Cours - Mécanique I - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Dynamique du point en référentiel galiléen

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Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est composé de 5 chapitres : (1) Introduction à la mécanique classique - Rappels et domaine de validité (2) Repérage d'un point vitesse et accélération (3) Dynamique du point en référentiel galiléen (4) Energie potentielle - Energie mécanique - Problèmes à un degré de liberté (5) Oscillateur harmonique - Régime libre
Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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MPSI - M´ecanique I - Dynamique du point en r´ef´erentiel galil´een page 1/6
2
4.2.2 Chute libre avec frottement en v . . . . . . . . . . . . 5
Dynamique du point en r´ef´erentiel
4.3 Tension d’un fil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.4 Force de rappel ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
galil´een
4.5 Force de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
e
Il faut bien comprendre que la 2 loi de Newton rappel´ee dans le chapitre d’in-
troduction `a la m´ecanique classique appliqu´ee dans notre r´ef´erentiel Oxyz
1 Lois de Newton
consid´er´e galil´een, suffit `a r´esoudre tous les probl`emes analytiquement ou
re
num´eriquement. Nous aurions pu en rester la`.
1 loi ou principe d’inertie Dans un r´ef´erentiel galil´een, un point mat´eriel
Tout ce qui suit va faciliter la r´esolution (et donc souvent la compr´ehension) de
isol´e `a un mouvement rectiligne uniforme.
certains probl`emes.
e
2 loi ou principe fondamental de la dynamique Dans un r´ef´erentiel gali-
Nous venons de voir que la description du mouvement d’un point peut-ˆetre sim-
l´een ma =F.
plifi´ee avec d’autres syst`emes de coordonn´ees et d’autres bases.
e
3 loi ou principe de l’action et de la r´eaction Les forces d’interaction r´e-
e
Un peu dans le mˆeme ´etat d’esprit, nous allons voir que la 2 loi peut s’´ecrire
ciproque quis’exercent entredeux points mat´eriels sontoppos´ees et ont pour
autrement en faisant apparaˆıtre de nouvelles grandeurs qui peuvent s’av´erer tr`es
support la droite joignant ces points.
utiles pour certains probl`emes.
Enfin nous ferons l’inventaire des forces qui interviennent le plus couramment
dans les probl`emes.
2 Quantit´e de mouvement
2.1 D´efinition
Table des mati`eres
La masse (inertielle) ´etant invariante en m´ecanique clasique on a :
1 Lois de Newton 1
dv d
ma =m = (mv)
dt dt
2 Quantit´e de mouvement 1
2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
La grandeur :
2.2 Th´eor`eme de la quantit´e de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 1
p =mv
2.3 Conservation de la quantit´e de mouvement . . . . . . . . . . . . . 2
est appel´ee quantit´e de mouvement du point M ou` m est la masse de M et v
son vecteur vitesse.
3 Puissance, travail et ´energie cin´etique 2
3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Th´eor`eme de la puissance cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Th´eor`eme de la quantit´e de mouvement
3.3 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
e
La 2 loi peut alors s’´ecrire en faisant apparaˆıtre la quantit´e de mouvement :
3.4 L’´energie cin´etique se conserve-t-elle? . . . . . . . . . . . . . . . . 3
dp
=F
4 Forces 3
dt
4.1 Force de pesanteur - Chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
e
4.2 Force de frottement dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Comme la 2 loi, le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement s’applique dans un
4.2.1 Chute libre avec frottement en v . . . . . . . . . . . . . 4 r´ef´erentiel galil´een.
Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007
MPSI - M´ecanique I - Dynamique du point en r´ef´erentiel galil´een page 2/6
2.3 Conservation de la quantit´e de mouvement P =F.v
est la puissance de la r´esultante des forces F qui s’exercent sur M ou` v est la
Si F = 0 (point isol´e ou pseudo-isol´e) alors :
vitesse de M.
p =cte
δW =F.dOM =F.vdt =P(t)dt
re
ou encore v =cte et l’on retrouve la 1 loi de Newton.
est le travail ´el´ementaire de la r´esultante des forces F qui s’exercent sur M ou`
dOM est le d´eplacement ´el´ementaire de M.
Pour un syst`eme quelconque aussi complexe soit-il nous verrons que la
e
2 loi peut s’´ecrire :
Le travail W entre deux instants t et t s’´ecrit :
1 2
dP
=F
ext
Z Z
dt
t M
2 2
P
ou` P = p est la quantit´e de mouvement totale du syst`eme et F la r´esul- W = P(t)dt = F.dOM
i ext
i
t M
1 1
tante des forces ext´erieures au syst`eme.
La conservation de la quantit´e de mouvement permet alors d’expliquer le recul
enfin :
d’un canon :
1
2
E = mv
l’ensemble canon-projectile ´etant immobile, la quantit´e de mouvement totale c
2
est nulle; la r´esultante des forces ext´erieures s’exer¸cant sur l’ensemble canon-
est l’´energie cin´etique de M ou` m est la masse de M et v sa vitesse.
projectile ´etant nulle, la quantit´e de mouvement se conserve, elle reste nulle;
donc si le projectile part d’un cˆot´e, il faut que le canon parte `a l’oppos´e pour que
la quantit´e de mouvement totale reste nulle. 3.2 Th´eor`eme de la puissance cin´etique
Les avions a` r´eaction et les fus´ees fonctionnent aussi sur ce principe : du gaz est
D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a :
´eject´e d’un coˆt´e pour propulser l’avion ou la fus´ee de l’autre coˆt´e.
dE
c
=P
dt
3 Puissance, travail et ´energie cin´etique
Dans un r´ef´erentiel galil´een, la puissance de la r´esultante des forces exerc´ees sur
M est ´egale `a la d´eriv´ee par rapport au temps de son ´energie cin´etique.
3.1 D´efinitions
e
Multiplions scalairement la 2 loi de Newton par v :
3.3 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique
ma.v =F.v
Toujours d’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a :
!

2
2 2 2
v
dv dv dv d v d d v d v
x y z y
x z
a.v = v + v + v = + + = , dE =δW
x y z
c
dt dt dt dt 2 dt 2 dt 2 dt 2
donc :

qui constitue la forme diff´erentielle du th´eor`eme de l’´energie cin´etique. En int´e-
d 1
2
grant entre deux instants t et t
mv =F.v
1 2
dt 2
Z Z
ou encore :
t M
2 2
1
2 ΔE =E (t )−E (t ) =W = P(t)dt = F.dOM
c c 2 c 1
d mv =F.vdt =F.dOM
t M
1 1
2
Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007MPSI - M´ecanique I - Dynamique du point en r´ef´erentiel galil´een page 3/6
Dans un r´ef´erentiel galil´een, la variation d’´energie cin´etique de M entre deux Projection : il s’agit de choisir le param´etrage le plus appropri´e au probl`eme;
instants t et t est ´egale au travail de la r´esultante des forces qui s’exercent sur les coordonn´ees cart´esiennes avec un axe colin´eaire `a g sont, pour la chute
1 2
M entre ces deux instants. libre, les plus appropri´ees.
Attention : en g´en´eral W =W(t )−W(t ).
2 1
z
3.4 L’´energie cin´etique se conserve-t-elle?
~g
Si F = 0 (point isol´e ou pseudo-isol´e) alorsP = 0 et E =cte.
c
Contrairement a` la conservation de la quantit´e de mouvement qui reste
~v
0
valable pour les syst`emes, la conservation de l’´energie cin´etique n’est valable que
pour le point; celle-ci est par exemple mise en d´efaut sur l’exemple du syst`eme
canon-projectile.
α
Nous verrons que pour un syst`eme, le th´eor`eme de la puissance cin´etique
x
s’´ecrit :
O
dE
c
=P +P
int ext 
 
dt
x =v cosαt
0

a = 0 v =v cosα
  
x x 0
y = 0
ou` E est l’´energie cin´etique totale du syst`eme,P la puissance des forces ext´e-
c ext a = 0 v = 0
y y
   1
 2
rieures qui s’exercent sur le syst`eme etP la puissance des forces int´erieures qui
int
a =−g v =−gt+v sinα
z =− gt +v sinαt
z z 0 0
2
s’exercent sur le syst`eme. C’est justement la pr´esence de P qui est a` l’origine
int
Pour trouver l’´equation de la trajectoire, il suffit d’´eliminer t :
de la non conservation de l’´energie cin´etique.
x g
2
t = z =− x +tanαx
2 2
v cosα 2v cos α
0
0
4 Forces
Pour trouver la port´ee, il faut r´esoudre z = 0 :
4.1 Force de pesanteur - Chute libre

 x = 0
Soit un projectile de masse m lanc´e avec une vitesse initiale v et soumis
2
0
v sin2α π
0
 x = maximum pour α =
uniquement a` son poids.
g 4
Pour trouver la fl`eche, il faut r´esoudre v = 0 :
z
Syst`eme ´etudi´e : projectile de masse m assimilable `a un point.

2
R´ef´erentiel : r´ef´erentiel d’observation (terrestre) suppos´e galil´een.  v sin2α
0
 x =
v sinα
0 2g
Bilan des forces : le poids P =mg t =
2 2
 v sin α
g
0
 x =
PFD : ma =mg
2g
Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007
6MPSI - M´ecanique I - Dynamique du point en r´ef´erentiel galil´een page 4/6
Le point (x ,0,z ) est atteint par le projectile pour une vitesse v donn´ee si x Pour v on aurait pu r´esoudre une ´equation diff´erentielle avec second membre :
C C 0 C z
et z v´erifient :
C
dv
z
g
2 +λv =−g
z
z =− x +tanαx
C C
C
dt
2 2
2v cos α
0
dont la solution est la somme solution g´en´erale de l’´equation homog`ene sans
ou encore, si α est solution de l’´equation :
second membre + solution particuli`ere de l’´equation avec second membre (ne
marche que pour les ´equations diff´erentielles lin´eaires) :
2 2
gx gx
C 2 C
− tan α+x tanα− −z = 0
C C g
2 2
2v 2v
v =Cexp(−λt)−
0 0 z
λ
c’est-a`-dire si :
On utilise les conditions initiales (sur la somme solution g´en´erale de l’´equation
2 2
gx gx
2 C C homog`ene sans second membre + solution particuli`ere de l’´equation avec second
Δ =x −4 ( +z )≥ 0
C
C
2 2
2v 2v
membre) :
0 0
g
v (t = 0) =C− =v sinα
z 0
Les pointsaccessibles duplan(Oxz)sontdoncsitu´es souslaparaboledesureˆ t´e
λ
d’´equation :
et on retrouve le mˆeme r´esultat.
2
g v
2 0
z =− x +
2
2g e
2v
On int`egre une 2 fois pour x et z
0

v cosα
0

x =− exp(−λt)+A


4.2 Force de frottement dans un fluide
λ
g
( +v sinα)
0

g
4.2.1 Chute libre avec frottement en v
 λ

z =− exp(−λt)− t+B
λ λ
Il faut rajouter la force−kv
Avec les conditions initiales x = 0 et z = 0, on a finalement :


k dv v cosα
 x 0


a =− v = x = (1−exp(−λt))

x x

m dt λ
g
dv
k
z

( +v sinα)
 0
a =−g− v = 
z g
z
 λ
m dt 
z = (1−exp(−λt))− t
λ λ
k
On pose λ = et on int`egre (pour v changement de variable u =g+λv )
z z Lorsque t→∞
m
( (
v cosα
0

v → 0
 x
x→ (asymptote)
v
dv
 x g mg
x λ et
 
  ln =−λ(t−0)
=−λdt v →− =− =v
z lim
z→−∞
v cosα
v
0 λ k
x
λdv
g+λv
z
  z
 
Pour que la vitesse limite soit atteinte, il ne faut pas que le projectile atteigne
=−λdt
 ln =−λ(t−0)
g+λv
g+λv sinα
z
0
trop vite le sol.
( La vitesse limite est en fait la solution particuli`ere de l’´equation :
v = (v cosα)exp(−λt)
x 0
g g dv
v = ( +v sinα)exp(−λt)− m +kv =mg
z 0
λ λ dt
Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007
MPSI - M´ecanique I - Dynamique du point en r´ef´erentiel galil´een page 5/6
dv
d’ou` :
En effet lorsque la vitesse limite est atteinte = 0 et :
dt
T =−mg(l−z)/l
mg
v =
lim La tension est bien dirig´ee vers le haut.
k
2
Pour z =l, T = 0 et pour z = 0, T =−mg.
4.2.2 Chute libre avec frottement en v
0
On accroche en A un objet de masse m :
ma =mg−kvv

0
p
dv
 x T +mg(l−z)/l+mg = 0
2 2

m =−k v +v v
x
x z
dt
0
p
dv Pour z =l, T =−mg.
 z
2 2

m =−mg−k v +v v
z
x z
dt
0
Pour un fil id´eal de masse nulle, la tension vaut T = −mg en tout point
Cesyst`emed’´equationsdiff´erentiellescoupl´ees n’admetpasdesolutionanalytique
du fil.
(r´esolution num´erique) sauf dans le cas particulier du mouvement vertical :
p
dv
z
Une poulie id´eale ne modifie pas la tension (en norme) d’un fil id´eal. La
2
m =−mg−k v v
z
z
dt
tension (en norme) est donc la mˆeme de chaque cˆot´e de la poulie.
4.3 Tension d’un fil
4.4 Force de rappel ´elastique
O
x
l =l
0
z
A
~
T
x
l
l >l
0
Un fil est suspendu par l’une de ses extr´emit´es `a un support. ~
T
A l’´equilibre, la partie sup´erieure au point A exerce une force qui compense le
x
poids de la partie inf´erieure de masse m(l−z)/l :
l <l
0
T +mg(l−z)/l = 0
Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007
MPSI - M´ecanique I - Dynamique du point en r´ef´erentiel galil´een page 6/6
La force exerc´ee par le ressort est proportionnelle `a l’allongement X =l−l :
0
kTk =k|l−l |
0
−1
k est la constante de raideur du ressort (N.m ) et l la longueur a` vide.
0
Si l’allongement est nul, alors T = 0.
Si l’allongement est positif (ressort ´etir´e) alors la tension est orient´ee selon−e .
X
Si l’allongement est n´egatif (ressort comprim´e) alors la tension est orient´ee selon
e .
X
Dans tous les cas, elle peut s’exprimer :
T =−kXe
X
4.5 Force de liaison
La r´eaction du support est la force sans laquelle le syst`eme ´etudi´e s’enfoncerait
dans le support !
Elle est normale au support lorsqu’il n’y a pas de frottement.
Lorsqu’il y a des frottements, il existe une composante tangentielle.
~
R
~
R

~
R
k
Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

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