METHODES ANALYTIQUES EXERCICES

Description

METHODES ANALYTIQUES - EXERCICES Disque de turbomachine Nous souhaitons dimensionner un disque de compresseur de turbomachine en regime permanent (vitesse de rotation angulaire constante ?, figure 1). Pour cela, nous travaillons en coordonnees cylindriques (r,?,z). Le materiau est suppose elastique lineaire, isotrope, avec les constantes d'elasticite ? et µ (coefficients de Lame) et une masse volumique ?. Pour simplifier les calculs, le champ de deplacements (u,v,w) dans le disque est suppose de la forme u = u(r), v = 0, w = 0. On neglige donc la reduction d'epaisseur du disque. r ? R h z Fig. 1 – Schematisation du probleme – Donner l'expression des tenseurs des deformations et des contraintes – Ecrire l'equilibre du disque en fonction du champ de deplacements – Montrer qu'un champ du type u(r) = ar3+br les satisfait, et determiner les constantes a et b 1

• position dans l'assemblage


• expression des tenseurs des deformations et des contraintes


• tenseur des deformations ?


• frettage cylindrique


• composantes du tenseur des contraintes ?


• condition u2


• rayon maximal


• conditions aux limites en pression sur les faces z


• pression nulle dans la direction z

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• Publié par: pefav
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Extrait

´METHODES ANALYTIQUES - EXERCICES
Disque de turbomachine
Nous souhaitons dimensionner un disque de compresseur de turbomachine
en r´egime permanent (vitesse de rotation angulaire constante !, figure 1).
Pour cela, nous travaillons en coordonn´ees cylindriques (r; ;z ). Le mat´eriau
est suppos´e´elastique lin´eaire, isotrope, avec les constantes d’´elasticit´e ‚ et „
(coefficients de Lam´e) et une masse volumique ‰. Pour simplifier les calculs,
le champ de d´eplacements (u;v;w) dans le disque est suppos´e de la forme
u=u(r), v =0, w =0. On n´eglige donc la r´eduction d’´epaisseur du disque.
z
r
R
h
Fig. 1 – Sch´ematisation du probl`eme
– Donner l’expression des tenseurs des d´eformations et des contraintes
´– Ecrire l’´equilibre du disque en fonction du champ de d´eplacements
3– Montrerqu’unchampdutypeu(r)=ar +brlessatisfait,etd´eterminer
les constantes a et b
1
w– En utilisant la contrainte ´equivalente de Tresca, et en notant ? sa0
valeur limite (avant plastification), d´eterminer le rayon maximal ad-
missible du disque
– Parmilesmat´eriauxpropos´esci-dessous,s´electionnerceluiouceuxper-
mettantunfonctionnement`aunevitessede50000tr=mnavecunrayon
de 160mm.
3mat´eriau ‰(kg=m ) ” ? (MPa)0
INCO625 7800 0,3 900
TA6V 5500 0,34 700
Al 7075 2800 0,32 500
Tenue m´ecanique d’un bouchon
Nous souhaitons´etudier la tenue m´ecanique d’un bouchon cylindrique intro-
duitdansunebouteillesuppos´eeinfinimentrigide.Pourcela,nousutilisonsla
sch´ematisation de la figure 2 et nous travaillons en coordonn´ees cylindriques
(r; ;z ). Le mat´eriau constituant le bouchon est suppos´e ´elastique lin´eaire,
isotrope, avec les constantes d’´elasticit´e ‚ et „ (coefficients de Lam´e). Le
champ de d´eplacements (u;v;w) dans le bouchon est suppos´e de la forme
u=u(r), v =0, w =w(r;z).
z
R
H
r
pression P
Fig. 2 – Sch´ematisation du probl`eme
– Exprimer le tenseur des d´eformations †, le tenseur des contraintes ?,
et les ´equations d’´equilibre du bouchon, en fonction des d´eplacements
(u;v;w)etdeleursd´eriv´eespartielles(nonnulles).Montrerqu’unchamp
2ded´eplacementsdelaformesuivante(ou` A;B;C;Dsontdesconstantes)
satisfait ces ´equations d’´equilibre:
8
ru=A< R
v =0 (1)
: 2„B 2 2 zw = (r ¡ z )+C +D2R ‚+2„ H
– ExprimerlesconstantesB etC enfonctiondeA;P;R;H;‚;„enutilisant
les conditions aux limites en pression sur les faces z = 0 (pression P
dans la direction z) et z =H (pression nulle dans la direction z).
– Donner l’expression de la constante A `a l’aide de la condition aux li-
mites en d´eplacement suivante: un d´eplacement u =¡– en r = R est
impos´e (le bouchon est emmanch´e de force dans la bouteille!!).
– Donner l’expression compl`ete du tenseur des contraintes. Expliquer
pourquoi ce tenseur ne d´epend pas de la constante D, et comment
celle-ci pourrait ˆetre obtenue.
!¡
– Donnerl’expressionduvecteurcontrainte t exerc´eparlabouteillesur
la face r = R du bouchon (voir figure 3). En d´eduire les contraintes
normale ? et tangentielle ? appliqu´ees sur cette face.n t
z
n
t
t
r
Fig. 3 – Sch´ematisation du probl`eme
– Ce vecteur contrainte pourra ˆetre exerc´e par la bouteille tant que le
?trapport n’exc´edera pas le coefficient de frottement m de l’interface
?n
bouteille-bouchon. En d´eduire la pression P limite `a partir de laquelle
le bouchon sortira.
– Calculer cette pression limite pour H =30mm, R =10mm, – =1mm,
‚=0, „=6MPa et m=0;1.
3
ssFrettage cylindrique
Le ”frettage cylindrique” consiste `a emmancher deux formes axisym´etriques
l’une dans l’autre, la forme int´erieure ayant auparavant un diam`etre externe
sup´erieur au diam`etre interne de la forme ext´erieure. On parle alors d’em-
manchement ”serr´e”. Dans ce travail, nous nous int´eresserons simplement
auxcons´equencesdufrettage,sansnoussoucierdumoded’assemblage(ther-
mique ou m´ecanique). L’objectif est de calculer les champs de contraintes,
ded´eformation,etlesd´eplacementsdansdesassemblagescylindriquesfr´et´es.
Nousallonstraiterlecasdufrettaged’untubesuruncylindreplein,telqu’il
est d´ecrit dans la figure .
materiau 1
materiau 2
R 1
R 2
Dans tous les calculs, nous nous placerons en coordonn´ees cylindriques et
dansl’hypoth`esedespetitesperturbations.Deplus,nousn´egligeronslepoids
propre et les effets d’acc´el´eration, et nous supposerons que les mat´eriaux
fr´et´essonthomog`enes,etontlemˆemecomportement´elastiqueisotrope(nous
noterons ‚ et „ leurs coefficients de Lam´e). Enfin, le champ de d´eplacements
(u;v;w )`al’int´erieurdechaquemat´eriauiserasuppos´eradialetdelaformei i i
suivante:
8
u =u (r)< i i
v =0 (2)i
:
w =0i
(i)– Donner les composantes du tenseur des contraintes ? et du tenseur
(i)des d´eformations † dans le mat´eriau i, en fonction de u et de sesi
d´eriv´ees successives. En d´eduire les ´equations d’´equilibre dans chaque
mat´eriau formul´ees en d´eplacements.
4

!
d

!

!

















































































– Trouveruneformeanalytiquedeu (r),d´ependantdedeuxconstantesai i
et b , satisfaisant les´equations d’´equilibre obtenues. Pour cela, int´egreri
les ´equations d’´equilibre en effectuant un changement de variable t =i
ln(u ).i
– En notant – l’´ecart entre les rayons initiaux de deux formes fr´et´ees 1
(int´erieure) et 2 (ext´erieure), montrer que les d´eplacements u et u1 2
satisfont la condition u ¡u =– au niveau de l’interface. La quantit´e2 1
– est appel´ee ”serrage”.
– A l’interface entre deux formes fr´et´ees 1 et 2, ´ecrire la continuit´e de la
contrainte normale, et montrer que cette continuit´e se traduit par la
(1) (2)
condition ? =? .rr rr
– Appliquerlesconditionsauxlimitesaucentre,a`l’interfaceet`al’ext´erieur
pour d´eterminer les quatre constantes a ;b ;a ;b . Exprimer ensuite1 1 2 2
les champs de d´eplacement, de contraintes et de d´eformation dans les
mat´eriaux fr´et´es en fonction des rayons R et R , du serrage –, et des1 2
coefficients de Lam´e.
– Dessiner l’´evolution des contraintes ? , ? et ? le long du rayon derr ?? zz
l’assemblage. En d´eduire la contrainte ´equivalente de Tresca ? dans Dessiner son ´evolution le long du rayon de l’assemblage.
Donner la position dans l’assemblage ou` la plastification du mat´eriau
apparaˆıtra en premier.
Tube sous pression
On consid`ere un tube d’axe Oz, infiniment long, de rayon int´erieur r , de0
rayonext´erieurr .Ontravailleraencoordonn´eescylindriquesr; ;z .Lemat´eriau1
est suppos´e avoir un comportement´elastique isotrope caract´eris´e par ses co-
efficients de Lam´e ‚ et „. La face int´erieure est soumise `a une pression p ,0
celle de l’ext´erieur a` une pression p .1
– Justifierlechoixd’unchampded´eplacementsu;v;wtelqueu=u(r);v =
0;w =0(champradial).End´eduirel’expressiondutenseurdesd´eformations
et du tenseur des contraintes en fonction de u et de ses d´eriv´ees par
rapport `a r.
– R´esoudre le probl`eme en d´eplacements en ´ecrivant l’´equilibre statique
bdusyst`eme.Montrerqu’unchampded´eplacementsdutypeu(r)=a+
r
satisfait cet ´equilibre.
5– R´esoudre le probl`eme en contraintes en ´ecrivant l’´equilibre statique du
syst`eme.Utiliserlechampded´eplacementsobtenupr´ec´edemmentpour
estimer une forme de champ de contraintes.
´– Ecrire les conditi