Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Fonctions de deux variables : indications et réponses

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'analyse, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 5 parties : (1) Suites numériques (2) Séries numériques (3) Etudes de fonctions (4) Intégration (5) Fonctions de deux variables. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Analyse

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 58
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Réponses d’Analyse

- 1 -

Réponses et Indications (Fonctions de deux variables)

Exercice 1
Poser :f(x,y)=x+yetg(x,y)=xy. Utiliser les intersections et réunions d’ouverts,
et l’image réciproque d’un ouvert par une fonction continue.
Exercice 2

1) Opérations sur les fonctions de classeC1.
2) Ecrireg(x,y forme exponentielle et majorer) sousxparx2+y2pour trouver
la limite deg(x,y) quand (x,y vers (0,0)) tend .
3) ∂∂yg(0,0)=0 maisgn’a pas de dérivée partielle par rapport àx .en (0,0)
On peut aussi remarquer que la dérivée partielle∂∂ygn’est pas continue en (0,0) .

Exercice 3
∂=+x+ex y
1) ∂f(x,y) (1xy2)(2+1)et∂∂fy(x,y)=2x2yex(y2+1).
2) Unique point critiqueA(−1,0) .

r∂=∂2yxf= +x+xy y+ex y+ett∂=2f2(x,y) 2x2(1 2x2y)x(y2+1).
3)2 ) (2( ,2)(21)(21)∂y= +e
2 2
s=∂yxf=∂xf2x(y21).
∂x∂y )( ,∂y∂x( ,y)=2xy(2+x+xy)e+
4) Minimum local enA:f(−1,0)= −1e. En (−1,0) :rt−s2=22etr=1.
e e
5) Déterminer le signe def(x,y)−xexpourx≥0 et pourx<0 .
6) Minimum global enAcar admet un minimum en (−1) et (−1)=f(−1,0) .
Exercice 4
1) ∂∂f(x,y)=2x−1+y2−yet∂∂fy(x,y)=2xy−x.
Trois points critiques :A1,852,B0, 1−52etC0, 1+52.
∂2
2) r=f(x,y)=2s∂∂=x2∂fy(x,y)∂∂=y2∂fx(x,y)=2y−1t∂∂=2fy2(x,y)=2x.
∂2
Minimum local enA. Pas d’extremum local enBet enC.
3 1 25
) f25,8= −. 64
4) f58+h,12+k−f58,12=h2+hk2+58k2>0 sih>0 .
5) f(−1,−2)= −4 . Le minimum n’est pas absolu sur2.

Réponses d’Analyse

Exercice 5
Partie A
1) Pour tousx>0 ety>0 :
(x,y)∈E1⇔y= .4

- 2 -

(x,y)∈E2⇔y=8−4x.
(x,y)∈E3⇔y=10−4x
2) E2est tangente àE1enA(1,4) .
E1∩E3=B18,2,C(2,2)

3) K= Trouver le minimum de8 .ϕ(x)=4x+4.

4) Q=2 . Trouver le maximum deψ(x)=x(8−4x) .
Partie B
1) Exprimeryen fonction dexdansg(x,y)=Ket calculerQen fonction dex.
2) F' (x)=xKa−K(a+−xb)euxalnx+blnKv−ux.
(u)
Kb
3) Qest maximale pourx=(aK+ba)uety=(a+b)v.
4) Q=cKa+boùc=(a+1b)a+bauavbb. Sia+b=1 :Q=cKetc=uaabvb.

Partie C
1) Exprimeryen fonction dexdansf(x,y)=Qet calculerKen fonction dex.
2) G' (x)= −vbaaQ+b1bb.
u( )
( )
Kest minimale pourx=buavb(a+b)Q1 (a=b)ety=bua a+bQ1 (a=b).

av
3) K=dQ1 (a+b)oùd=ua(a+b)vb(a+b)(a+1b)a+babb(a+b)+baa(a+b).
Sia+b=1 :K=dQetd=auabvb.
1
=
4) On obtient la même chose card.
c
Exercice 6
1) ∂∂fa(x,y)=(y+2ax)eyet∂∂fya(x,y)=(2+x+y+xy+ax2)ey.
Deux points critiquesA(−2,4a) etBa1,−2.

2) r∂=∂2f2a(x,y)=2aey s∂∂=x2∂fy(x,y)∂∂=y2∂fx(x,y)=(1+y+2ax)ey
∂2
= + + + +
t∂=fy2a(x,y) (3 2x y xy ax2)ey.

Réponses d’Analyse

- 3 -

3) Sia< −12 ,faadmet un maximum local enAmais pas d’extremum enB.
Si−21<a<0 ,faadmet un maximum local enBmais pas d’extremum enA.
Sia>0 ,faadmet un minimum local enBmais pas d’extremum enA.

Exercice 7
Partie A
1) X(Ω)=−{0,1}.
2) (X=)k=(1B∩...∩kB−1∩Bk)∪(R1∩...∩Rk−1∩Rk)∪(V1∩...∩Vk−1∩Vk) .
Utiliser l’incompatibilité, puis l’indépendance.
r+∞k11
kx−=si−1<x<1 .
3) Utilisek=1(1−x)2
Partie B
∂f
,
1) (x y)=)(112−()12et∂∂fy(x,y)=(1−1y)2−(x+1y)2.
∂x−x x+y
I.1
2) Unique point critique33,1

3) r∂∂=2xf2(x,y)=(1−2x)3+(x+2y)3 s∂=2fy(x,y)∂=y2xf(x,y)=(x2y)3
∂x ∂∂ ∂ +
t=∂∂2f2(x,y)==)1(23+)(23. Donc enI:rt−s2>0 .
y−y x+y
4) E(X)=f(b,r)− minimale si2 estb=r=v=s orAl. 13E(X)= .25

Répo

nses d’Ana

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se

- 4

-