Exercice N°110: Coniques

Description

⋆′′′⋆ MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 27 novembre 2011 CONIQUES Propri´et´es des coniques Exercice 8 : Pour tout λ∈R on consid`ere la courbeC d’´equation cart´esienne : λ 2 2 x +2λxy+y −2x+2y = 0 Exercice 1 : SoitD une droite du plan et F un point n’appartenant pas `aD. 1. Montrez que par tout point M ∈P\(D∪{F}) passe une unique coniqueC de 1. D´eterminez les points communs a` toutes ces coniques. directriceD et de foyer F. 2. Discutez la nature deC suivant la valeur de λ. λ 2. Pr´ecisez la nature deC suivant les positions de M. 3. Quel lieu d´ecrivent les centres de ces coniques? Exercice 2 : Soit D une droite et M un point du plan (non situ´e sur D). Quel Exercice 9 : D´eterminez la nature, les ´el´ements caract´eristiques et repr´esentez les ensemble d´ecrivent les foyers des paraboles de directriceD passant par M ? coniques d’´equations suivantes : 2 2 2 2 1. 3x +4y −6x+16y+7 = 0 6. x −xy+y = 1 Exercice 3 : Soit H une hyperbole. On suppose que les asymptotes de H sont or- √ 2 2 2 2 thogonales. Montrez queH est d’excentricit´e e = 2. 7. 5x +y −10x+4y+4 = 0 2. 4y −x −2x−8y = 1 √ Vocabulaire : on dit queH est une hyperbole ´equilat`ere. 2 2 2 2 3. 5x +7y +2 3xy = 4 8. x −4y +4x+8y−4 = 0 √ 2 2 2 4. x +xy+y = 1 9. x + 3xy+x = 2 + Exercice 4 : SoientD une droite, A∈P\D et d∈R . √ √ 2 2 2 2 5. 2x + 3xy+y = 1 10. x +2xy+y +4 2(x−y) = 0 D´eterminez le lieu des points M tels que AM +d(M,D) =d.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

Propri´ete´sdesconiques

CONIQUES

Exercice 1 :SoitDune droite du plan etFupniortenantpntn’appaa`saD.
1.Montrez que par tout pointM∈ P (D ∪ {F}) passe une unique coniqueCde
directriceDet de foyerF.
2.ilsaeecztru´nPadereCsuivant les positions deM.

Exercice 2 :SoitDune droite etMuse´utisrduntoinpon(nanpluD). Quel
ensembled´ecriventlesfoyersdesparabolesdedirectriceDpassant parM?

Exercice 3 :SoitHune hyperbole. On suppose que les asymptotes deHsont or-
thogonales. Montrez queHtc´eentdr’iceixeste=√2.
Vocabulaire :on dit queHest unehleboeryptaliuqe´ere`.

Exercice 4 :SoientDune droite,A∈ P  Detd∈R+⋆.
D´eterminezlelieudespointsMtels queAM+d(MD) =d.

Exercice 5 :SoitEqe’despille’lteuiedr´ontiuaxa22+yb22,1`o0u=< b < a. Soit
´
M0un point deEa`e´”al,utisverticale” d’un foyerFdeE.
D´eterminezlesintersectionsdelatangente`aEenM0avec les axes de l’ellipse.

Exercice 6 :SoientFetF′rnpaoptre´a`nuordeuxpointsdupla0(dn~ı~) tels
queF F′= 6.
1.ensedel’uiter´editnoqeaulz´’imeneretD´elbmMifiertanniop´vstsedM F+M F′=
10.
2.Tracez cet ensemble.

Exercice 7 :Soitα∈]−π π[.Oncosenueellpisndie`erEde centreO∈ PetEα
l’image deEpar la rotation d’angleα.
Montrez que les quatre points d’intersection deEetEαsont les sommets d’un
losange.

R´eductiondescourbesalge´briquesdedegr´2
e

1

semaine du 27 novembre 2011

Exercice 8 :Pour toutλ∈Rocalere`ebrunsidoncoCλ’dioatqu´enensite´aren:c

x2+ 2λxy+y2−2x+ 2y= 0

1.´Drete.esqunicouoetcssemmnu`stapointscominezles
2.Discutez la nature deCλsuivant la valeur deλ.
3.cedeonscueiqs?evireltnnecssert´dceilueuQle

Exercice 9 :qutiiserprreetestneme´le´tcaracstnzee´eselsnezlanature,les´´Dtereim
coniquesd’´equationssuivantes:
1.3x2+ 4y2−6x+ 16y+ 7 = 06.x2−xy+y2= 1
2.4y2−x2−2x−8y= 17.5x2+y2−10x+ 4y+ 4 = 0
3.5x2+ 7y2+ 2√3xy= 48.x2−4y2+ 4x+ 8y−4 = 0
4.x2+xy+y2= 19.x2+√3xy+x= 2
5.2x2+√3xy+y2= 110.x2+ 2xy+y2+ 4√2 (x−y) = 0

Coniquesencoordonne´espolaires

Exercice 10 :Soit (~O~ı)utsepernere`thororonldmaeciritSot.Dune droite du
plan ne passant pas par l’originie ete∈R+⋆. Soit Γ la conique de directriceD,
de foyerOee’dtit´excentrice’le´uqtatnerqzeu.Mo`eepnrsureialopnoinadΓeder
(~ı~O) est
p
=
ρ1 +ecos(θ−α)
o`uα≡(ı~u~rteng’aorlentieen´etse)menuruselede~ıet un vecteur directeur~ude
l’axe focal.
R´eciproquement,lacourbeΓd’´equationpolaireρ= 1 +ecops(θ−α)est la conique
•de foyerO,
•d’axe focal la droiteθ=α
•laireauitnooptide´’qertcerideordalecidρ=ecos(θp−α) .

Exercice 11 :Soient (~~ıOoniqΓlacctetdiremrlaohonoetr`pre)reuneu
p
.
d’e´quationpolaireρ += 1ecosθ
1.´eDrmteezin´el’tauqpnoiialoederlatangente`aΓaupiotnedapar`mteerθ0.

2.Montrez que la portion de tangente entre le point de conctact et la directrice
est vu du foyer sous un angle droit.

Exercice 12 :alzenimrete´D
d’e´quationspolaires

1
1.ρ= 1 + sinθ
2.ρ=12c+soθ
3.ρ2θ
=
1 + 2 cos

Etplussiaffinit´es

nature,

l’excentricite´etlessommetsdesconiques

10
4.ρ 3 cos= +θ
2
5.ρ62=(θ−π4)
+ cos
62
.ρ=√2 + cosθ+ sinθ

Exercice13:Affinit´esorthogonales
Soit Δ une droite etk∈R {01}. Pour tout pointMdu plan, on noteHleprojet´e
orthogonal deMsur Δ etM′l’image deMmotolrh’eied´hterecentpaHet de
rapportk.
Onconside`rel’applicationf:P → Pparf(M) =M′.fesdeaenffitie´atpplee´
base Δ et de rapprotk.
1.SoitOun point de Δ etı~ert´acar.CeΔedirzesiecteunvinatueurertcruid
analytiquement l’applicationfohonmre´(nsdareunerp`rteoO~~).

2.SoitC=C(Ω Run crecle du plan. Quelle est la nature de) f(C) ?
3.Soit (a b)∈R2tel que 0< b < aetEiudeetitau´rnoedpseq’´l’lielxa22+yb22= 1.
a.SoitCdedeai`mlcerelc[reetAA′]. Quelle est l’image deCrapeor-nit´l’affi
thogonale de base (AA′) et de rapportba.
b.SoitCrte`maid[eleledecercBB′]. Quelle est l’image deCaplra’nffitie´
orthogonale de base (BB′′) et de rapportab.

Exercice 14 :Soit (~O~ıunre)mrlaohonoetr`pred`sionnc.Octredinoitacilppa’lere
ϕ:P → Pqui ` tout pointMxyassocie le pointM′yx′′o`u
a
4x−y+ 1
4y′′=3=−xx+ 3y+ 1

1.Montrez queϕtuest´niaffinepr´evousrezlciseohogoetrodtnanelsabalteee
rapport.
2.Dte´einrmezϕ−1.

2

3.SoitCed’´equationlcauobr

5x2+ 5y2−6xy−10x+ 6y−11 = 0

De´terminezune´equationdel’imagedeCparϕ. Quelle est la nature deϕ(C) ?