Cours - Mécanique I - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Repérage d'un point - Vitesse et accélération

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Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est composé de 5 chapitres : (1) Introduction à la mécanique classique - Rappels et domaine de validité (2) Repérage d'un point vitesse et accélération (3) Dynamique du point en référentiel galiléen (4) Energie potentielle - Energie mécanique - Problèmes à un degré de liberté (5) Oscillateur harmonique - Régime libre
Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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MPSI-M´ecaniqueI-Rep´eraged’unpoint-Vitesseetacce´le´ration

Reperage d’un point - Vitesse et
´
acc´ele´ration

Tabledesmatie`res

1

2

3

4

5

6

Espaceettemps-Re´f´erentield’observation

Coordonne´escarte´siennes
2.1Rep´eraged’unpoint-Vecteurposition...............
2.2 Vecteur vitesse et vecteur acceleration . . . . . . . . . . . . . . .
´ ´

.
.

Coordonn´eescurvilignes-BasedeFre´net
ep
3.1R´eraged’unpoint-Abscissecurviligne..............
3.2Vecteurvitesseetvecteuracc´el´eration................

Coordonn´eespolairesetcylindriques
4.1Repe´raged’unpoint-Vecteurposition................
4.2Relationsentreparame´tragecylindriqueoupolaireetparam´etrage
t´sien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
car e
4.3Vecteurvitesseetvecteuracce´l´ration................
e

Coordonn´eessphe´riques
5.1Repe´raged’unpoint-Vecteurposition................
5.2Relationentreparame´tragesph´eriqueetparam´etragecart´esien
(voir TD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3Vecteurvitesseetvecteuracc´ele´ration(voirTD)..........
5.4Coordonn´eesge´ographiques......................

Exemples de mouvement
6.1Vecteuraccel´erationconstant.....................
´
6.2Mouvementrectilignesinusoı¨dal....................
6.3 Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

1

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5

1Espaceettemps-Re´f´erentield’observation

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D’unemani`ereg´en´erale,repe´rerunpoint,parame´trerunpoint,nousserviratout
au long du cours de Physique.
Plusparticuli`erementenM´ecanique,repe´rerunpointvanouspermettrede
calculervitesseetaccele´rationetdede´crirelesmouvements.
´

Danscechapitrenousnenouspr´eoccuperonspasencoredescausesdu
mouvement(forces)etnousd´ecrironslesmouvementsparrapport`aun´frere´-en
tiel d’observation(ere`per,Oexeyez) + horloge, qui nous permettra, comme
nousl’avonsrappele´danslechapitrepre´c´edent,der´epondreauxquestionsou`?
(espace) et quand ? (temps).

Enme´caniqueclassique,letempsestlemeˆmepourtouslesobservateurs,
l’unit´edetemps,laseconde,´etantde´finiecomme9192634770p´eriodesde
laradiatione´lectromagne´tiquecorrespondanta`latransitionentre2niveaux
hyperfinsdel’e´tatfondamentalduce´sium133.

Enrevanchepourre´pondrea`laquestiono`u?ilexistediffe´rentssyst`emes
decoordonn´ees...

2Coordo´rte´siennes
nnees ca

2.1Repe´raged’unpoint-Vecteurposition

Pourrepe´rerunpoint,onutiliseunrre`eep.
Unrepe`re,c’estuneorigineO et unebase(uvw)eng´en´etronoee´mlarehtro
droite.
(uvw) est une base si∀V,∃(α β γstel´eel)reuqV=αu+βv+γw.

(uvw) est orthonormee si :
´

uv=uw=vw= 0

kuk=kvk=kwk= 1

u∧v=w

MPSI-Me´caniqueI-Repe´raged’unpoint-Vitesseetacce´l´eration

Soitlabasecarte´sienne(exeyez)

Hx

I

ez
~

O
~
ex

~
ey

M

Hy

x=OHx,y=OHyetz=OI,cieesesnndroo´nnocsee´traM,deefid´netinss
defac¸onuniquelapositiondeMextre´mite´duvecteur position:

OM=xex+yey+zez

Remarque:sil’onrepr´esente2des3vecteursdelabasedansunplan,pour
d´eterminersile3ertsetantusorantoentr`rgeesalitilo,unedelod3sstgialed
maindroiteoular`egledutirebouchon.

LorsqueMsed´eplace,x,yetzvarient (peuvent varier de−∞a`+∞) ;x,yet
zercritie´edversafstoonndtimopnsseodnucttex(t),y(t) etz(t).

2.2Vecteurvitesseetvecteuracc´el´eration

LorsqueMsede´place,Hxcoss`reipno;atueepd´celaseaHxune vitessevx:
istance x(t2)−x(t1)x(t+ Δt)−x(t) Δx
vitesse moyenne =tdsptme2−t1t+ Δt−tΔt
= = =
vitesseinstantane´e:
Δx dx
= =
vxΔlti→m0Δt dt
s−1`uodx=x(t+dt)−x(t) =vxdtest la variation ´l´ taire dexquand
enme emen
tvarie dedt→0.

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

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ddxturevoulane´ecrit´dreviletniderejn’meluutneptseessaoitcnofanx(t) par
rapport au tempst, c’est bien un rapportx(tt++tdtd)−−tx(t.)

Demeˆmevy=tyddest la vitesse deHyetvz=zdtdest la vitesse deI.
vx,vyetvzde´nfisiestnlevecteur vitesse:

v=vxex+vyey+vzez

On utilise aussi la notationdx=x˙
dt:

dx dy
=e
vdtx+dtey+

v=x˙ex+y˙ey+z˙ez

ddtzez=tdd(xex) +ddt(yey) +ddt(zez) =dtd(xex+yey+zez)

dOM
v=dt

Encore une foisdOdMest bien un rapport :
t

dOM=vdt=dxex+dyey+dzez

est lerdeuctvee´le´tnemecalpe´tnemeria(pendantdt,Hxeedspl´eedacdx,
HydedyetIdedz).
sociera`Hxterl´´enioccaenuax=dvxd2x¨
On peut aussi as adt=dt2=xen
ms−2et construire letarenoiccral´´eveeuct:

a=axex+ayey+azez= ¨xex+y¨ey+zez
¨

MPSI-Me´caniqueI-Repe´raged’unpoint-Vitesseetacc´el´eration

3

3.1

Coord´curvilignes-BasedeFr´enet
onnees

Rep´eraged’unpoint-Abscissecurviligne

eN
~

eT
~

Onrep`erelepointsursatrajectoire(courbeoriente´e)parsonabscisse curvi-
ligne:
s=SM

eTeteNforment laasb´rnedeFete.
eTfi;enspositselonlese,irtoec´entieortnegnatejartala`cteulevetairruniets
eNs’obtient en tournant deπueirledri’lse´tner2vt´e.caviacon

3.2

Vecteurvitesseetvecteuracce´l´eration

ds
=
v=veT dtavec v

dv v2
a=dteT+RceN

aT=vddtpmsonaetatgnneitelledel’acc´el´e.noitarstecola
2
aN=Rved’lamellee´ca´con.ratisepoomactlorenntsa
c
Pourquoia6=veT?
˙

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

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Quandond´erive(parrapportautemps),ilfauttoujoursfairelepointsurce
qui depend du temps.
´

v(t) mais aussieT(t) !
deT
=ddvtdetT; en identifiantvR2eN=vdtou encore :
c
RcdeT
eN=v dt

4

4.1

Coordonn´eespolairesetcylindriques

Rep´eraged’unpoint-Vecteurposition

ex
~

ez
~

O
θ

ey
~

M

H

~

~
er

~

er
~

Delameˆmemanierequex=OHx,y=OHyetz=OIneiassinfie´dntdefa¸co
`
unique la position de M, lesirdnseuqes´elicyorconndo:

r=kOHk=OH >`0ed0+a∞,
\
θ= (exOHde)a20`πet
z=OIde−∞a +∞
`

de´finissentaussidefac¸onuniquelapositiondeM.

Si le mouvement est plan, on utilise lesesirlapoes´ecoordonn(r θ).

MPSI-Me´caniqueI-Rep´eraged’unpoint-Vitesseetacce´l´eration

r=ctede´nfitinuycndlidereyoranr.)serialopsee´nrecneelcoocnnodr(u
θ=cteemndtuniefid´ciluepdnpnrepialan(auplaireexey) (une demi droite en
coordon ´ s p laires).
nee o
z=ctelaupeaeln(´dfienparall`nitunplaexey).

er,eθetezforment labase cylindrique(ereteθlabase polaire) :
OH
er=OH,
eθs’obtient en tournant deπ2 dans le sens desθcroissant,
ezest le 3evteecedruabalacese´trsienne.

Levecteur positionbalansdandlicyse:euqir’se´rcti

et dans la base polaire :

4.2

OM=rer+zez

OM=rer

Relationsentreparam´etragecylindriqueoupolaireetpara-
m´etragecart´esien

r=x2+y2
tanθ=y
x
er= cosθex+ sinθey
eθ=−sinθex+ cosθey

x=rcosθ
y=rsinθ
ex= cosθer−sinθeθ
ey= sinθer+ cosθeθ

er
On remarque en particulier queeθ=dθdou encore :

Onpourrav´erifierque:

der˙
ddetrθdθθdtdeθ
= =

deθ˙
dt=−θer

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

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˙
Onpeutretenirlar`eglesuivante:θ×vecteur obtenu par une rotation deπ2
dans le sens desθcroissant.

4.3

Vecteurvitesseetvecteuracc´ele´ration

r,θ,z, mais aussiereteθmps.dute´dtnednepe
dOM˙detr+ ˙
=
v=dt rer+rzdez

˙
v=r˙er+rθeθen polaire.

˙
˙
v=rer+rθeθ+z˙ez

Calculonslevecteuracce´l´eration:
¨ ˙deθ
a=tddv=r¨er+r˙ddetr+ (r˙θ˙+rθ)eθ+drθt+z¨ez

˙
a= (r¨−rθ2)er+ (2r˙θ+˙rθ)¨eθ+z¨ez

ar=r¨−rθ˙2est lacomposante radialetli’oancc´´eeral.de
˙ ¨
acc on.
aθ= 2r˙θ+rθest lacomposante orthoradiale´’leditare´le
az=z¨ est lacomposante axiale.

Calculonslevecteurdeplacemente´l´ementaire:
´

dOM=vdt=drer+rdθeθ+dzez

MPSI-Me´caniqueI-Repe´raged’unpoint-Vitesseetacc´el´eration

5

5.1

Coordonne´essphe´riques

Repe´raged’unpoint-Vecteurposition

ex
~

~
ezθ

O
ϕ

ey
~

M

H

er
~


~

~

~

Lesrdoon´onssee´ephuqirsec(r θ ϕsentfinisni`edemaqieuernuisitalopone´d)
du point M :
r=kOMk+ravtuepa`0edrei∞
\
θ= (ezOM)eptu0`avarierdeπ
\
ϕ= (exOHavtureirep)0`dea2π

Les vecteurser,eθeteϕconstituent laeuqiresph´base:
OM
er=
OM
eϕest obtenu en tournant deπ2 dans le sens desϕtirdaparteuruvecrc`tnassio
OH
eθ=eϕ∧er

Levecteur position´erique:dtirlsnasabahpsesec’´

OM=rer

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

5.2

5.3

5.4

6

6.1

6.2

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Relationentreparame´tragesphe´riqueetparame´tragecarte´-
sien (voir TD)

Vecteurvitesseetvecteuracc´ele´ration(voirTD)

Coordonn´eesg´eographiques

Exemples

de

parallèle

θ

méridien

itude

O λlat
ϕlongitude

équateur

mouvement

Vecteuracce´l´erationconstant

a=cte

v=at+A
OM=12at2+At+B

Mouvementrectilignesinusoı¨dal

M

~
er(verticale)
eϕ(est)
~

~
eθ(sud)

OM=xexavec x=xmcosωt

v=−xmωsinωtex
a=−xmω2cosωtex=−ω2OM

MPSI-M´ecaniqueI-Rep´eraged’unpoint-Vitesseetacce´l´eration

6.3

Mouvement circulaire

Leparame´tragepolaireestlemieuxadapte´:

DamienDECOUT-Derni`eremod

ification :

OM=Rer

˙
v=Rθeθ
a=−θ˙2θ¨eθ
Rer+R

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