Cours - Ondes électromagnétiques - 2ème année de CPGE scientifique, voie PC*, Ondes électromagnétiques à la surface d'un métal

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Cours sur les ondes électromagnétiques basé sur le programme de physique de 2ème année de la voie PC* des CPGE. Ce cours est composé de 3 chapitres : (1) Ondes électromagnétiques dans le vide (2) Ondes électromagnétiques dans les plasmas (3) Ondes électromagnétiques à la surface d'un métal

Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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Réflexion des ondes
électromagnétiques sur un métal
Ondes guidées


Réflexion des ondes EM sur un métal, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Réflexion des ondes électromagnétiques sur un métal
Ondes guidées

Les guides d’ondes sont des sortes de « tuyaux » permettant de mener une onde EM
d’un point à un autre. Le guidage change très fortement les propriétés de l’onde par
rapport à la propagation libre dans le vide.

Quelques exemples de guide d’ondes
Le but de chapitre est de présenter les propriétés des ondes EM en présence de
conducteurs et de présenter une théorie des guides d’ondes.
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I – Réflexion d’une OPPH sur un conducteur métallique :
1 – Description du problème et limitations du sujet :
On s’intéresse à l’arrivée d’une onde EM sur une surface métallique.
r
u
On assimile localement l’interface air/métal à son plan tangent et on note le
z
vecteur unitaire normal, dirigé du métal vers l’air.
Onde
z
incidente
Onde
réfléchie
r
u
z
air
métal Onde
transmise


L’air est assimilé au vide. Dans le conducteur, les charges de conduction sont mises en
mouvement par le champ de l’onde EM et vont intervenir dans le processus de
propagation.
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Dans la suite, on se limite à des fréquences telles que la période de l’onde est très
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ν << 10 Hz)
grande devant le temps de relaxation du métal (ou .

7 −1
γ = 6.10 S.m
La loi d’Ohm est alors vérifiée avec, pour le cuivre par exemple, :
r
r
j = γE


On note ω la pulsation de l’onde incidente.
On constate expérimentalement que l’onde réfléchie et l’onde transmise ont même
pulsation.

γ → ∞
Le métal sera supposé parfait : sa conductivité .

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Les équations de Maxwell ont permis de montrer que :

r r r r
r
σ r r
E − E = n et B − B = μ j ∧n
air conducteur cond →air air conducteur 0 s cond →air

ε
0

• La composante tangentielle du champ électrique était continue à la traversée de la
surface métallique.

• La composante normale du champ magnétique était continue à la traversée du
métal.



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2 – Modèle du conducteur parfait :
La puissance volumique dissipée par effet Joule dans un conducteur est :
r r
r
2
p = j.E = γE
Joule
r
2
γ → ∞
E → 0
Pour un conducteur parfait, et ainsi pour que cette puissance
volumique reste finie : le champ électrique est nul à l’intérieur d’un conducteur parfait.

D’après la relation de Maxwell-Faraday :
r
r r
∂B
rot E = 0 = −

∂t
Seul un champ statique peut exister dans le conducteur parfait. On supposera dans la
r
r
B = 0
suite qu’il n’y a aucun champ statique : .
Finalement, il n’y a pas de champ EM au sein du métal parfait (cas identique au cas
statique).
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L’équation de Maxwell-Gauss donne :
r
ρ
div E = 0 = soit ρ = 0
ε
0
Il n’y a pas de charges volumiques au sein du métal parfait.

L’équation de Maxwell-Ampère donne :
r
r r r
r r r
∂E
rot B = 0 = μ j + ε μ = μ j soit j = 0
0 0 0 0

∂t
Il n’y a pas de courants volumiques au sein du conducteur.

Les charges et les courants ne peuvent être que surfaciques.


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Conclusion :
r
r
E B
En régime variable, un conducteur parfait est caractérisé par des champs et nuls
r
j
et des densités volumiques de charge ρ et de courant nulles.
Les charges et les courants ne peuvent être que surfaciques.

Remarque : on néglige finalement l’effet de peau (voir exercice).


Complément sur l’effet de peau :
Dans le cadre de l’ARQS, le champ EM vérifie les équations de Maxwell « simplifiées »
suivantes : (on néglige également le courant de déplacement devant le courant de
conduction)
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r
div B = 0
r
div E = 0
r
r
∂B
rot E = −
∂t

r r
r
rot B = μ j = μ σ E
0 0

L’équation de propagation du champ électrique est :
r r
r r r r
∂E ∂E
rot(rotE) = −μ σ = −ΔE soit ΔE − μ σ = 0
0 0

∂t ∂t
C’est une équation de type « diffusion », obtenue dans les transferts thermiques
conductifs.

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r r
jωt
E = E f (z)e
On cherche des solutions complexes de la forme . D’où :
0
f "(z) − jμ σωf (z) = 0

0
μ σω
0
k = ±(1+ j)
On pose ; alors, en éliminant la solution qui diverge dans le métal
2
2
δ =
(avec z < 0 !) et en posant , on obtient :
μ σω
0
r r
z / δ j(ωt+z / δ )
E = E e e
0
z / δ
e
Le champ se propage dans le métal mais en étant atténué d’un facteur
(attention ici, z < 0) ; δ est appelée épaisseur de peau et correspond à l’ordre de
grandeur de la longueur de pénétration de l’onde dans le métal.
Cette épaisseur sera d’autant plus faible que la conductivité de matériau et la fréquence
de l’onde sont élevées. L’onde est ici absorbée du fait de l’effet Joule au sein du
conducteur, sur une épaisseur de l’ordre de quelques δ. Si l’on considère une onde EM
de fréquence de l’ordre du GHz, δ est de l’ordre du μm.
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