Exercices d’analyse – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Séries de Fourier

Mathilde Petit

Description

Ces courts exercices d'analyse, proposés en partie avec correction ou indications et mettant en avant les « incontournables », sont divisés en 8 séries : (1) Espaces vectoriels normés (2) Séries numériques (3) Intégrale (4) Dérivée, primitive (5) Espaces vectoriels normés de fonctions (6) Séries de fonctions (7) Séries de Fourier (8) Séries entières

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Analyse

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 42
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Analyse (7) : Séries de Fourier

Les incontournables :
1. Série de Fourier de la fonction "créneau".
Par exemple,f(x) = 1six∈[0 π],f(x) = 0six∈]π2π[etfest2π−périodique.
fest continue par morceaux et2π−périodique donc admet une série de Fourier.
De plusfestC1par morceaux donc sa série de Fourier converge simplement surRde somme
˜ ˜ ˜
sa régulariséef(f(x) =f(x)six ∈πZetf(x) = 12six∈πZ) (thm de Jordan-Dirichlet) et
fn’est pas continue surRdonc cette convergence n’est pas normale.
Soitg=f−12. La régularisée˜gdegest une fonction impaire qui a la mme série de Fourier
π
queg, d’oùa0(f) = 12∀n∈N∗ an(f) = 0etbn(f) =bn(˜g2)4=Zg(t) sin(nt)dt.
π0
π
∀n∈N∗ bn(f) =π2Z12sin(nt)dt= 1−cnoπsnπet∀x∈R21+π2k+X=∞02s(2inkk+11)+x=f˜(x).
0

2.

3.

4.

Série de Fourier de la fonction f :t7→exp(−iat)sur[02π[, avecf2π−périodique eta ∈Z.
fest continue par morceaux et2π−périodique donc admet une série de Fourier.
De plusfestC1par morceaux donc sa série de Fourier converge simplement surRde somme
sa régulariséef˜(f˜(x) =f(x)six ˜i πcosaπsix∈2πZ) (thm de Jordan-
∈2πZetf(x) =e−a
Dirichlet) etfn’est pas continue surRdonc cette convergence n’est pas normale.
π
f) = 12f(t) exp(−int)d
∀n∈Z cn2(πZ0t=e−πi(anπin+saa)πet∀t∈R e−iaππsinaπn∈XZexnp(+tina)=f(˜t).
1
Soita >0, fixé, déterminer le développement en série de Fourier def(t cos) =t+ cha
(pour calculeran(f), poserz=eit).Mines
fest continue par morceaux et2π−périodique donc admet une série de Fourier.
De plusfestC1par morceaux et continue surRdonc sa série de Fourier converge normalement
surRde sommef.
fest paire donc∀n∈N∗ bn(f) = 0.
∀t∈R f(t) =z+z−1+2c2ha=(z+ea()2zz+e−a)hs1=a11+e−az−1e+−ea−za−z1−1(z6= 0)
|e−az|=|e−az−1|<1donc∀t∈R f(ts1=)ha+X∞(−e−az)n−(e−az−1)n+X=∞0(−e−az−1)n!.
n=0
∀t∈R f(t)=1shan+X=∞0(−e−az)n+n+X=∞1(−e−az−1)n!h1s=a1 +n=+X∞1(−e−a)n(zn+z−n)!.
∀t∈R f(t)=1sha1 + 2n=+X∞1(−1)ne−nacosnt!.
Soitu0hs1=a ∀n∈N∗ un=t7→hs2a(−1)ne−nacosntOn vient de trouver un développe-
ment defen somme de série trigonométrique normalement convergente (kunk∞sh=2a(e−a)n
est le TG d’une série géométrique convergente) donc il s’agit bien de la série de Fourier.
π
(Rappel :∀n∈N an(f) =π1Z−ππp+X=∞0(up(t) cosnt)dt=π1+X∞Z−π(up(t) cosnt)dt(par conver-
p=0
gence normale sur un segment)=π1Z−ππ(un(t) c
osnt)dt.)
Déterminer toutes les fonctionsf,2π−périodiques et de classeC2telles que :
Z2π

f= 0
0

et∀t∈R|f”(t)| ≤ |f(t)|

d4-16

D4-45

Condition nécessaire : Soitfvérifiant les conditions données.
festC2et2π−périodique doncfetf”admettent des coefficients de Fourier et∀n∈Z cn(f”) = (in)2cn(f).

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

Analyse (7) : Séries de Fourier

5.

Z02πf= 0doncc0(f) = 0.
fetf”sont continues par morceaux et2π−périodiques donc|f|2=X|cn(f)|2et
21πZ2π
0n∈Z
π
21πZ2|f”|2=n∈XZ|cn(f”)|2d’où l’inégalité :n∈XZ∗(1−n2)|cn(f)|2≥0.
0
Tous les termes sont dansR−donc tous sont nuls :∀n∈Z {−101} cn(f) = 0.
festC1par morceaux et continue surRdonc sa série de Fourier converge (normalement) sur
Rde sommefet doncf=t7→c−1e−ix+c1eixouf=t7→Acost+Bsint(A B)∈C2.
Condition suffisante : Sif=t7→Acost+Bsint(A B)∈C2alors elle est bien solution du,
problème.
Déterminer toutes les solutions2π−périodiques de l’équation différentielley” +yeit= 0.
Mme question poury” + 4y= sintpuisy” + 4y=|sint|.

– Soit(E1) :y” +yeit= 0.
Sifune solution2π−périodique de(E1),alorsf”existe etf” =−f eitdoncf∈ C2(R)et
t7→f”(t) +f(t)eitest continue et2π−périodique donc par injectivité dey7→(cn(y))n∈Z,
on a :
(1) : (fest solution2π−périodique de(E1))⇐⇒(∀n∈Z cn(f” +f eit) = 0).
(1)⇒∀⇐n∈Z−n2cn(f) +cn−1(f) = 0d’où2relations de récurrence :
(1)⇒⇐∀n≥1 cn(f) =cn−n21(f)et∀p≥0 c−p−1(f) =p2c−p(f).
(1)∀⇐⇒n≥1 cn(f) =c(0n)!(f2)et∀p≥0 c−p−1(f) = 0.
Sifune solution2π−périodique de(E1),alorsfest somme de sa série de Fourier (thm de
+∞int
(t) =c0(f)Xe
CV normale) donc(1)∀⇒⇐t∈R fn=0(n!)2ie une droite de l’espace (de
dimension2) des solutions.
– De mme pour(E2) :y” + 4y= sint:
(2)∀⇒⇐n∈Z(−n2+ 4)cn(f) =cn(sin).
(2)∀⇒⇐n∈Z {−2−112} cn(f) = 03c1(f2)1=i 3c−1(f) =−12i.
(2)⇐⇒∀t∈R f(t=1)in3st+c−2(f)e−2it+c2(f)e2itie la solution générale.
– Pour(E3) :y” + 4y=|sint|:
(3)⇒⇐∀n∈Z(−n2+ 4)cn(f) =cn(|sin|).
(3)⇐∀⇒k∈Z c2k+1(f) = 04c0(f) =π2∀k∈Z∗(−4k2+ 4)c2k(f) =π(1−24k2).
Pourk= 1, cette dernière condition est impossible, donc(E3)n’a pas de solution2π−périodique.

Pour aller plus loin :
6. Soitf∈CR. Prouver que, sif∈ C(RC)admetaetbpour périodes avecab ∈Q, alorsfest constante.
On pourra calculer de deux manièresZ0af(t) exp(−2πaint)dt
[On pense àfcomme fonctiona−périodique :
+b
∀n∈ZZ0af(t) exp(−2tπani)dt=acn(f) =Zaf(u+b) exp(−2nπai(u+b))du(t=u+b)
b
donc
+bf(u) exp(−2inπudp(−2inπ
∀n∈Z acn(f) = exp(−2aπnib)Zaba)u= exa b)acn(f).
b
∀n∈Z1−exp−2aπbnicn(f) = 0et∀n∈Z∗an∈Zdonc∀n∈Z∗ cn(f) = 0.
Soitg=f−c0(f).gest continue eta−périodique de coefficients de Fourier tous nuls, donc
g= 0]

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

d4-039

Analyse (7) : Séries de Fourier

7. Soitf:R→Cde classeC1,2π−périodique et telle queZ20πf(t)dt= 0.
Calculer les coefficients de Fourier de la fonction dérivéef0en fonction de ceux def.
er que :Z02π|f(t)|2dt≤Z20πdt. Etudier le cas d’égalité.
Montr|f0(t)|2
En déduire l’inégalité isopérimétrique : SiLest la longueur d’un arc simple ferméΓde classeC1etA
2
l’aire du domaine borné de contourΓ, alorsA≤4L.D4-42
π
[Z20π|f|2=n∈XZ∗|cn(f)|2=n∈XZ∗|cn(f0n∈Z∗0)|2=Z02πl y a égalité ssi
n2)|2≤X|cn(f|f|2et i
Z∗|cn(nf20)|2=|
∀n∈cn(f0)|2ief=t7→c−1e−it+c1eit.
Soitz:s∈[0 L]→z(s)∈Cparamétrage normal de l’arc, l’origine étant choisie de telleun
Z0L= 0.
sorte quez
t
f:=t7→z2πLest2π−périodique etZ20πf= 0doncZ02π|f|2= 2LπZ0L|z|2≤Z02π2Lπz02πtL2dt=2πL
donc(1) :Z0L|z|2≤4Lπ22Z0L|z0|2=4Lπ32puisque le paramétrage est normal.
1
2Z20πρ2(θ)dθ21=Z0L|z|2(s)ddθsdsddetθs=pρ2+ρ02≥ρ=|z|donc(2) :A≤12Z0L|z(s)|ds.
A=
(3) :Z0L|z(s)|ds=Z0L|z|1≤Z0L|z|2L!122Lπ2(inégalitéL2
=de