Exercices d’analyse – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Espaces vectoriels normés

Mathilde Petit

Description

Ces courts exercices d'analyse, proposés en partie avec correction ou indications et mettant en avant les « incontournables », sont divisés en 8 séries : (1) Espaces vectoriels normés (2) Séries numériques (3) Intégrale (4) Dérivée, primitive (5) Espaces vectoriels normés de fonctions (6) Séries de fonctions (7) Séries de Fourier (8) Séries entières

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Analyse

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 62
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Analyse (1) : Espaces vectoriels normés

[1 n]|xi|= 0

Les incontournables :
1. Prouver quekk∞est une norme surKn.
Rem. :K=RouCdans toute la feuille.
(0):kk∞=x∈Kn7→maxien une a
i∈[1n]|xi| pplicationest b deKndansR. (Tout partie finie
non vide deR+admet un maximum)
(1)(Inégalité triangulaire) : Soit(x y)∈(Kn)2. Notonsz=x+y.
∀i∈[1 n]|zi|=|xi+yi| ≤ |xi|+|yi| ≤ kxk∞+kyk∞ce qui ne dépend plus dei, donc
kzk∞≤ kxk∞+kyk∞.
(2): Soit(λ x)∈K×Kn. Notonsz=λx.
Siλ= 0, alorsz= 0etkzk∞=|λ|kxk∞. Supposons désormaisλ6= 0.
∀i∈[1 n]|zi|=|λ||xi| ≤ |λ|kxk∞ce qui ne dépend plus dei, donckzk∞=kλxk∞≤ |λ|kxk∞.
En changeantλen1λetxenz, on aussi prouvé quek1λ zk∞≤ |λ1|kzk∞iekxk∞≤ |1λ|kλxk∞
d’où l’égalité.
(3)(Stricte positivité) : Soitx∈Kn.
{|xi|i∈[1 n]} ⊂R+donckxk∞∈R+.
Supposonskxk∞= 0. Alors,∀i∈[1 n]|xi| ≤0(0est un majorant) donc∀i∈
iex= 0.
2. Prouver quekk2etkk∞sont des normes équivalentes surKn.
Soitx∈Kn.
kxk2=i=nX1|xi|2!12≤n(kxk∞)212√≤nkxk∞.
∀i∈[1 n]|xi|=p|xi|2≤nkX=1|xk|2!12=kxk2ce qui ne dépend plus dei, donc
kxk∞≤ kxk2.
3. SoitEnormé de dimension finie. Prouver que :un espace vectoriel
(a) Toute boule ouverte deEest un ouvert deE.
(b) Toute boule fermée deEest un fermé deE.
(c) Toute boule fermée deEest un compact deE.
(d) Tout sous-espace vectoriel deEest un fermé deE.
(e) Le seul sous-espace vectoriel ouvert deEestE.
(f) Le seul sous-espace vectoriel compact deEest{0E}.

Ndésignera la norme surE.
(a) : Soit(a r)∈E×R∗+etO=B(a r).
Soitx∈Oetρ=r−N(x−a). Prouvons queB(x ρ)⊂O:
∀y∈B(x ρ) N(y−a)≤N(y−x) +N(x−a)< ρ+N(x−a) =r.
(b) : Soit(a r)∈E×R∗+etF=B(a r).
Méthode directe : Prouvons queE\Fest ouvert.
Soitx∈E\Fetρ=N(x−a)−r. Prouvons queB(x ρ)⊂E\F:
∀y∈B(x ρ) N(y−a) =N(y−a)+N(x−y)−N(x−y)≥N(x−a)−N(x−y)> N(x−a)−ρ=r.
Méthode par critère séquentiel : Soit(xn)une suite deFNayant une limiteldansE. Prouvons
quel∈F.
N(l−a) = limN(xn−a)(continuité deN) et∀n∈N N(xn−a)≤rdoncN(l−a)≤r
(passage à la limite dans≤)

(c) : Toute boule fermée est un fermé (cf (2)) et est bornée donc c’est un compact carEest
de dimension finie.

(d) : SoitFun sous-espace deE. Prouvons par critère séquentiel queFest fermé :
Soit(xn)une suite deFNayant une limiteldansE.
Fadmet au moins un supplémentaireG. Soitπle projecteur surGen direction deF.πest
un endomorphisme deEqui est de dimension finie donc est continu etπ(l) = lim(π(xn)), or

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

Analyse (1) : Espaces vectoriels normés

∀n∈N π(xn) = 0doncπ(l) = 0iel∈F.
Ex. d’application : SiFun sous-espace deEeta∈E\ {0}, alors il existea0∈Ftel que
N(a0−a) =xm∈iFnN(x−a).
En effetx∈F7→N(x−a)∈Rest une fonction réelle minorée (par0) donc elle admet une
borne inférieurem≤N(0−a) =N(a).
SoitK=F∩B(03N(a)).Kest fermé (intersection de fermés) et borné donc compact et
x∈K7→N(x−a)∈Rest continue (Nest continue) donc admet un minimum.
Ce minimum estm. En effet :
∀ε >0∃xε∈F m≤N(xε−a)≤m+ε(déf. d’une borne inférieure)
etx∈F\K⇒N(x−a) =N(x−a) +N(a)−N(a)≥N(x)−N(a)≥2N(a)≥m+N(a)
doncxε∈Kdès queε < N(a).
(e) : SoitOun sous-espace ouvert deE. Prouvons queO=E.
0E∈Odonc il exister >0tel queB(0E r)⊂O. Soitx∈E. Six=OE, alorsx∈O; sinon,
x=λuoù (u=2rN(xx),λ= 2Nr(x)) etN(u) = 2rdoncu∈B(0E r)⊂Oetλu∈O(structure
de sous-ev)

(f) : Il suffit de prouver que{0E}est le seul sous-espace borné deE. Prouvons que si
F6={0E}alorsFest non borné.
SoitF6={0E}etA∈R+quelconque. Il existea∈Ftel quea6= 0EdoncN(a)6= 0R. Alors
x=N2(Aa)a∈FetN(x)> A.

4. Prouver que l’ensemble des matrices de rotation est un compact deM33(R).
L’ensemble des matrices de rotation deM33(R)estK=O3+(R).
Montrons queKest borné pour la normekk∞deMnn(R)(toutes les normes sont équiva-
lentes) :
n
SoitA∈K.∀(i j)∈([1 n])2|aij| ≤Xai2j= 1donckAk∞≤1.
i=1
Montrons queKest fermé :
Soit(Ap)une suite deKNayant une limiteL∈Mnn(R). Prouvons queL∈Kie queLest
orthogonale et directe :
limIn=In et iale(continuité de fonction
tLL=pli→m∞tApAp=p→∞s polynôm s)detL=pli→m∞detAp= 1
(continuité dedet).
5. Soitf(x y) = (xy22++xy2y)αsi(x y)6= (00).fadmet-elle un prolongement continu surR2, 1-
siα= 12? 2- siα= 1?
On étudie d’abord la fonction partielle à gaucheg0=x7→f(x0).
∀x6= 0 g0(x) = 0doncg0admet pour toutαune limitel= 0en0. Une condition nécessaire
pour quefsoit prolongée par continuité en0est donc quef(00) = 0.
Soitfainsi prolongée etα= 12. Prouvons quefest continue :
fest continue surR2\ {0}.
Pour(x y)∈R2, notonsν= max(|x||y|)(ie on choisit la normekk∞surR2).
∀(x y)6= (00)|f(x y)−f(00)| ≤2ν2να2= 2(ν)2(1−α)etlim02(ν)2(1−α)= 0doncfest continue
ν→
en(00).
Soit maintenantα= 1. Prouvons quefn’est pas continue :
(Mn) = (1n1n)est une suite de limite(00)et(f(Mn)) = (1)n’a pas pour limitef(00) = 0.

Pour aller plus loin :
6. (a) SoitNune norme surRn,(x1  xn−1)un élément fixé deRn−1etφ:t∈R7→N(x1  xn−1 t).
Démontrer queφest lipschitzienne surR, minorée surRet queφatteint sa borne inférieure en au
moins un point deR.

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Analyse (1) : Espaces vectoriels normés

(b)Nest toujours une norme surRn; à tout(x1  xn−1)deRn−1on associeN1(x1  xn−1) =tm∈iRnN(x1  xn−1 t);
démontrer queN1est une norme surRn−1
.
(c) Déduire de ce qui précède que toutes les normes surRnsont équivalentes.c3-069
7. SoitE FdesR−espaces vectoriels de dimensions finies. Prouver queu∈L(E F)7→|u|= supNFN(Eu((xx)))
x∈E\{0}
est une norme.
Désormais,E=F; prouver que||est une norme surL(E)et qu’elle vérifie :∀(u v)∈(L(E))2|v◦u|≤|v||u|.
8. Prouver que siPest un sous-groupe additif deRet quePest fermé et distinct deR, alors il existec0∈R+
tel queP=c0Z.C3-52
9. Soitf:E→FoùEetFsont deuxR−espaces vectoriels normés.
On suppose quefest bornée sur la boule unité et que∀(x y)∈E2f(x+y) =f(x) +f(y).
Démontrer quefest linéaire.c3-064

Pour s’entraîner :
10. (a) Soitf:R2→R.fadmet-elle un prolongement continu surR2?
(x)eyy−exxsix6
y7→=y
−
(b) Soitf(x y) =xsinyx2−+yy2sinxsi(x y)6= [00).fadmet-elle un prolongement continu surR2?
x+ty
11. Soit(x y)7→N(x y) = st∈uRp1 +t2. Prouver queNest une norme surR2. ReprésenterB(O R)pour cette norme.
Justifier directement queNest équivalente àkk∞.
12. SoitEun espace vectoriel normé de dimension finie,Kun compact deEetfune application deKdansEtelle
quef(K)⊂Ket∀(x y)∈K2 x6=y⇒N(f(x)−f(y))< N(x−y).