Exercice N°118: Étude locale des fonctions

Description

⋆⋆ℓ⋆⋆⋆ℓ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Limites de fonctions Limites de fonctions Exercice 8 : Soit E l’ensemble des fonctions f : R→ R continues en tout point de R v´erifiant Exercice 1 : Soit f,g : I → R deux fonctions d´efinies sur un mˆeme intervalle I, x+y f(x)+f(y) 2 ¯ ∀(x,y)∈ R , f = a∈ I∪{±∞}. On suppose que lim f(x) = et lim g(x) = k. 2 2 x→a x→a On pose μ = max(f,g) et ν = min(f,g). p 1. Soit D l’ensemble des nombres rationnels de la forme , pour (p,n)∈ Z×N. n Montrez que lim μ(x) = max(ℓ, k) et lim ν(x) = min(ℓ, k). 2 x→a x→a MontrezqueD estdensedansR, i.e.toutr´eelestlimited’unesuited’´el´ements de D. Exercice 2 : Soit f : R→ R une fonction T-p´eriodique. On suppose que f admet 2. Soit f∈ E. On suppose que f(0) = f(1) = 0. Montrez que f = 0 sur Z, D et ∈ R pour limite en +∞. R. Montrez que f est constante. 3. Montrez que E est l’ensemble des fonctions affines sur R. + Exercice 3 : Etudiez les limites en 0 et en +∞ de la fonction d´efinie sur R par Exercice 9 : On note E l’ensemble des fonctions f d´efinies sur R, continues en 0, 1 + ∀x∈ R , f(x) = x× . non nulles et telles que : x 2 ∀(x,y)∈ R , f(x+y) = f(x)+f(y) Exercice 4 : Soit f une fonction d´efinie dans un voisinage de 0 telle que Soit f∈E. f(2x)−f(x) lim f(x) = 0 et lim = 0 1. Montrez que∀x∈ R, ∀n∈ N, f(nx) = nf(x). x→0 x→0 x 2. On note a = f(1). Montrez que∀x∈ Q, f(x) = ax. f(x) Montrez que lim = 0. 3. Montrez que f est continue sur R. x→0 x n X k−1 k n 4.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

Limites de fonctions

Limites de fonctions

Exercice 1 :Soitf g:I→Relnietvrlaonxfeudd´nsioctusseinfieemeˆmnurI,
¯
a∈I∪ {±∞}. On suppose que limf(x) =ℓet limg(x) =k.
x→a x→a
On pose= max(f g) etν= min(f g).
Montrez que lim(x) = max(ℓ k lim) etν(x) = min(ℓ k).
x→a x→a

Exercice 2 :Soitf:R→Rune fonctionTequseirdoqieuO.snpuop-p´efadmet
ℓ∈Rpour limite en +∞.
Montrez quefest constante.

Exercice 3 :Etudiez les limites en 0 et en +∞eldonafnfieiusrtcoidne´R+⋆par
∀x∈R+⋆ f(x) =x×x1

Exercice 4 :Soitftincfoneuelleqduee0tnageoisiusvndenafieinno´d

lim0f(x) = 0 etxli→m0f(2x)−f(x) = 0
x→x
Montrez que lxi→m0f(xx) = 0.
Indication :vouspourrzee´rcrief(x) =k=Xnfx2k−1−fx2k+fx2n.
1

Exercice 5 :Soitf:R+⋆→Rune fonction croissante telle que la fonction
g:R+⋆→Rpera´dfieing(x) =f(xxtnoMqzerassi.etnueitd´ecro)sofest continue
en tout point deR+⋆.

Exercice 6 :Montrez que la fonctionf:R→Rfiein´dpera
 f(x) =n1sisi0xon∈Q
∀x∈R

n’admet de limite en aucun point.

Exercice 7 :Soitf:R→Cefiri´eivqun0eenutinocnoitcnofenu

Montrez quefest constante.

∀x∈R f(2x) =f(x)

1

Semainedu12aoˆut2011

Exercice 8 :SoitEl’ensemble des fonctionsf:R→Rcontinues en tout point de
Rv´erifinat
∀(x y)∈R2 fx2+y=f(x)+2f(y)
des nombres ration ep
1. SoitDl’ensemble nels 2 de la formn, pour (p n)∈Z×N.
Montrez queDest dense dansR,i.e.ottur´eelestlimited’senuetiue´’dme´ltsen
deD.
2. Soitf∈E. On suppose quef(0) =f(1) = 0. Montrez quef= 0 surZ,Det
R.
3. Montrez queEest l’ensemble des fonctions affines surR.
Exercice 9 :On noteEl’ensemble des fonctionsfiefin´edrussR, continues en 0,
non nulles et telles que :

∀(x y)∈R2 f(x+y) =f(x) +f(y)

Soitf∈E.
1. Montrez que∀x∈R∀n∈N f(nx) =n f(x).
2. On notea=f(1). Montrez que∀x∈Q f(x) =a x.
3. Montrez quefest continue surR.
4.Utilisezlacaract´erisationse´quentielledeladensite´deQduirequee´dneruop

∀x∈R f(x) =a x

Comparaisons des fonctions
Exercice 10 :+edegagnaRapzeeredordrileg´ngeit´eabilisinauvo∞les fonctions :
f1:x→x2;f2:x→ex;f3:x→5x;
f4:x→lnx;f5:x→x10;f6:x→(lnx)10

Exercice 11 :
1. Calculez les limites en 0 de

(1 +x)1x(1 +x2)1x(1 +x)1x2

¯
2. Soientf g∈ F(IR) deux fonctions,a∈I. Demontrez que
´

ef∼aeg⇐⇒lim (f−g)(x) = 0
x→a

¯
3. Soientf g∈ F(IR) deux fonctions,a∈I. On suppose de plusf
voisinage deaet limf(x) = 0 ou limf(x) = +∞.
x→a x→a
Montrez que
f∼ag⇒lnf∼alng

4.De´terminezunequivalenten0eten+∞de ln(ex−1).
´

Exercice 12 :Soitf:R→Rd´onroecsaisetntuofenitcnequleel

f(x) +f(x+ 1)∼+∞x1

1. Etudiez la limite defen +∞.
2.Donnezune´quivalentdefau voisinage de +

∞.

Exercice 13 :
1.D´eterminezune´quivalentsimpledex1x−1 au voisinage de +∞.
x
2.Ende´duireun´equivalentsimpledexx1−x.
Indication :factorisez parx.

Exercice 14 :
1. Montrez que ln lnx=o+∞lnx.
2.End´eduirelavaleurdexl→im+∞lnxx1x

Rehceherc´ed’ivquenalfsnostedsntcoi

>0 au

Exercice 15 :nctionssr´edesfo:iuavtnsee´nuzeninelaviuqntoiupta´eidnscotermD´e

1 x→ln cosxen 0

2 x→

√1 + tan2x−1
tanx

3 x→ln(1 + sinx) en 0

4 x→e−x+ sinxen 0

en 0

5 x√→cosxx2− 01 en
6 x→xx22+−2xx+−13xen +∞

7 x→xe1x−cos(1x)en +∞

8 x→ln(1 + 1x) en

+∞

2

Flirting with the limit

Exercice 16 :Calculez lorsqu’elles existent les limites suivantes :

1lim√x+ 1−√x2+ 1
x→0x

1−cosx
3lxi→m0x(2−x) tan 2x

5lim cos(3x)2−cosx
x→0x

7lim ln(cosax)
x→0ln(cosbx)

9limax−bx
x→0x

11lim sinx−sin 2x
x→0x2
13lim√2−lnxx2−1
x→1

15xl→iπm2(1−sinx) tan2x

17lim tanx(ex−1)
x→0sin3x
x→+∞√4x ln+ 11√−xx1+2+
19lim
21limln(lnx)−(12)x
x→+∞(1x)3−(13)x

2xl→im+√x+ 5√−x−3
∞

4li→m0(1x−2e+x)xs3inx
x

6xl→i1m2(2x2−3x+ 1) tan(πx)

8xl→iπm2(tanx)(tan 2x)

x→π4anxtan 2x
10lim t

x2
12lxi→m1eco+sxπx−e22x
14lim0cosxsi−2√xcos 2x
x→n
16lim√3 cos−xπ−sni3x
x→π3x

ex−3x
18lxi→m03√1++1xx2+−nis1
20limln(lnx2)x2−−50ocxs65x+ lnx
x→+∞
ex−1ln(x+ 1)
22xli→m0√1 +x2−1