Devoir Libre N°12: Années précédentes

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 28
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.

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b.
c.

1.
2.

1.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

DEVOIR LIBRE N˚12

a`rendrelundi23avril2012

`
PROBLEME 1:Diagonalisation d’une matrice et applications

L’objectifduproble`meestd’e´tudierquelquespropri´ete´s
de la matriceA∈ M3(R.ertnoc-ieci´efin)d

Partie I. Diagonalisation

A=112
200

On id`re pourλ∈Rsauitnolsnie´iaerlesyst`emed’´eq
cons e
=λx1
(Sλ)2xx11++2xx222++xxx333==λxλx23

12
1

Pourquellesvaleursduparame`treλ∈Rysel`est(meSλ) n’est-ilpas ?de Cramer
Indication :vous pourrez montrez que (Sλntlevauieqt´es)airengulrtaie`emystsa`nu
supe´rieur.
Achevezlar´esolutionde(Sλ), lorsqueλ∈ {013}.
On definit les deux matrices
´
P=−101−−1211201etD=000000103

V´rifiez quePest inversible et calculezP−1du point de vue SELetGauss-Jordan !
e
V´erifiezqueP−1×A×P=DetP×D×P−1=A.
SoitM∈ M3(R). Montrez queM×D=D×Msi et seulement siMest diagonale.
Partie II. Puissances positives deA
Montrez que pour tout entiern∈N,An=P×Dn×P−1.
De´duisez-enl’expressiondeAnen fonction den.

PartieIII.Racinescarre´esdeA

Onseproposeder´esoudl’´ationd’inconnueX∈ M3(R)
re equ

X2=A

(1)

SoitX∈ M3(R). On noteY=P−1×X×P.V´erifiezqueXest solution de (5),si et
seulement si
Y2=D(2)

1

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3.

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1.

2.

3.

SoitY∈ M3(Rzeuqnort)6M.na(terifi)v´eY×D=D×Ytionsseleulos-zesuqned´etuied
Y∈ M3(R) de (6) sont les matrices de la forme
Y=00ε01003`uoε1 ε2∈ {+1−1}
0 0ε2

Achevezlar´esolutionde(5).
PartieIV.Hors-barˆeme:calculducommutantdeA

On noteC(A) ={M∈ M3(R)|A×M=M×A}l’ensemble des matrices qui commutent
avecA.
Montrez queC(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R).
Montrez queM∈ C(A)si et seulement siP−1×M×Pest diagonale.
D´etermineztroismatricesM1 M2 M3telles que

C(A) ={λ1∙M1+λ2∙M2+λ3∙M3; (λ1 λ2 λ3)∈R3}

Montrez que (M1 M2 M3) est une base deC(A).
PartieV.Re´solutiond’unsyst`emediffe´rentiel

Onconsid`erelesyste`mediffe´rentiel
xx′′12((t) =x1(t) +x2(t) +x3(t)
t) = 2x1(t) +2x2(t) +2x3(t)
x′3(t) =x3(t)

(3)

avec les conditions initialesx1(0) = 2,x2(0) = 1,x3(0) = 2.
Etantdonn´eestroisfonctionsd´erivablesx1 x2 x3deRdansRnfitidne´ottuopru,ot∈R
X(t) =xx21((tt)))etX′(t) =xxx′′′312(((ttt)))
x3(t

De´terminezunerelationmatricielleentreX′(t) etX(t.)7(emst`eausyenteivale´uq)
On noteY=P−1×X=yyy321. Montrez queXest solution de (7)si et seulement si
est solution de
∀t∈R Y′(t) =D×Y(t)

Re´soudrelesyste`mediff´erentiel(8)puisende´duirelessolutionsde(7).

2

Y

(4)

Fin du sujet