Exercice N°121: Dérivation

Description

⋆⋆⋆′⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 D´erivation (I) 2 n n−1 D´erivabilit´e 3. x →x (1+x) , x →x ln(1+x). Exercice 1 : D´eterminez les domaines de d´efinition, de continuit´e et de d´erivabilit´e Exercice 6 : des fonctions suivantes : 2x √ 1. Montrez que la fonction f d´efinie sur R par : f(x) = e est infiniment 2 1. x → x −x 2 2 d´erivable sur R et calculez ses d´eriv´ees successives. 6. x →(x −1)Arccosx 2. x →ln(|x|) 2x 2. D´eduisez-en que la fonction g d´efinie par : g(x) = xe est infiniment 7. x →xsin(1/x) x d´erivable sur R et calculez ses d´eriv´ees successives. 3. x → 2 8. x →x sin(1/x). 1+|x| 1/x 4 1−2x 9. x →x ln(x) + 4. x →1+x ) Exercice 7 : Soit f la fonction d´efinie sur R par : f(x) = . Arctanx x cosx 10. x → n 2 5. x → √ X 1+x 1 1+ x On pose ´egalement pour tout entier naturel n non nul, h = . n k k=1 + Exercice 2 : Etudiez la continuit´e et la d´erivabilit´e de la fonction f d´efinie sur R Montrez que f est ind´efiniment d´erivable sur R et exprimez pour tout entier (n) par n∈ N , f en fonction de h .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: exercice-mpsi
• Nombre de lectures: 31
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

it´e´Dvireliba

D´erivation(I)

Exercice 1 :balitie´ed´dreviD´imentereodamlzsed´deesinontiniefiitnoced,tee´tiun
des fonctions suivantes :
1.x√→7x2−x
2.x7→ln(|x|)
3.x7x
→1 +|x|
4.x7→1 +x4)1−2x
5.c+os√x
x7→1x

6.x7→(x2−rA)1osccx2
7.x7→xsin(1x)
8.x7→x2sin(1x).
9.x7→x1x
10.x7→Arcta1+xn2x

Exercice 2 :tEdueilzbavire´dede´tilinutionaclaet´eitnctilafoonfreius´efindR
par
∀x∈R f(x) =0e1(x2−1)isis||xx≥||<11

Exercice 3 :Soitfefinieparnctiond´alof:f(x) = cosπnl1(−x)x
1.De´terminezledomaineded´efinitiondef’eetuxdiieeztl´ced’stenevtnnue´eul
prolongementparcontinuite´auxbornesdecelui-ci.
2.Etudiezlad´erivabilit´edeceprolongement.

Exercice 4 :Soitf´dfieitnoofcnalur[nies−2+∞[ par
1+2x2x220[
−2 six∈[−
∀x∈[−2+∞[ f(x) =
2(1 +x2) six∈[0+∞[

Montrez quefest de classeC3sur [−2+∞[ mais quefbavire´delst’enisfos4pa
en 0.

D´ i ´ snemesi`
er vee
ezlesd´eriv´eesni` edes fonction
Exercice 5 :Calculems suivantes :
1.x7→ i1 1x7→1−1x2.
1−x,x7→1 +xpu s
2.x7→sinxex,x7→(x2+ 1)ex.

1

3.x7→x2(1 +x)n,x7→xn−1ln(1 +x).

Semainedu12aoˆut2011

Exercice 6 :
1. Montrez que la fonctionfrde´nfieiusRpar :f(x) =e2x
d´erivablesurRzeesdse´teacclluceucivssv´rissee.se
2.De´duisez-enquelafonctiongd:reiape´nfig(x) =xe2x
de´rivablesurRlaucelszse´drevi´eessuccessives.cte

est infiniment

est infiniment

Exercice 7 :Soitfusrlonafioct´endiefinR+⋆par :f(x ln() =xx.)
Onpose´egalementpourtoutentiernaturelnnon nul,hn=nX1k.
k=1
Montrez queftse´dnielusrd´erivabefinimentR+⋆et exprimez pour tout entier
n∈N⋆,f(n)en fonction dehn.

Exercice 8 :Soitf:R→R pard´fi ief(x) =e√3xsinx. Montrez que pour tout
e n
entiern∈N,f(n)(x) = 2ne√3xsin(x+nπ6).

Exercice 9 :Soitf:R→R .la fonction Arctan
1. Montrez quefest de classeC∞surRet que pour tout entiern∈N⋆il existe
unpolynoˆmePntel que :

∀x∈R f(n)(x) = (1P+n(xx2))n

2End´evi`ctionx7→(1 +x2)f′(xd´em),ezontr
.eloppantlad´erive´enemede la fon
la relation –valide pourn≥2 :

(1 +x2)f(n+1)(x) + 2n xf(n)(x) +n(n−1)f(n−1)(x) = 0

3.D´eterminezunerelationentrePn+1,PnetPn−1.

Exercice 10 :Soitn∈N. Montrez que la fonctionfn:R→R´dfieepniar
xnx≥0
∀x∈R fn(x) =+01onisnis

est de classeCnsurR.

ativnioladeerd´citaoisnpAlp

Exercice 11 :

Montrerquepourtoutr´eelxstrictement positif,
1
arctan(x) + arctan =π2
x

Exercice 12 :Soit
limxf(a)−a(f(x)
x→ax−a

f

:

R→Runefonctiond´erilbavnee

a

∈

R.

Etudiez

Exercice 13 :Soitf:I→Cableerivond´nctiuqertzeM.noofenu|f|:I→Rest
d´erivableentoutpointo`ufpasetexps’annulee´ir´veeiremszda.en
Exercice 14 :Soitf:R+→Rune fonction de classeC2telle quef′(0) = 0.
Montrez qu’il existe une fonctiong:R+→Rde classeC1telle que∀x∈R+,
f(x) =g(x2).
´
Etudes de fonctions
Exercice 15 :te´neiduofalitcnonOfdfin´epaier:f(x + 1) =ex1x
1.(a)D´eterminezl’ensembleded´efinitiondef.
(b) Montrez quefalongeablestproniiu´t`eperaoctnR.
(c)De´terminezleslimitesdefuansemel’enesdxboroi.nnfitidee´lbde
2.Etudiezlad´erivabilite´defdte,eive.ete´nimraszere´d
´
Le prolongement defrivable?etsi-dle´
3. (a) Etudiez les variations de la fonctiong:u7→1 + (1 +u)eu.
(b)End´eduirelesvariationsdef.
4. Etudiez les branches infinies def. Montrez que la rep ´ graphique t tion
resen a
def.aniretermnd´eel’oesqutotpmysasedtemda
Tracezlarepre´sentationgraphiquedef.

E

xercice 16 :Soitfcnofalefid´ontiuresniRpar :f(x) = ln(1 +x2).
1.R´eduireledomained’e´tudedef.
2. Etudiez les variations defr´ecetpseuamitiellssizes.neorxb
3.De´terminezune´quivalentdef(x) au voisinage de +∞relaretunanE´ddeiu.
de la branche infinie.
4.Etudiezlaconcavite´defcaetleezullcntue´eveintslspodrnocsoodsse´nee
d’inflexion.
5.Tracezdelarepr´esentationgraphiquedefdonnera les tangentes en 0 et(on
aux points d’inflexion).

2