Exercice N°203

Description

⌊⌋⌋⌊⋆ Exercices d’approfondissement Notations alg´ebrique et exponentielle Applications `a la trigonom´etrie 2iπ/n 1 Exercice 30 : Soit n∈ N un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On note ω = e Exercice 23 : D´eterminer tous les complexes z tels que|z| =| | =|1−z|. z 1. D´emontrez que pour tout nombre complexe z∈ C, Indication : Remarquez que le module de z est 1. n−1 n−1 Y X k l (z−ω ) = z ! √ n 5 k=1 l=0 (1−i 3) Exercice 24 : Pour quelles valeurs de n, le complexe est-il un r´eel positif? 3 (1−i) 2. En d´eduire que n−1 Y `kπ´ n sin = . n−1 `emes n 2 Racines n k=1 Exercice 25 : D´eterminez les racines quatri`emes de 28+96i. 4 Exercice 31 : Lin´eariser sin xcos x, ou` x∈ R. 3 Exercice 26 : Soit (a,b,c)∈ C . R´esoudre dans C le syst`eme Exercice 32 : Soit n un entier strictement positif. Expliciter une fonction polynomiale P telle n 8 0 xy > 0 En sommant cette derni`ere in´egalit´e et celle obtenue `a la question 2, on obtient bien l’in´egalit´e : Finalement, une racine 4 i`eme particuli`ere de 28+96i est ζ = 3+i 0 n−1 X 2 • on obtient TOUTES les racines quatri`emes de 28 + 96i en multipliant ζ par les racines 0 |a|+|b|≤ |a+ω b| k quatri`emes de 1. Finalement n k=0 N § ={3+i;,3i−1;−3−i;−3i+1} √ 1 3 2 Exercice 26 .— j =− + i est une racine cubique de 1 qui v´erifie 1 + j + j = 0 (somme Exercice 28 .— Soit θ∈]0,π/2[. 2 2 des racines cubiques). Proc´edons par op´erations ´el´ementaires sur les lignes de ce syst`eme. Plus 2 • Δ = 16 = 4 .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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• Langue: Français

Extrait

Exercices d’approfondissement

eoNtitasaon´elgiqbrteeuopxetnenlleiriem´etgonoatrinoitla`sppAacil Exercice 23 :D´etentrreimseocuolssxelempztels que|z|=| 1 |=|1−z| Exercice 30 :Soitn∈N`l2aO.nntoeeluratrnientneuage´uorueire´pusω=e 2iπn z 1.D´emontrezqopeuotruontuerbmmpcoxelez∈C, Indication :Remarquez que le module dezest 1 n−1n−1 Y (z−ω k ) = X z l Exercice 24 :Pour quelles valeurs denle complexe   (1 (1 − −i √ i) 3 3 ) 5 ! n .End2ireq´edu oplee´ e r u nuli-tsef?tisi k=1l=0 n−1 sin ` k ´ 2 = n n −1  esinacRn emes k= Y 1 n π ` Exercice 25 :ete´nimrelzecarsD2e+869inesquatri`emesdi. Exercice 31 :nisarsierL´ein 4 xcosxu`ox∈R Exercice 26 :Soit (a b c)∈C 3 uose´R.snaderdCst`elesyme Exercice 32 :Soitnun entier strictement positif. Expliciter une fonction polynomialeP n telle 8 x+y+z=a x+jy+j 2 z=b : < x+j 2 y+jz=c I q n u d e ic p O a o t n i u o r u n i t t : lsir o e tux a ∈ la R f (soc rouml n e x deM =)P o n ivree c(sox t ) om.Conwteps´onmenibudelueNedemoˆlaformarare partiere´elleetpartieimaginaire,bienfaireattentiona`´eleveriselon les puissances croissantes Exercice 27 :Soitnun entier≥2 et on noteω 0  ω 1   ω n−1 les racinesn1edseme`i-  aussi introduire et De plus,  ourra⌊ n−1 ⌋ aetb uledubinnslaformtwnoO.pnoˆemedeN eutdons ad se.lpxecxmo ⌊ 2 n ⌋ 2 ´dseqiutngien n−1 itneeitr 2 edere`ertivespeclapament n et de n 2 −1 Enfin, on rappelle que pour toutp∈N 1. Calculez X (a+ω k b) en fonction denet dea i 2p = (−1) p eti 2p+1 = (−1) p i. k=0 n−1 2. Montrez quen|a| ≤ X |a+ω k b| k=0 Indication :´einligaett´anrialug.erionpourrautiliselrqaeutsoi1nte’l n−1 n 3. Montrez que X |b+ω k a|= X |a+ω p b| k=0 p=1 a|+|b| 2 n−1 |a+ω k b| 4.Ende´duireque| ≤ X n k=0 Indication :qreune’uerraqramtanch´egeanmenceraponcomaetboitseuqanga´einl’eledt´li n−1 2 devientn|b| ≤ X |b+ω k a| k=0 ´ Equations polynomiales Exercice 28 :Rose´erdudansCl’´equationz 2 ` 1 + tan 2 (θ2) ´ + 4iztan(θ2)−,0=4uo`θ∈]0;π2[. Vous donnerez le module et un argument de chaque solution.

Exercice 29 :´eRudsoeradsnC’qeauitonl ´ z 2n −2z n cos(na) + 1 = 0

o`un∈N ⋆ est un entier naturel non nul eta∈Rr´unl.ee

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Correction des exercices

n−1n−1n−1 Exercice 23 .—On a :|z|=| z 1 | ⇔ |z| 2 = 1 soit|z|= 1Par ailleurs, X ω k = 0⇒ X (a+ω k b) =na+b X ω k =na k=0k=0k=0 |1−z|= 1⇔(z−1)(z¯− nEtu.2naetlisisl’at ) v 1 o 1 u = compviezni’l,sir´tilage´guanrietone,irlae´rcti commentaireIlrestepoursolutions 2 1 +i √ 2 1 te 2 3 −i √ 2 . 3 X |a+ω k b| ≤ X |a+ω k b| ⇒n|a| ≤ X |a+ω k b| n−1n−1n−1 ˛ k=0 ˛ k=0k=0  (z−1 | ) z ( | z¯−11 = ) 1 = ⇔  |z| 2 | − z| z−z0 =1 =¯ ⇔  z |z + | z 1= ¯=1 3. Comme|ω k |= 1 etω k −1 =ω 0 −k =ω n ω −k puisqueω n = 1 N n−1n−1n−1 Exercice 24 .— (1 s:ullccaes 1( ir,tpa`rO´nce − − i √ i 3 ) 3 ) 5 = 8 √ 2e −11iπ12  X |b+ω k a|= X |ω k | ˛ ω k −1 b+a ˛ = X |ω n−k b+a| k=0k=0k=0 n−1 e Et donc il est clair que le complexe   (1−i √ ) 3 3 ) 5 ! n Puis si l’on posep=n−k´ital,sneiTerge´’lanoemmoiatnc X ω k = 0Il va falloir la k=0 1−i n n−1 ˆ 11nπ `2akπ ( lumrla!e:sroıtronnatefoece r t p`esetcommei c ldoit X |a+ω p b|= X |b+ω k a| a pour argument− 12 rtserteˆtnemetcif,tisipoplimlaceuqeqieu p=1 k=0 neˆrtodtiultieunme24pled N ´ne’uqreuqramerrpancdoceenmmcoonntngeaechaantl’indication,.4nEusviaetb n−1 Exercice 25 .— edaltie´gelai’´n mesd l eines4i`ecarsedtotulprehce e r v c 2 h d e n t t n i – e t e i s m q a u c o e n m t e i c–moes4rotirfacaonv n|b| ≤ X |b+ω k a|Comme a= 7 + 24iatitnolaneone.ebg´quri k=0 •carEqeniehcrNU’drheecedei`ereiemaurtciluaptr a ω n =ω 0 = 1 Uneraci e n s e c c a a r r r r ´e e´ e e d e´ e vi 4 dente i 34+ste e icrehsnohonalg´ebrique).Cceehcrehneonatit,ronin(s ceirer:opnue´t les racin + 3 n notation alg. n−1 n|b| ≤ X |a+ω k b| ⇐⇒ 8 < y x = =± ± 3 1   √ √ 2 2 ⇐⇒x+iy=± 3 √ + 2 i k=0 < : 8 x x 2 2 + − yx y y 2 2 > 5= 4= 0 : xy > no,2seitaluqeua`ntbietienonob´nielagenredre`ieolle 0 nbt´eitceetantcetteEnsomm ´ Finalement,uneracine4ie`meparticuli`erede28+96iestζ 0 = 3 +i :etilage´nl’i •2e+8emds69otneitbonelSETUOTesinacsr`eriatquien multipliantζ 0 par les racines b| 2 n−1 k b| |a|+| ≤ X |a+ω quatrie`mesde1.Finalement n k=0 §={3 +i;3i−1;−3−i;−3i+ 1} N Exercice 26 .—j=− 1 2 +i √ 23 1edeviuqire´+1efisetuneracinecubiquj+j 2 = 0 (somme Exercice 28 .—Soitθ∈]0 π2[. desracinescubiques).Proc´edonsparope´rationse´le´mentairessurleslignesdecesyst`eme.Plus •Δ = 16 = 4 2 . pr´ecise´ment,lesop´erations L 1 ←L 1 +L 2 +L 3 •Il y a deux racines distinctes L 2 ←L 1 +jL 2 +j 2 L 3 L 3 ←L 1 +j 2 L 2 +jL 3 −4it z 2 = −4itan(θ2)−4 donnent z 1 t+a21( = an(θ n  2 2) (θ + nat+ 4 1(2)2 te 2 (θ2) x+y+z=a3x=a+b+c 8 : < x x + + j j 2 y y + + j 2 z j =b ⇐⇒ < 8 3y=a+j 2 b+jc•sersPe´notnz 1 etz 2 en notation exponentielle. z=c : 3z=a+jb+j 2 c 2 Parcons´equentlesyst`emepropos´eadmetpouruniquesolutionletriplet z 1  + tan = 1 2 (θ2) ` 1−itan(θ2) ´ S= „ a+b+ 3 c ; a+j 2 b+jc a+jb+ 3 j 2 c «ff = 2 cos 2 (θ 2) cos(θ c 2) so( −i θ n(si 2) θ2 3 ; N = 2 cos(θ2)e −iθ2 Exercice 27 .—atitiv´tlecamoum`acausedutranger’leuepnouqraqsno1em.R,meomaseled 8 z 2 =−2 cos(θ2)e iθ2 i`emes = k 2iπ = 2 cosθ2e i(π+θ2) =

N

Exercice 30 .—1. NotonsP(z) = 1 +z+z 2 +z n−1 .Pylopnutsdedemoˆn´1.e egren− Cherchons les racines deP(zelruopemeˆmdqsiasruoiam,lejsfere=0)ah.Besc’uctd plaisir d’appliquer l’gee´it´tdineuetriqom´e P(z) = 0⇐⇒  P z6 =0 1= ⇐⇒ : 8 < z z n − − 1 1 z61= 0= ⇐⇒  z n z6=1 =1 n−1 k k=0 z ` Ainsi, les racines du polynomePsont les racinesn ieme al‘ee1,`tionxceped1ditself. Fina-ˆ n−1 lement commeω ω 2      ω n−1 sont racines deP, il est divisible par le produit Y (z−ω k ). k=1 Pourdesquestionsdedegr´e(n−1) et de coeffcient dominant (1 devant lez n−1 ), il vient n−1n−1 Y (z−ω k ) = X z l k=1l=0 2.Finalement,en´evaluantcette´egalit´epolynomialeen1,ilvient: n−1n−1 n= X 1 = Y (1−ω k ) k=0k=1 = k n = Y − 1 1 » e ikπn ×(−2i) sin(kπn) – = k n = − Y 1 1 » e ikπn – × k n = − Y 1 1 » (2i) sin(kπn) – n(n−1) × = exp( n i π 2 ) (−2i) n−1 × n k Y −1 =1 » sin(kπn) – = (−2) n−1 (−1) n−1 × n k − Y 1 =1 » sin(kπn) – = 2 n−1 k n− Y 1= 1 » sin(kπn) – Lere´sultatende´couleendivisantboth sides by2 n−1 Exercice 31 .—On remplace cosx 2 r 1 pa ` e ix +e −ix ´ et sinxra 2 1 p i ` e ix −e −ix ´ : 1 sin 4 xcosx 23 1 = ` e i5x +e −i5x ´ − 2 3 3 ` e i3x +e −i3x ´ 1 + 6 ` e ix +e −ix ´ = 1 1 6 cos(5x)−s(3 16 co 3 xcos()+ 1 8 x) N n os(nx) +isin(nx) = X n −k (isinx) k Pourpuoovri´sperareal Exercice 32 .—c k=0 “ k ” (cosx) n par- ` tiere´elledelapartieimaginaire,commentaireAl’aidedesformulesdeMoivreetdubinˆomede Newton!onse´parelesindicespairs(k= 2p) des indices impairs (k= 2p+ 1) et cela pour utiliser i 2p = (−1) p et i 2p+1 = (−1) p inOleseneitresd´etermineensuitpuqviri´entfie0≤2p≤n-tsed-a`eric’ 0≤p≤n2reoduinirteta`rlseIN=⌊ n 2 ⌋dere`etieneitrapalengise´dqui n 2 Alors 0≤2p≤n⇔0≤p≤Nasiutnninedortnalogue,efa¸conaDN ′ =⌊ n−1 2 ⌋on ecrit ´ 0≤2p+ 1≤n⇔0≤p≤N ′ edemme´detontoserindeendepartsescxu: N p X =0 “ 2 n p ” (cosx) n−2p (−1) p (sinx) 2p

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N ′ +i p= X 0 “ n + 1 ” (cosx) n−2p−1 (−1) p (sinx) 2p+1 2p commentaireOnse´parelestermesdansl’expressionde´velopp´eedecos(nx) +isin(nx)ae`tserlI e´galerlespartiesr´eellesetimaginaires: N cos(nx) = p X =0 “ 2 n p ” (cosx) n−2p (cos 2 x−1) 2p  N ′ sin(nx) = sinx p= X 0 “ 2p n + 1 ” (cosx) n−2p−1 (−1) p (cos 2 x−1) 2p+1 N On posera alorsP n (t) = p= X 0 “ 2p n ” t n−2p (t 2 −1) p commentaireOn montrerait queP n edtsrgede´e net de coefficient dominant 2 n−1  N