Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Etudes de fonctions : énoncés

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'analyse, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 5 parties : (1) Suites numériques (2) Séries numériques (3) Etudes de fonctions (4) Intégration (5) Fonctions de deux variables. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Analyse

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 868
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Analyse 

1 

ETUDES DE FONCTIONS

  Exercice 1 Soitfla fonction définie par : f(x)=(x+3)e −x −x+ On désigne par (1 .C) la courbe représentative def. 1) Calculer la limite de la fonctionfen ∞ . 2) Calculer la limite de la fonctionfen + ∞ . 3) Calculer la dérivée f ' de la fonctionf. 4) Calculer les limites de la fonction f ' en+ ∞et en ∞ . 5) Etudier les variations de la fonction f ' . 6) Montrer que l’équation f'(x)= 0 admet une unique solutionα. 7) Justifier que −3< α < − 2 . 8) Déterminer le signe de f ' , puis le tableau de variations def. 9) Déterminer une équation de la tangente à la courbe (C) au point d’abscisse  (− 1) . 10) Déterminer la nature des branches infinies de la courbe (C). 11) Donner l’allure de la courbe (C). On prendra α ≈ − 2,1 et f(α)≈ 10, 5 .

Exercice 2 (d’après HEC 94) Dans tout le problème,aun réel strictement positif et on étudie la fonctiondésigne f a   définie sur  ]0,+∞  :[ par f a (x)= 1 −e −ax .

1) Calculer les limites def a en 0 et en+ ∞. 2) Justifier la dérivabilité def a et calculer sa dérivée. 3) Montrer quef' a (x) est de même signe queh a (x)=2 lnx+lna−ax. 4) Etudier les variations de la fonctionh a sur ]0, +∞  ses limites en 0 et en[ et+ ∞. 5) Discuter suivant les valeurs deale nombre de solutions de l’équationh a (x)=0 . On précisera le signe deh a (x) dans chaque cas. Lorsque l’équation admet deux solutions, on les notera r(a ) et s(a ) avec r(a)<s(a ) . 6) En déduire le tableau de variations de la fonctionf a et l’allure de sa courbe représentative dans les cas a> e 4 2 , a= e 4 2 et a< e 4 2 . On ne cherchera pas à calculer f a [r(a )] et f a [s(a )] . 7)   0 On suppose maintenant que <a< e 4 2 et on pose m(a)=f a [r(a )] . a) Montrer que : r(a)= e ar(a) . a b)   l Déterminer par encadrement a i → m 0 ar(a  l  en déduire que) et a i → m 0 ar(a)= 1 . c) Déterminer lim m a . a→0 ( ) d) Déterminer un équivalent simple de m(a)+ 1 .