Cours - Mécanique I - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Oscillateur harmonique - Régime libre

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Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est composé de 5 chapitres : (1) Introduction à la mécanique classique - Rappels et domaine de validité (2) Repérage d'un point vitesse et accélération (3) Dynamique du point en référentiel galiléen (4) Energie potentielle - Energie mécanique - Problèmes à un degré de liberté (5) Oscillateur harmonique - Régime libre
Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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MPSI-M´ecaniqueI-Oscillateurharmonique-Re´gimelibre

Oscillateur harmonique -
Re´gimelibre

L’importancedel’oscillateurharmoniquea`undegre´delibert´eenphysique,
justifie qu’on lui consacre un chapitre.

Tabledesmati`eres

1

Oscillateur harmonique

2 Oscillations libres
2.1 Pulsation propre - Isochronisme des oscillations . . . . . . .
´
2.2Etudee´nerg´etique........................

3

1

Oscillations libres amorties
3.1Tempsderelaxation-Facteurdequalite´...........
3.2R´egimepseudo-pe´riodique...................
3.3Re´gimeape´riodique.......................
3.4 R´gime critiq
e ue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
3.5Etude´energ´etique........................

Oscillateur

harmonique

1

1
1
2

2
2
2
3
3
4

Onappelleoscillateurharmoniquetoutsyste`mea`undegre´deliberte´dont
l’´evolutionaucoursdutemps(enl’absenced’amortissementetd’excita-
tion)estr´egiparl’e´quationdiff´erentiellesuivante:

dd2xt2+ω20x= 0

quelle que soit la nature physique de la variablex.

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

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L’oscillateurharmoniquee´voluedansunpuitsdepotentieldetypeparabo-
lique :
soit :

Ep(x) =Ep)0(21+kx2

soit :
1
Ep(x)'Ep(0) + 2kx2
auvoisinaged’unepositiond’´equilibrestable(voircourspre´c´edent).

L’oscillateurharmoniqueestsoumis`auneforcederappelproportion-
ll `
ne e ax:
FdEp−kx
=−=
dx

2

2.1

Oscillations libres

Pulsation propre - Isochronisme des oscillations

x(t) =xmcos(ω0t+ϕ)

˙x(t) =−xmω0sin(ω0t+ϕ) =v(t)
xmetϕleias.nsioitintnosimrete´drlpaesn´itndcoes
Six(0) =x0etv(0) =v0alors :
2
xm=sx02+ωv00
t nϕv0
a =−
ω0x0

Lape´riodeT02=π´dnitsese’cenutel;stiaisnnitioicondedesdantepen
ω0
proprie´te´importantedel’oscillateurharmoniqueappel´eeisochronismedes
oscillations.

´
MPSI-MecaniqueI-Oscillateurharmonique-R´egimelibre

2.2

´
Etudee´nerge´tique

ϕ=)21kx2m

Em=Ec+Ep2=1mx2mω02sin2(ω0t+ϕ)+12kx2mcos2(ω0t+
Calculons la valeur moyenne deEp
T
pi=T1Z0Ep(t)dt=kx22mhcos2(ω0t+ϕ)i=kx42m
hE

dˆeme:
e m

kx2m
hEci=4

Pendantlemouvement,ilya´equipartition,enmoyenne,desformescine´-
tiquesetpotentiellesdel’´energie.

3

hEpi=hEci=Em
2

Oscillations libres amorties

3.1Tempsderelaxation-Facteurdequalite´

Avecamortissement,l’e´quationdiff´erentielledevient:

que l’on met sous la forme :

mx=−kx−hx˙
¨

¨x+ 2α˙x+ω20x= 0

avec 2α=hetω2k
m0= , ou encore :
m

˙
x¨ +x+ω2x= 0
τ0

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

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o`uτeel´stiepeapemntqupsoisnu’dnaltnemidtanteayatuneconssetemps
de relaxation´teurtsaetanledallicso’pulsation propre.
,ω0
Pourd´ecrirel’oscillateuramorti,onpeutpr´ef´ereraucouple(ω0,τ) le couple
(ω0,Q),Qpaepisnominenadsl´ete´estr`eamarnptuane´tiqualurdeactef
de´finipar:
ω0
Q=ω0τ= 2τTπ=2ωα0=m
0h

Une solution en exp(rt) existe si :

r2+ 2αr+ω20
0=

Suivantlesignedudiscriminantre´duit,plusieursre´gimessontpossibles:

3.2

Δ0=α2−ω02

e
R´gimepseudo-p´eriodique

Si les frottements sont faibles alorsα < ω0,Q >12etΔ0<0

x(t) = e−αt(Acos Ωt+Bsin Ωt)

en introduisant la pseudo-pulsation Ω telle que Ω2=ω02−α2(Δ0=−Ω2=
(iΩ)2etr=−α±iΩ).


x˙ =−αeαt(Acos Ωt+Bsin Ωt) + e−αtΩ(−Asin Ωt+Bcos Ωt)

=A=x0
˙xx(=()0)0−αA+ ΩB=v0

x(t) = e−αt(x0cos Ωt+v0Ω+αx0sin Ωt)

MPSI-Me´caniqueI-Oscillateurharmonique-Re´gimelibre

Unetellee´volutionderetourversun´etatpermanentest
relaxation ; ce retour se fait au bout de quelquesτ.

T0
1

14Q2

qualifie´e

est lapseudo-periode.
´

de

2π T0
T == =
Ω1−ωα02
Lade´terminationexp´erimentaledeδ= lnx(tx+(t)T)e´leppatenme´rce´d
logarithmique:e´tcteulefaualirdeqteedepmrlureaccl

δ=αT=ω20TQ

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

=

π

2
Q−14

3.3R´egimeape´riodique
Si les frottements sont importants alorsα > ω0,Q <Δte210>0

x(t) = e−αt(Acosh Ω0t+Bsinh Ω0t)

avec Ω02=α2−ω20(r=−α±Ω0).

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x˙ =−αe−αt(Acosh Ω0t+Bsinh Ω0t) + e−αtΩ0(Asinh Ω0t+Bcosh Ω0t)
x˙x0(=)(0)=A−α=Ax+0Ω0B=
v0

3.4

x(t) = e−αt(x0cosh Ω0t+v0+Ω0αx0sinh Ω0t)

Re´gimecritique
Siα=ω0,QΔte21=0= 0


x(t) = eαt(At+B)

MPSI-Me´caniqueI-Oscillateurharmonique-Re´gimelibre

(r=−α).

x˙ =−αe−αt(At+B) + e−αtA
xx=(()0˙0)=−αB=Bx+0A=v0

x(t) = e−αt((v0+αx0)t+x0)

L´egimecritiquen’estjamaisr´ealis´ephysiquementexactement.
e r

3.5

´
Etude´energ´etique

ddEm=Pnc=−hv2<0
t

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