Méthode N°25: Systèmes d'équations linéaires

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S23 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis!

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: methode-mpsi
• Nombre de lectures: 33
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

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TECHNIQUES & METHODES S23

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn
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SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES ET CALCUL MATRICIEL

Syst`emesd’e´quationsline´aires
Pourr´esoudreunSEL,jel’e´chelonnea`l’aidedelame´thodedupivotdeGauss:
1esnnel,jdeetlocoiledsenghce´egnaion.erepositnerpme`iremae`entnoncffieiP.rannlurep`jencoeereu
2j’´enimilex1esedm´orefem`tsysudn−´emes´elres:ntai1dtion´eraaroponspauit´sqee`errein
3t:enntcxsaduee´esesrp
◮semet`ysesilS′′taocsessuoefficientsnuls,lessy`tmeeetsa11x1+ ⋆⋆ ⋆ ⋆=
´chel´st`eme(S′′().S)⇐⇒b1((SL′1′))
e onne.
◮soninna,oilppleuqorpade´cuayssssu-iedruce
Pourdiscuterl’ensembledessolutionsd’unSELe´chelonne´,j’utiliseles´equationsdecompatibilite´etlanotionderang:
auit´sqexulinoasyades’ilapasdesolutions.selbysele`ts’nemirianoesomnctipa
slisesy`tmeeetss:leibsspontsoascxued,elbitapmoc
◮malmaxirangtsedmeeesy`tlsep.Iln`auniuaveltnemse´tqesyLe`estibsls.reiravelbapay’edsa
systemetriangulaire`acoeffdiagonauxnonnuls.Parremont´ee,j’obtiensuneuniquesolution.
`
◮st`elesyrtcinasgdtreemseurieerf´inntmetea`p. Il y ap−rvariables libres. L’ensemble des solutions
estinfinietparam´etr´eparcesp−rvariables libres. Je lespasseeconauseerbmemdose´rejtstsyunusme`e
triangulairer×ronxulunnaidfanog`oeacnt´ee.sparremo
x1+2x2+mx3= 0
Exercice 1 :En discutant suivant la valeur dem(erduose´r,S)xx11+(m1++m)xx22+(m+−m12)xx33=00r´onep:seS=
=
{(x3−x3 x3 ) x3∈R}sim= 1, etS={(000)}sinon.

Calcul des puissances dansMn(K)
SoitA∈ Mn(K) une matrice. Pour calculerAp.
◮esdeprestlanullccaencnassiupsere`imeconjjeumelferoernuceutAncree;isjelad´,pura´rcerumenortpe
◮j d´composeAsous formeA=D+Nu`o,Dest diagonale,Nnilpotente commutent et j’applique la formule
e e
dunioˆemedeNtwnob.
◮j’utilise une relation polynomiale : siP(At=e0es)eerde,ljitne´remRde la division euclidienne deXnpar
P.En ce cas,An=R(A).
Exercice 2 :CalculezAn, pourn≥2 lorsqueA=111100
0 0 1
An=01n n2−n
re´ponse:@B1000n21AC1

Calcul de l’inverse d’une matrice
SoitA∈ Mn(K) une matrice.
◮siAest une matrice 2×rminant’jtulisiledee´etda2,censs,ca
◮unaletruesdijeconnaisunpolynˆomeanA,alerrepedteme´demrettilapoonnolyalmiteedtie´l’inineribilvers
calculer l’inverse deA.
Sicesdeuxm´ethodesn’ontriendonne´,j’utiliseauchoix
◮lepoint de vue SEL,
◮l’algorithmedeGauss-Jordan.
Nb :erat’op´bredenomltlenemctxateesesriatneme´le´snoiˆeemdamelenseusde´mxdohtm,seesianpratique,lapartei
«remontee»est plus rapide du point de vue SEL.
´
11−110−10e
Exercice 3 :Montrez queA=elbiactenitssrev1ul1lcezA−1.
reponse :A−311=0@−−111−121−1121A
´

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