PSI Brizeux EXERCICES Électrocinétique Filtrage El21 Diagrammes de Bode de systèmes fondamentaux du second ordre Représenter les diagrammes de Bode en amplitude et en phase des fonctions de transfert suivantes une discussion en fonction du facteur d'amortissement sera mener Passe bas d'ordre H jx

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PSI Brizeux EXERCICES Électrocinétique 2 Filtrage ? El21. Diagrammes de Bode de systèmes fondamentaux du second ordre Représenter les diagrammes de Bode en amplitude et en phase des fonctions de transfert suivantes (une discussion en fonction du facteur d'amortissement sera à mener) : 1°) Passe-bas d'ordre 2 : H (jx) = ? H 0 1+ 2?(jx) + (jx) 2 2°) Passe-haut d'ordre 2 : H (jx) = ? H 0 (jx) 2 1+ 2?(jx) + (jx) 2 3°) Passe-bande d'ordre 2 : H (jx) = ? H 0 1+ jQ(x? 1 x ) 4°) Coupe-bande d'ordre 2 : H(jx) = ? H 0 1+ (jx) 2 ( ) 1+ 2?(jx) + (jx) 2 Classer les montages suivants (sortie ouverte) dans une des catégories précédentes, puis dans le cas du passe-bas, déterminer le gain statique, la pulsation propre et le facteur de qualité. v e (t) L C v s (t) R A v e (t) L C v s (t) R B v e (t) L

  • relevé du diagramme de bode en amplitude et en phase

  • signal d'entrée

  • bande passante

  • allure de la réponse indicielle

  • diagramme de bode asymptotique

  • psi brizeux ?

  • amplitude


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : cpge-brizeux.fr
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PSI Brizeux  E X E R C I C E S É l e c t r o c i n é t i q u e 2Filtrage rammes de Bode de systèmes fondamentaux du second ordre El21. Diag Représenter les diagrammes de Bode en amplitude et en phase des fonctions de transfert suivantes (une discussion en fonction du facteur damortissement sera à mener) : H 0  1°) Passe-bas dordre 2 : H (jx) =2 1+2"(jx)+( jx) 2 H (jx) 0  2°) Passe-haut dordre 2 : H (jx) =2 1+2"(jx)+( jx) H 0  3°) Passe-bande dordre 2 : H (jx) =1 1+jQ(x") x 2 H 1+(jx) 0( )  4°) Coupe-bande dordre 2 : H(jx) =2 1+2"(jx)+( jx) Classer les montages suivants (sortie ouverte) dans une des catégories précédentes, puis dans le cas du passe-bas, déterminer le gain statique, la pulsation propre et le facteur de qualité. C ACC L R
v (t) e
B
v (t) e
R
L
L
C
v (t) s
v (t) s
v (t) e
D
v (t) e
R
C
L
R
Rép : A = passe-haut ; B = passe-bas ; C = passe-bande ; D = réjecteur ; cas du passe-bande : H0= 1,ω0=
v (t) s
v (t) s
1 Lω0 , Q = R LC
El2Réponse dun système linéaire à une rampe de tension 2. Etant donné un système linéaire stationnaire initialement au repos et dont la réponse au signal échelon u(t) est su(t), déterminer sa réponse, les conditions initiales étant les mêmes, à la rampe de position : e(t) = atu(t) pour t > 0 et e(t) = 0 pour t0.
 El2Identification dun système linéaire. 3. Lessai à léchelon unitaire de 2 systèmes linéaires (ordre 1 ou 2) comprenant éventuellement un retard pur, a donné les résultats représentés ci-dessous. Identifier la nature et déterminer graphiquement les paramètres caractéristiques de ces systèmes.
 El2 4. Identification dun filtre. Le relevé du diagramme de Bode en amplitude et en phase dun système linéaire a donné les résultats représentés ci-contre. A quel type de filtre cela correspond-il ? Evaluer alors approximativement ses paramètres.
-1 Rép : H0= 10 ;ω0;= 10 rad.s σ= 0,05
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PSI Brizeux Réponses indicielles de systèmes linéaires. El2 5. S1et S2sont deux systèmes linéaires et invariants dont les réponses à léchelon unitaire sont données ci-dessous :
1°) Proposer pour chacun de ces systèmes, une équation différentielle faisant intervenir les signaux dentrée et de sortie. 2°) En déduire la fonction de transfert et lallure du diagramme de Bode de chaque système. 3°) Proposer une structure électronique simple pour chaque système (on pourra choisir A et B inférieures à 1 et nutiliser que des composants résistifs et capacitifs purs.  El26Caractéristiques de filtres du premier ordre.. 1°) Les graphes représentés ci-dessous donnent la réponse dun filtre du premier ordre à un signal triangulaire damplitude 1V, de fréquence 50 Hz et 10 kHz. Déterminer le type du filtre et sa fréquence caractéristique.
2°) Les graphes représentés ci-dessous donnent la réponse dun filtre du premier ordre à un signal créneau damplitude 1V, de fréquence 100 Hz et 20 kHz. Déterminer le type du filtre et sa fréquence caractéristique.
Rép : 1°) passe haut fc= 500 Hz. 2°) passe-bas fc= 1,5kHz
PSI Brizeux Comportement fréquentiel dun filtre. Réponse à un signal triangulaire El2 7. 1°) Examiner rapidement le comportement basse fréquence et haute fréquence du système représenté ci-dessous.
e
R
A
C
R
A'
+ _
C
B
R
!R
s
S 2°) Déterminer la fonction de transfert H= . On la mettra sous la forme canonique généralement adoptée E H0 pour un tel filtre : H = . Quelles sont les expressions et les significations des termes H0,ω0et Q ? ω ω 0 1+jQ( - ) ω ω0 Donner léquation différentielle reliant s(t) et e(t). 3°) Tracer le diagramme de Bode correspondant pourα=1 etα=10. 4°) e(t) est un signal triangulaire de valeur moyenne nulle, damplitude 2E0et de période T. On observe les réponses suivantes pourα= 10. Interpréter ces deux résultats (T0= 2π/ω0)
en BF (T = 10 T0) en HF (T = 0,1 T0) 5°) a) On considère maintenant que la tension dentrée veest une tension en créneaux de période T, qui vaut V0pour 0 < t < T/2 et -V0pour T/2 < t < T. Donner le développement en série de Fourier de cette tension.  b) Que devient ce développement si ve=V0pour -T/4 < t < T/4 et ve= -V0pour T/4 < t < 3T/4 ?  c) Compte tenu des valeurs numériques précédentes, quelle doit être la valeur la fréquence de vepour que f0=ω0/2πcorresponde à la fréquence de lharmonique 3 de la décomposition du 5°)a) ? Quelles seront les amplitudes du fondamental et des harmoniques 2,3,4 et 5 à lentrée et à la sortie du montage ? On prendre V0= 0,5V. Conclure. 1 1 Rép : : 1°) A H.F. et B.F. on a s = 0. 2°) H0= -α/3, Q = 1+α,ω0= 1+α3 RC
PSI Brizeux  El2Filtre passe-haut du deuxième ordre à basse-fréquence 8. 1°) Quelle est la fonction de transfert dun filtre passe-haut du deuxième ordre ? Introduire le facteur de qualité Q et x la fréquence réduite x = f/f0. 2°) Préciser les domaines dans lesquels un signal sinusoïdal de fréquence f peut être considéré comme transmis sans atténuation, dérivé une fois, dérivé deux fois (il est nécessaire de discuter en fonction du facteur de qualité). 2 -x 3°) La fonction de transfert est H(jx) = (filtre de Butterworth) de fréquence caractéristique 10 2 1+ 2jx - x kHz. Le signal dentrée est un triangle damplitude 1V et de fréquence 100 Hz. Quelle est qualitativement la forme du signal de sortie ? 4°) Interpréter la forme du signal de sortie obtenu pour un signal créneau variant entre 0 et 1V et de fréquence 100 Hz ?
ω ω Rép : : transmis sans atténuation pour >> 1/Q pour Q < 1 ou >> 1 pour Q > 1 ; simple dérivation pour Q << 1 et 1/Q ω0ω0 ω ω ω >> >> Q ; double dérivation pour << 1/Q pour Q > 1 ou << 1 pour Q < 1. ω ω ω 0 0 0 Filtre universel à fréquence de coupure commandée El2 9. On considère le dispositif de la figure 1 dans lequel les opérateurs  -int » sont ceux définis figure 2 et les -1 multiplieurs vérifient la loi p = k.u.v (k = 0,1 V ) comme indiqué également figure 2. Tous les amplificateurs opérationnels présents dans le dispositif sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire. Le signal dentrée est noté e ; VC est un signal de commande continu qui permet de modifier certaines caractéristiques des divers filtres obtenus (sorties s1, s2 et s2). VCvarier de 0,1 à 10 V. On notera H peut i la fonction de transfert correspondant à la sortie si. 1°) Déterminer les fonctions de transfert Hi et donner lallure de leur diagramme de Bode asymptotique. Indiquer dans chaque cas de quel type de filtre il sagit. 2°) On désire disposer, pour une valeur de VC, dun filtre passe-bas dont le module de la fonction de transfert varie le moins possible aux très faibles fréquences. Que peut-on proposer comme relation entre les divers composants ? Ce choix est effectué par la suite. 3°) On souhaite obtenir une bande passante à –3 dB variant de 100 Hz à 10 kHz. Que proposez-vous ? 4°) Donner lallure de la réponse indicielle (échelon de 1V) du filtre passe-bas obtenu pour VC= 10V puis pour VC= 1V.
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 El2 Boîte noire 10. Un quadripôle constitué de deux dipôles (D1) et (D2), disposés comme lindique la figure 1, contient une résistanceR,un condensateur de capacitéCet une bobine dinductanceL. Seules les bornes dentrée et de sortie sont accessibles à lexpérimentateur. (D ) 1 i(t)
e(t)
On réalise les mesures suivantes :
figure 1
(D ) 2
s(t)
PSI Brizeux  • On relie lentrée à une pile de f.é.m.e(t) =E015 V et de résistance interne nulle, la sortie étant = ouverte. On mesure, en régime établi, un courant dentrée dintensitéi(t) =i0= 15 mA.  • On remplace la pile précédente par un générateur de tension sinusoïdalee(t) =E0cos(ωt), et on effectue une étude en fréquence de la réponse du système. Lexpérience montre quil sagit dun filtre passe-bande dont le gain passe par sa valeur maximale pour la fréquencef0= 1,16 kHz, et dont la bande passante à –3 dB vautΔf= 0,34 kHz. 1°) Expliquer pourquoi les trois composants ne peuvent pas être en série 2°) Déterminer la disposition des composants dans le quadripôle ainsi que la valeur numérique des composants. 3°) Représenter qualitativement la forme du e(t) signal en sortie de ce filtre lorsque celui-ci se voit imposer une entrée en créneau (figure 2). U 0  - PourT =100 ms.  - PourT= 0,01 ms. t 4°) Mêmes questions lorsque ce filtre se voit 0 T imposer une entrée en signal triangulaire avec figure 2les pulsations précédentes. 5°) Comment rendre ce filtre plus sélectif ? Quelle serait alors linfluence sur la forme des signaux de sortie des exemples précédents ?  El211Tripleur de fréquence On considère le montage de la figure 1 dans lequel lAO est idéal et fonctionne en régime linéaire. Deux dipôlesDsont disposés en série avec le résistor de résistance identiques R entre lentrée et la borne non inverseuse de lAO. La caractéristique de ce dipôleDest donnée sur la figure 2 avec les conventions adoptées pourueti.
E
R
e(t)
D
A+
Figure 1
R
s(t)
D
u
i
–U0
Figure 2
i
u
1°) Tracer la caractéristiquei=f(u)du dipôle situé entre les bornesEetAde la figure 1. EA EA 2°) En déduire la caractéristiques=f(e). 3°) On place, en sortie de ce quadripôle, un filtre passe-bande. On alimente le quadripôle de la figure 1 avec une tensione(t) sinusoïdale de fréquencef1. Représenters(t) et déterminer à quelle(s) condition(s) on obtient, en sortie de filtre, un signal harmonique de fréquence3f1.Est-il possible avec ce dispositif de doubler la fréquence dun signal sinusoïdal ?
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