse initiale :v0=k U) et de lintensité traversant les bobines dHelmholtz (donc du module du champ magnétique :B=k'I).
Compléter le tableau suivant :  Manip 1 I (A) 1 U (V) 200 Diamètre (cm)
3
Manip 2 1,5 200
Simulation
Manip 3 1,5
300
3  Mouvement hélicoïdal : On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatiqueBr0=Bàuzuniforme et indépendant du temps. La vitesse initiale de la particule est quelconque et peut sécrire, par un choix convenable des axes : vr0vàsinux+vàcosurz
4  Application : chambres à bulles :
Simulation
SimulationLe principe dune chambre à bulles (détecteur mis au point en 1953 par le physicien américain Glaser, prix Nobel de physique en 1960) est le suivant : un liquide (souvent de lhydrogène)
4
placé dans une chambre, est comprimé par un piston (phase (1), figure ci-contre) ; sa température est supérieure à sa température débullition sous la pression atmosphérique, mais inférieure à sa température débullition sous la pression à laquelle il se trouve placé. Juste après le passage de la particule à détecter, on détend le piston (pendant 1 ms environ, phase (2)), et le liquide revient à la pression atmosphérique. Lébullition débute autour des ions créés par la particule. Si on éclaire par un flash et que lon photographie, la trajectoire est matérialisée par un chapelet de petites bulles. La figure suivante montre un exemple de cliché (réalisé en 1973) représentant la désintégration dun méson K+ vol. On remarque nettement deux trajectoires en forme de en spirale qui traduisent lapparition de particules chargées stables lors de la désintégration du méson. Cet exercice se propose de modéliser de manière simple le mouvement horizontal dun proton dans une chambre à bulles. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Le proton de masse m et de charge e, considéré comme un point matériel, a une vitesse initialevr0en un point fixe O ; il est dans une région de lespace où règne un champ magnétique r uniforme et constantB. Afin dinterpréter la trajectoire précédente en forme de spirale, on modélise la force que le liquide exerce sur le proton par une force de frottement fluide r f= −kr, où k est une constante positive etr vitesse du proton à linstant t. On posera la ωc= eB / m etτ= m / k. a - Etablir léquation différentielle vectorielle du mouvement du proton. b On désigne par (Oxyz) un trièdre orthogonal direct lié au laboratoire et par( urx,uy,urz) la base de vecteurs unitaires associée. On choisitB=Burz etvr0=v0urx. Montrer que (et déterminer les constantes a et b en fonction deωcetτ) : dvx=avbvdty x (1) etdtdvy= −avxbvy (2) c - On pose i le nombre complexe tel que i2= pour résoudre le système déquations1 ; précédent, on définit le nombre complexe V = vx+ ivy. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes à une équation différentielle dont la solution est de la forme V = v0exp((b + ia)t). En déduire vxet vy. d - Déduire de V lexpression de X = x(t) + iy(t) en fonction de a, b, v0et t. e - Déterminer la limite, notée X, de X lorsque t tend vers linfini. En déduire la position limite M(x, y) en fonction deωc,τet v0. Donner lallure de la trajectoire. Données : B=102T , m=1,67.1027 ekg ,=1,6.1019C, v0=3.106m.s1,τ =105et 106s. Solution
5
III  Champ électrique et champ magnétique : 1  Hélice à pas variable :
On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatiqueBr0=Bàurz  uniformeet indépendant du temps et dans un champ r électriqueE0=Eàurz. La vitesse initiale de la particule est quelconque et peut sécrire, par un choix convenable des axes : vr0vàsinux+vàcosuz
Simulation2  Cycloïde : On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q > 0) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatiqueBr0=Bàurz et indépendant du temps et dans un champ uniforme électriqueEr0=Eàury. La particule est initialement à lorigine O du repère et sa vitesse initiale est nulle. On poserac=qB/m. Montrer que les équations paramétriques de la trajectoire sont :
E E xωctωctωc= − = − Bωc( sin ; )yBωc(1 cost) Choisir des valeurs numériques simples et tracer dans Regressi lallure de la trajectoire.
6
3  Filtre de vitesse et mesure du rapport e / m : Lancer la simulation :
7
Simulation
Simulation
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.