Probabilites et statistiques M2MT01 TD2

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Probabilites et statistiques M2MT01 - TD2 Exercice 1 : Une fourmi se deplace sur un de a six faces. A chaque sommet, elle choisit le prochain parmi les trois sommets voisins avec la meme probabilite. La fourmi demarre du point I le point oppose est le point O. 1. Quel est le nombre moyen de pas avant la premiere visite en O ? 2. Quel est le nombre moyen de pas faits par la fourmi avant de revenir en I ? 3. Quel est le nombre moyen de visites en O avant de revenir I ? Exercice 2 : Le Bon, la Brute et le Truand se retrouvent finalement pour un memorable duel a 3 (tout c¸a pour quelques dollars de plus). Pous simplifier, nous designerons par A le Bon, B la Brute et C le Truand. Le Bon est un tireur d'elite et touche sa cible a coup sur. La Brute est egalement un bon tireur mais tetanise par l'enjeu, il n'a que 80% de chances de toucher. Enfin, le Truand a mal choisi son emplacement ; ebloui par le soleil couchant, il n'a qu'une probabilite de 10% d'atteindre son but. Les regles du duel sont les suivantes : – Le premier tireur sera tire au sort. – Chacun tire ensuite a tour de role dans l'ordre lexicographique. Bien entendu, a chaque fois que c'est son tour, le tireur choisit de tirer sur son adversaire le plus dangereux.

  • aleatoires symetriques dans z independantes

  • matrice de transition

  • probabilite

  • lendemain

  • meme train

  • chaıne de markov


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : univ-orleans.fr
Nombre de pages : 5
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Probabilit´esetstatistiques M2MT01 - TD2
Exercice 1 :fenUmruodesilpe´urunacesasixd´e`.scAafecsemoahuqleelt,metlsioiche prochainparmilestroissommetsvoisinsaveclamˆemeprobabilite´.Lafourmide´marredupoint Ippsoniotelopointtlep´eesO. 1.Quelestlenombremoyendepasavantlapremie`revisiteenO? 2. Quelest le nombre moyen de pas faits par la fourmi avant de revenir enI? 3. Quelest le nombre moyen de visites enOavant de revenirI?
Exercice 2 :tleerueTlan,utBroBeLpourunm´nalementorvunetnasdreteleudelbarome a`3(tout¸capourquelquesdollarsdeplus).Poussimplier,nousd´esigneronsparAle Bon,B la Brute etCeTlLed.anrunutsenoBdrueritBrLaeeutst´eliteettouchesaiclb`ecauospuˆ.r ´egalementunbontireurmaiste´tanise´parlenjeu,ilnaque80%dechancesdetoucher.Enn, leTruandamalchoisisonemplacement;´eblouiparlesoleilcouchant,ilnaquuneprobabilit´e de10%datteindresonbut.Lesr`eglesduduelsontlessuivantes: Lepremiertireurseratire´ausort. Chacuntireensuitea`tourderoˆledanslordrelexicographique. Bienentendu,a`chaquefoisquecestsontour,letireurchoisitdetirersursonadversairele plus dangereux. 1.Mod´eliserles´evolutionsdeceduel`alaidedunechaıˆnedeMarkov. 2.LeTruanda´ete´choisiparlesortpourtirerenpremier.IltiredoncsurleBon. (a)Calculerlaprobabilit´equeletruandsurvivesilrateleBonlorsdesonpremiertir. (b)MˆemequestionsiltueleBonlorsdesonpremiertir. (c)Sivouse´tiezleTruand,quellestrat´egieadopteriez-vouslorsdupremiertir?
Exercice 3 :On place un rat dans le labyrinthe suivant.
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1. Achaque fois qu’il se retrouve dans une des 9 cases, le rat choisit une des portes disponibles auhasard,etinde´pendammentdeseschoixpre´c´edents.SoitXnodelm´erlenuanmee`-˜ ˜ casevisit´eeparlerat.ModAlliserlAlvolutiondeXn. 2.Onconsid`erelapartitiondelespacede´tatsenlestroisclassessuivantes: a={1,3,7,9}b={2,4,6,8}c={5}. On noteYnaclale`sslaqaeullaeppraitnetXn. Montrer que{Yn, nN}est une chaˆıne deMarkovete´criresamatricedetransitions. 3.De´terminerlamesurestationnairedelachaˆıne{Yn}. 4.Ende´duirelamesurestationnairedelachaˆıne{Xn}.
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5. Sile rat part de l’un des coins, et franchit une case toutes les secondes, combien de temps mettra-t-ilenmoyenne`aatteindrelefromagequisetrouveaucentre? 6.Leratnestpassibˆete:`achaquefoisquilapasse´uneporte,ilchoisitsaprochaineporte au hasard parmi les portes disponiblesidre´eesntde celle qu’il vient d’emprunter. A la nrancrtefonnohie,etopeme`-Zndeelocofmrpuelde´eumsnro´eelsdsacadedeape´tetr ˜ lacasedarriv´ee.ModAlliser. 7.Sousleshypoth`esesdelaquestion(6),montrerque{Xn}vokr.enıˆaMedechaasunestpn8.Sousleshypoth`esesdelaquestion(6),ond´enitTnpar : Tn= (x, y)⇐⇒Znx×y , ou`xetyostnedxueuqnedsqutscoell´´eenem{a, b, c}. Montrer que{Tn, nN}est une chaıˆnedeMarkovetrepr´esentersondiagrammedetransitions. 9.Reprendrelaquestion(5)sousleshypoth`esesdelaquestion(6).
Exercice 4 :Tous les matins, Christine prend le train de 7h47, ou, si elle est en retard, celui de 7h59.Lorsquellearat´ele7h47,ellefaituneortlelendemain,sibienqueletrainprischaque jourestunechaıˆnedeMarkovdematricedetransition: 7h47 7h59 7h47 0.4 0.6 7h59 0.7 0.3 Toutsepassedelameˆmefac¸onpourBernardmaissamatricedetransitionest 7h47 7h59 7h47 0.3 0.7 7h59 0.8 0.2 Enn,BernardetChristineprennentleurtraindefac¸onind´ependantelundelautrepuisquils ne se connaissent pas (pas encore). 1.Onsupposequ`alorigine(date0),Bernardaprisle7h47alorsqueChristinelarate´,et on noteZtCdeishrnetienprala`leuqeBelranri`emprlaurploandtanteeemeˆmelsiofere train. (a)Quelleestlesp´erancemath´ematiquedeZ? (b)Quelleestlaprobabilit´epourqueBernardetChristineprennentlemeˆmetrainle premier jour ? (c)Quelleestlaprobabilit´epourquilsserencontrentpourlapremi`erefoisdansletrain de 7h47 ? 2.Enr´ealit´e,lorsqueChristineetBernardprennentlemeˆmetrain,ilsnontquuneproba-bilit´eprpernolpetnese´arrencdeseeretontrTatadlueaqale`rencontrlleilsseneptuor lapremie`refois.Commentmode´lisercettenouvellesituationpourre´pondreauxquestion du1?(Ondemandesimplementdede´crirelachaıˆnedeMarkova`´etudieretdedonnersa matrice de transition). 3.Aforcedeserencontrer,etapre`suntr`eslongtemps(BernardetChristinesontdenature tre`stimide),ilsnissentprosaı¨quementparsemarier.Ilsontne´anmoinsconserve´leurs habitudesdec´elibatairesquanta`leurshorairesdelever.Ainsi,silsparviennenta`prendre lemˆemetrain,ilsbe´n´ecienttousdeuxdutarifcouplequiestde30Fparpersonnemais silsprennentdestrainsdie´rents,ilsdoiventsacquitterdutarifnormalquiestde35F. Quelestalorslecouˆtmoyenduntrajetparpersonne?
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