Exercice N°114: Entiers relatifs, arithmétique

Description

⋆⋆⋆⋆⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Entiers relatifs, arithm´etique Divisibilit´e Nombres premiers entre eux Exercice 1 : R´esoudre dans Z les ´equations suivantes : Exercice 7 : Montrez que pour tout entier n∈N , 2 1. x−1|x+3 1. (n +n)∧(2n+1) = 1 2 2 2. (3n +2n)∧(n+1) = 1. 2. x+2|x +2 3 2 Exercice 2 : R´esoudre dans Z les ´equations suivantes : Exercice 8 : Soit (a,b,c)∈Z tel que a et b sont premiers entre eux. Montrez que a∧bc =a∧c. 1. xy = 2x+3y 1 1 1 2. + = Exercice 9 : Soient a et b deux nombres premiers entre eux. x y 5 1. Montrez que a∧(a+b) =b∧(a+b) = 1. 2 2 3. x −y −4x−2y = 5 2. D´eduisez-en que (a+b)∧ab = 1. 3 Exercice 3 : Soit (a,b,n)∈ (N ) . On note q le quotient de la division euclidienne n Exercice 10 : Soit n∈N. de a− 1 par b. D´eterminez le quotient de la division euclidienne de ab − 1 par n+1 2 b . 1. Montrez qu’il existe un couple (a ,b )∈N , unique tel que n n √ √ n (1+ 2) =a +b 2. PGCD et PPCM n n Exercice 4 : D´eterminez le PGCD de a et b et ´etablissez une ´egalit´e de Bezout 2. Montrez que a et b sont premiers entre eux. n n lorsque 1. a = 33, b = 24 Exercice 11 : On consid`ere la suite (F ) d´efinie par les relations n n∈N 2. a = 37 et b = 27 F = 0, F = 1, et∀n∈N , F =F +F 0 1 n+1 n n−1 3. a = 270 et b = 105. Les F sont des nombres entiers naturels appel´es nombres de Fibonacci. n 2 Exercice 5 : R´esolvez dans Z les ´equations suivantes : 2 n 1. Montrez que pour tout entier naturel n ∈ N , F F − F = (−1) . n+1 n−1 n 1.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

Divilitisibe´

Exercice 1 :aneddrous´RseZe:qs´lessnoitausetnaviu
1.x−1|x+ 3
2.x+ 2|x2+ 2

Exercice 2 :snauosederdR´Z2selet:ssunsanivqu´eioat
1.xy= 2x+ 3y
2. 1x=15+1
y
3.x2−y2−4x−2y= 5

Entiers

relatifs,arithme´tique

Exercice 3 :Soit (a b n)∈(N⋆)3. On noteqle quotient de la division euclidienne
dea−1 parbuenoisivnneidilcieotqulediladentD.e´etmrnizeedeabn−1 par
n+1
b.

PGCD et PPCM

Exercice 4 :PGledeCDmretzenie´Daetb´eetezoutlit´edeBuzene´agatlbsies
lorsque
1.a= 33,b= 24
2.a= 37 etb= 27
3.a= 270 etb= 105.

Exercice 5 :zdanolveR´esZ2l ´quations suivantes :
s es e
1. 221x+ 247y= 15

2. 198x+ 216y= 36
3. 323x−391y= 612

Exercice 6 :Re´osvlzeadsnN2ysssemt`suesaniv:stel
1.xx∧∨yy5=.60=
2.x+y1=0010
x∧y=

1

Nombres premiers entre eux
Exercice 7 :Montrez que pour tout entiern∈N⋆,
1. (n2+n)∧(2n+ 1) = 1
2. (3n2+ 2n)∧(n+ 1) = 1.

Semainedu12aoˆut2011

Exercice 8 :Soit (a b c)∈Z3tel queaetbsont premiers entre eux. Montrez que
a∧bc=a∧c.

Exercice 9 :Soientaetbdeux nombres premiers entre eux.
1. Montrez quea∧(a+b) =b∧(a+b) = 1.
2.D´eduisez-enque(a+b)∧ab= 1.

Exercice 10 :Soitn∈N.
1. Montrez qu’il existe un couple (an bn)∈N2, unique tel que
(1 +√2)n=an+bn√2

2. Montrez queanetbnsont premiers entre eux.

Exercice 11 :(uitere`dsalecnOisnoFn)n∈Nd´finie par les relations
e

F0= 0 F1= 1et∀n∈N⋆ Fn+1=Fn+Fn−1

LesFnostnednsmorbesentiersnaturelppase´lesnombres de Fibonacci.
1. Montrez que pour tout entier natureln∈N⋆,Fn+1Fn−1−Fn2= (−1)n.
D´duisez-en queFnetFn+1sont premiers entre eux.
e
2. Montrez que pour tout couple (n p)∈N×N⋆,Fn+p=FpFn+1+Fp−1Fn.
De´duisez-enque

P GCD(Fn Fp) =P GCD(Fn+p Fp)

3.De´montrezfinalement,

∀(n p)∈N2 P GCD(Fn Fp) =FP GCD(np)

prontisidereaiim,sreimeropmoce´dNombrespeisrestn

Exercice 12 :notnstsruivMaerleesssenzoqmub:´ssemoopnoct
1.a= 4n3+ 6n2+ 4n+ 1,n∈N⋆.

2.b=n4−n2+ 16,n∈Z.

Exercice 13 :Soientaetpeisrextndueu´egursoeriesup´`xua.2a
Montrez que siap−1 est premier, alorsa= 2 etpest premier.

Exercice 14 :Montrez que sipetqsont deux entiers naturels premiers entre eux,
alors 2p−1 et 2q−1 sont premiers entre eux.
Exercice 15 :Soitn∈N. Montrez que√n∈Q⇒⇐∃m∈N n=m2.
D´eduisez-enque√2,√3 sont irrationnels.
Exercice16:Petitthe´or`emedeFermat
Soitpun nombre premier.
1. Montrez que pour toutk∈[; 1 p−1]],pkest divisible parp.
2.D´eduisez-enquepourtoutentiern∈N,np−nest divisible parp.
Exercice 17 :Soitn∈N, on notepnlene`imenombre premier.
1. Montrez quepn+1≤p1p2  pn+ 1.
2.End´eduirequepn≤22n.
3. Soitx∈R+. On noteπ(xl)edbromenesbromeneisrrpmereeini´fu´egursoaux
a`xpourzquent.rDe´emoxassez grand,

ln(lnx)≤π(x)≤x

n
Indication :vous pourrez utilisez le fait que pourn≥3,een−1≥22.

Exercice 18 :Soit (m n)∈N2un couple d’entiers naturels, premiers entre eux.
On suppose qu’il existe des entiers naturelsA,xetytels queA=xn=ym. Mon-
trez qu’il existez∈Ntel queA=zmn.
Indication :sitiompod´ecrlesedriseiramnopsvoesilituzerruopsuxety).

2

Correction des exercices

Exercice 1 .—1.x+ 3 =x−1crno4+apuents´eqx−1|x+ 3⇐⇒x−1|4.
2.x2+ 2 = (x+ 2)(x−´sqeeutn2)onrcPa+6x+ 2|x2+ 2⇐⇒x+ 2|6.N
Exercice 2 .—
1. Soit (x y)∈Z2. On a
xy= 2x+ 3y⇐⇒xy−2x−3y= 0⇐⇒(x−3)(y−2) = 6
x′=x−3
xy′′×=yy′−=62
⇐⇒

Ainsi
x′−6−3−2−1 1 2 3 6
x′+ 3− 4 5 6 93 0 1 2
y′ 0 1+ 2−1−4 8 5 4 3
y′−1−2−3−6 6 3 2 1
Parcons´equentl’ensemblesolutionest
S=(−31); (00); (1−1); (2;−4); (48); (55); (64); (93)

2. Soit (x y)∈Z2. On a
1 1 1
x y5⇐⇒x5x6=0+5yy6==x0y⇐⇒(xx6=−05)y(6y=−5=25)0
+ =
x6= 0 y6= 0
⇐⇒xx′′y=′x−255 y′=y−5
=
Lescouplessolutionssontdonn´esparletableausuivant:
x′−25−5−1 1 5 25
x−20 0 4 6 10 30
y4 0−20 30 10 6
y′−1−5−25 25 5 1
Ainsi,S={(−204)(4−20)(630)(306)(1010)}.
3. Soit (x y)∈Z2apsnonnosiar,tnepoesnclevauieqr´.demmec´eepr´Commur
`ble`mededivi
nous ramener a un pro seurs :
x2−y2−4x−2y= 5⇐⇒(x2−4x)−(y2+ 2y) = 5
⇐⇒(x−2)2−(y+ 1)2= 8
⇐⇒(x+y−1)(x−y−3) = 8
Pour conclure, effectuons le changement d’inconnues
x′+y′+ 4
x′′==xx−+y−−13⇐⇒=x′−y′−2
x2

3

Il s’ensuit que


x=

x2−y2−4x−2y= 5⇐⇒y=
x′y′=

x′+y′+ 4
x′−y2′2
−
2
8

Ond´eterminealorslessolutions`al’aidedutableausuivant:

x′−8−4−2−1 1 2 4
x−52−1−1−52 13 52 5
y−92− 52 02−92−2 0
y′−1−2−4− 2 48 8

Enneconservantquelessolutionsenti`eres,onobtient

S={(−10)(−1−2)(50)(5−2)}

Exercice 3 .—La division euclidienne dea−1 parb:its’cr´e

a−1 =bq+ravec 0≤r≤b−1

´
Parconsequent,onpeute´crire:

8
132
52
1

abn−1 = (a−1)bn+bn−1 = (bq+r)bn+bn−1
=qbn+1+ (r+ 1)bn−1

N

Or de l’encadrement 0≤r≤b−no,1de´dq0teiuu≤(r+ 1)bn−1≤bn+1−1,
autrementdit,lad´ecomposition

abn−1 =qbn+1+ (r+ 1)bn−1

Exercice 5 .—
1.Pourre´soudrel’e´quationdiophantienne221x+ 247y= 15, on applique la
´ethodeducour
m s :
cuclasnolP GCD(221247). L’algorithme d’Euclide donne

247 = 1×221 + 26
221 = 8× 1326 +
26 = 2×13 + 0

AinsiP GCD(247Co3.e1mm22=11)pesa51l,n3devision’´equati
propos´een’apasdesolution.
2. La
pr

lee´hTe`rosaGsuemedpermet alors de conclure
11(x+2) = 12(2−y)⇐⇒22−+yx1=112=kk⇐⇒x= 12k−2
y= 2−11k

Ainsi,S={(12k−22−11k) ;k∈Z}.

N

Exercice 6 .—
1.Pourr´esoudrelesyst`emepropose´,oneffectueunchangementd’inconnues
pourseramener`adesentierspremiersentreeux:
2

Soit (x y)∈N, on a
re´solutiondel’´equation323x−391yestlemmˆliesesgneuqs2iu=16
ec e
´e´dmment:P GCD(x y) = 5
,D’apr`esl’algrotimhdeE’cuiledP GCD(323391) = 17. Comme 612 estP P CM(x y) = 60⇐
multiplede17cette´equationadmetdessolutions.Deplus,apre`ssim-⇒PxxPPx′GPG==×CCC53yxDDx′M′′(((=xyyxx′′′1==2yyy′′′))3)5yy′′=1121==
plification par 17, il vient
⇐⇒
(E)⇐⇒19x−23y= 36
Comme 4 = (−1)×19−(−1)×23, on obtient que (−9−dsdevi-iseocpuelapartirdlutions`alinF,9tlei)mtesnoesed´sustffitionelecleus-sonerl
tionparticulie`redecetteequation.Enremplac¸antlesecondmembre,onseurs(positifs)de12premiersentreeux:
´
obtientalorsune´equation´equivalente:x′1 2 3 4 6 12
(E)⇐⇒19(x+ 9) = 23(y+ 9)xy0302006306010255151015
Soit (x y)∈Z2.