Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Intégration : énoncés

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'analyse, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 5 parties : (1) Suites numériques (2) Séries numériques (3) Etudes de fonctions (4) Intégration (5) Fonctions de deux variables. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Analyse

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 612
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Analyse 

1 

INTEGRATION   Exercice 1 π4  On pose :∀n∈I n =  tan n x dx. 0 1) Calculer I 0 et I 1 . 2) Etudier le sens de variations de la suite (I n ) . 3)  (En déduire que la suiteI n  convergente.) est 4) CalculerI n+2 +I n pour toutn∈. En déduire la limite de la suite (I n ) . 5) Démontrer que : ∀n∈I n+2 ≤ 2n2 1 ≤I n . En déduire que : I n 1 ~ 2n . + 6) On pose : ∀n∈u n =(−1) n I 2n . a) Calculer u n+1 −u n pour tout n∈ . − b)   ( 1) En déduire la convergence de la série de terme général n et calculer sa somme. 2n+1 7) On pose : ∀n∈v n =2(−1) n I 2n+1 . a) Calculer v n+1 −v n pour tout n∈ . − b)   1) convergence de la série de terme général  ( En déduire la n  calculer sa et n+1 somme.

Exercice 2 (ESSEC 2001 voie S et EM Lyon 2010 voie S) π2π2  Pour toutk∈, on définit les intégrales : I k =  cos 2k (t)dt et J k =  t 2 cos 2k (t)dt . 0 0 1)  que :a) Montrer ∀t∈    0, π 2    t ≤ π n( 2 sit ) . 2 b) Montrer que :∀k∈0≤J k ≤ π 4 (I k −I k+1 ) . π 2 c) En remarquant que I k+1 =  cos(t) cos 2k+1 (t)dt , montrer que (2k+2)I k+1 =(2k+1)I k . 0 d) Déduire des questions précédentes que : k lim J I k k =0 . →+∞ 2) a) ExprimerI k  en fonction deJ k  etJ k−1  en intégrant deux fois par parties l’intégraleI k pour tout entierk≥1. J J k b) En déduire que, pour tout entierk≥1 : k − −1 − = 2 1 2 . I k1 I k k c) CalculerJ 0 etI 0 . 3)  déduire la convergence de la sériea) En     n 1 2    et montrer que : n +  = ∞ 1 n 1 2 = π 6 2 . b) déduire la convergence de la sérieEn     ( 1 2+1) 2    k +  = ∞ k 1 2 π 2 . et montrer que : 0 (2+1) = 8 n