Méthode N°02: Nombres complexes et trigonométrie

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S02 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! NOMBRESCOMPLEXES Notations alg´ebriques & exponentielles Un nombre complexe peut ˆetre pr´esent´e sous forme alg´ebrique ou exponentielle. Je passe sans probl`eme d’une ´ecriture a` l’autre : Comment passer d’une notation alg´ebrique en notation exponentielle 1 je d´etermine le module ρ =|z| de z. z 2 le nombre complexe z/ρ est un nombre complexe de module 1. Il s’´ecrit donc = cosθ+isinθ. Je reconnais θ. ρ Comment passer d’une notation exponentielle `a une notation alg´ebrique iθ iθJ’utilise la formule e = cosθ+isinθ, de sorte que ρe = ρcos(θ)+iρsin(θ) √ 5(1−i 3) √ −11iπ/12Exercice 1 : mettre sous forme exponentielle z = r´eponse : z = 8 2e 3(1−i) Application des nombres complexes `a la trigonom´etrie Il y a deux points de vue, vous pouvez au choix, effectuer vos calculs dans C en utilisant les formules d’ Euler, Moivre et de Newton, ou bien rester dans R et utiliser les formules de trigonom´etrie. Plus pr´ecis´ement Lin´earisation Pour transformer un polynˆome en cos et sin, vous pouvez utiliser les formules de lin´earisation, ou bien • exprimer sinθ ou cosθ avec les formules d’Euler. n n• appliquer la formule du binoˆme de Newton pour obtenir l’expression de cos θ ou de sin θ comme une somme iθde puissances de e .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: methode-mpsi
• Nombre de lectures: 71
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

´
TECHNIQUES & METHODES S02

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn

NOMBRES COMPLEXES

Notationsalge´briques&exponentielles
Unnombrecomplexepeutetrepre´sent´esousformealg´ebriqueouexponentielle.Jepassesansproble`med’une
ˆ
´ecriturea`l’autre:
Commentpasserd’unenotationalg´ebriqueennotationexponentielle
1erminelejed´eteludomρ=|z|dez.
2le nombre complexezρ´leec1r.Imlosd’unxcedeimtpdloeeroconbmtsnuezρ= cosθ+isinθ. Je reconnaisθ.
Commentpasserd’unenotationexponentiellea`unenotationalg´ebrique
J’utilise la formuleeiθ= cosθ+isinθ, de sorte queρeiθ=ρcos(θ) +iρsin(θ)

Exercice 1 :mettre sous forme exponentiellez(1=(1−−ii)33)5r´nope:esz 2= 8e−11iπ12

Applicationdesnombrescomplexesa`latrigonome´trie
Il y a deux points de vue, vous pouvez au choix, effectuer vos calculs dansCen utilisantles formules d’ Euler,
Moivre et de Newton, ou bien rester dansRgonoetrilesdormuelfssiretulitets´cienemsulPe´rpte´m.eir
Lin´earisation
Pourtransformerunpolynˆomeencosetsin,vouspouvezutiliserleselsd´einorflemunsiraoita, ou bien
•exprimer sinθou cosθavec lesformules d’Euler.

•appliquer lanioˆemedeNtwnobudelumrofpour obtenir l’expression de cosnθou de sinnθcomme une somme
de puissances deeiθ.
•regerceroupnassiups`xuedsecouxpeuadreainfrescde.osssdeouin

Ope´rationinversedelaline´arisation
Pour exprimer cos(pθ) ou sin(pθ) ˆ osθet sinθ, vous pouvez utiliser lesformules d’addition
comme un poynome en c
et de duplication, ou bien
•ose´rcricenθ=Reeinθ=Recosθ+isinθnou que sinnθ=Imcosθ+isinθn
•appliquer lamulenforenwˆtoomedduebNipour obtenir l’expression de cosnθou de sinnθen fonction des
puissances de cosθet de sinθ.

Exercice 2 :Exprimer sin(3x) sous la forme sin(x)P(cosx,)`ouP.2e´seutynˆonpoldegrmede

2) sin(nx2)
Exercice 3 :Soitx∈R,x6≡0 [2π]. Montre quePnk=0sin(kx sin(() =ns+1)nix(x2) .

Racinesnemeis`
`
Commentd´eterminerlesracinesniemesde 1
•1.i`emesdeqtesrtaubuc,euqirrcaes´eacsresintneletemfriasiaponnajec
U2={1−1}U3={1 j j2}U4={1 i−1−i}

•pourn≥5j’expliciteωn=ei2πn. Lesnracinesni`emesdistinctes de 1 sont 1 ωn ω2n ω3n ω4n    ωnn−1. Avec les
notations du cours :
Un={1 ωn ω2n     ωn−1}
n.
Commentde´terminerlesracinesnieme`sd’un nombre complexe non nul a
1dee´jnileetmrelleitneedssrexp’eonxpneioa:a=|a|eiarga
2acinesminelesrej´dterenieme`sdia-ree’c,`-ts1edωn=ei2πnet les puissances deωn.
`
3mineeterjed´enicarenuniemeζ0dere`elicutiarpa. Le plus simpleζ0=n|a|eiargna
4je multiplieζ0par les racinesnie`emsde 1. Les racinesnsemei`deasont :Un={ζ0 ζ0ωn ζ0ωn2     ζ0ωnn−1}.

1

Commentcalculerlesracinescarr´eesennotationalg´ebrique
Soita=α+iβ´helehar2senicealg´ebrique.Jece´estne´ossuofmrxelempcoprulnnnoerbmonnu
erc s carrees
opposeesdeaalmeorsfous:euqirbe´gz=x+iy. (x yssolntle)soe`emystssnudtuoi:
´
x2−y2=α
x2+2xy2y==βα2+β2

Exercice 4 :uellessoQniseacrrtnelrsca+5edsee´21i?:seonpe´r§={3 + 2i−3−2i}

Re´solutiond’´equationspolynomiales
D’apr`esleneatdllea’gle`rbe´eTh`eorfomeamnd,toute´equationopylonimladedeger´en∈N⋆cstn-mo`acoefficie
plexesposse`dedessolutionsdansC.
Equationspolynomialesdedegre´2

◮ejsefiire´vap’yln’iciradeasets,mejesirslempleuqossepparellente:jetene´evideeuvslauetsqeeuqlonsluti
z1etz2delnoauit´’qeaz2+bz+cutolsslentso=0:eme`tsysudsnoi


◮

z1+z2=−ba
z1z2=ca

sinon,j’utiliselediscriminant.Jecalculeuneracinecarr´eeδst.Leellpqieuvunesuosioatotnnbr´elgnae,Δed
solutionsdel’´equationaz2+bz+colatodsr=nos0r:nn´eespa

−b−δ−b+δ
z=
z1=2a22a

Exercice 5 :edrouesr´z2+ (1 + 4i)z−5−i= 0rnse:´epo§={1−i−2−3i}

Equationspolynomialesdedegr´esup´erieur`a3
Aucuneme´thodenouvellenedoiteˆtreconnue.Leprincipeg´en´eralestdeseramenera`unee´quationdedegr´e
inf´erieur.Pourcela:
◮nusecrehceehjteenidevn´ioutol,
◮osenuehcrehcejrticuli`lutionpaavtnelisreeesniudens´el’icndioatcnon,e´
◮j’effectue un changement d’inconnue.

Equationspolynomialesdedegre´quelconquen
Lorsqueledegre´del’´equationn’estpasexplicite,ilyafort`aparierquecelle-ciseram`eneapre`schangementde
variable`aune´equationlieeauxracinesni`esem, par exemple
´
wn= 1 ou 1 +w+w2+  +wn−1= 0

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