PSI Brizeux EXERCICES Électrocinétique Multiplication de signaux El51 Puissance d'un signal modulé Un signal modulé en amplitude a l'expression suivante

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PSI Brizeux EXERCICES Électrocinétique 5 Multiplication de signaux ? El51. Puissance d'un signal modulé Un signal modulé en amplitude a l'expression suivante : ? v t ( ) = V m 1+ Km t ( ) [ ] .cos ? p t ( ) où m(t) est un signal sinusoïdal d'amplitude Mm. 1°) Après avoir déterminé le spectre du signal v(t), calculer sa puissance définie comme la valeur moyenne du carré de v(t) (moyenne quadratique). Montrer que lorsque l'indice de modulation vaut 1, la puissance transportée par la porteuse représente 2/3 de la puissance totale du signal. Rép : P = 12 Vm2 (1 + K2Mm22 ) ? El52. Codage et décodage d'un son Un dispositif de codage d'un signal sonore m(t) est réalisé de la façon suivante : - On multiplie m(t) par un signal p(t) sinusoïdal de fréquence 12,8 kHz et d'amplitude 10 V : u(t) = k.m(t).p(t) (où k = 0,1 V-1). - On filtre le signal u(t) obtenu par un filtre passe-bas ne conservant que les composantes du signal dont la fréquence est inférieure à 12,8 kHz ; soit c(t) le signal codé obtenu.

  • indice de modulation

  • verrouillage de phase

  • durée t0 supposée

  • régime

  • fréquence

  • multiplieur de sortie vd

  • durée d'amortissement du régime transitoire précédant la stabilisation du signal de sortie


Publié le : lundi 18 juin 2012
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 E X E R C I C E SÉ l e c t r o c i n é t i q u e5Multiplication de signaux El5Puissance dun signal modulé1. Un signal modulé en amplitude a lexpression suivante:v t=V1+.Km tcos"t oùm(t) est un signal ( )m[( )](p) sinusoïdal damplitudeMm. 1°) Après avoir déterminé le spectre du signalv(t), calculer sa puissance définie comme la valeur moyenne du carré dev(t) (moyenne quadratique). Montrer que lorsque lindice de modulation vaut 1, la puissance transportée par la porteuse représente 2/3 de la puissance totale du signal. 2 2 12K Mm Rép : P =Vm(1 +)2 2  El5Codage et décodage dun son 2. Un dispositif de codage dun signal sonorem(t) est réalisé de la façon suivante : -On multipliem(t) par un signalp(t) sinusoïdal de fréquence 12,8 kHz et damplitude 10 V: -1 u(t) =k.m(t).p(t) (oùk= 0,1 V). -On filtre le signalu(t) obtenu par un filtre passe-bas ne conservant que les composantes du signal dont la fréquence est inférieure à 12,8 kHz ; soitc(t) le signal codé obtenu. 1°) Pour un signalm(t) sinusoïdal, donner les propriétés des signauxu(t) etc(t) (type de signal, profil spectral). 2°) Proposer une structure de décodeur permettant de retrouverm(ton utilisera des fonctions) : élémentaires (filtres, multiplieurs) dont on donnera les caractéristiques importantes (type de filtre, bande passante) 3°) Le signal traité par un ensemble de codeur - décodeur est un signal audio et on admet que loreille nest sensible quau profil spectral du signal reçu, mais insensible à la présence dun éventuel déphasage de chacune des composantes spectrales présentes. Est-il nécessaire de disposer du signalp(t) utilisé lors du codage ou peut-on se contenter dutiliser un oscillateur délivrant un signal de fréquence 10V et de fréquence 12,8 kHz lors du décodage ?Justifier la réponse.  El5Altimétrie par satellite 3. Un altimètre embarqué à bord dun satellite doit mesurer sa distance à locéan quil survole. Pour cela, il émet des signauxchirp( pépiement ») de forme sinusoïdale mais de fréquence variable selon la loi :f= 13,825 – 0,03.tfest exprimée en gigahertz etten microseconde. Chaquechirpdure 115,5µs. 1°) Si lon admet que locéan se comporte comme un miroir vis-à-vis des ondes électromagnétiques et que 8 -1 latmosphère est assimilable à du vide (célérité des ondesc= 3.10quelle altitude maximale est utilisablem.s ), pour quil y ait superposition au niveau du satellite, de signaux émis et reçu appartenant au mêmechirp? En quoi ce choix est-il déraisonnable ? 2°) En pratique, on utilise donc lors du retour de limpulsion écho, une impulsion de référence, rigoureusement identique à limpulsion émise, mais retardée par rapport à celle-ci dune duréeT0 supposée parfaitement connue. Le traitement consiste alors en une multiplication de signaux (référence et écho) suivie dun filtrage passe-bas. Quelle opération permet alors de déterminer laltitude ? 3°) La bande passante du filtre passe-bas est égale à 40 MHz. Quelle est la valeur maximale du retard entre les impulsions écho et référence ? Rép : 1°) h < 17,3 km ; 3°)T0= 13,3µs
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Filtrage dun si El5modulé en amplitude4. gnal" p Un signal modulé en amplitude a pour expressionS1+mcos"tcos#tf=est la fréquence porteuse m( )(p)p  2# etm lindicede modulation. Ce signal traverse un filtre passe-bande de fréquence centralefpde cœfficient de et qualitéQ. 1°) Rappeler la forme canonique de la fonction de transfert dun filtre passe bande du second ordre. Montrer que pour une fréquence proche defp, il est possible dutiliser lexpression approchée suivante de la fonction de G 0 transfert :. 1+2jQ f"f /f (p)p 2°) En considérant que les diverses composantes du signal subissent dans le filtre une atténuation et un déphasage différents, montrer que le rôle du filtre peut se résumer à lintroduction dun déphasage sur le signal modulant et à une diminution de lindice de modulation. Chiffrer cette dernière si la fréquence modulanteF = Ω/2πest 0,5% de la fréquence porteuse et pour un cœfficient de qualité égal à 50. m Rép : m = 2 22  1+ 4Q F /fpEl5Dispositif ohmmètre 5. On désire étudier un dispositif de mesure de résistance pure dont la structure est donnée ci-dessous :  - M » est une cellule comportant des multiplieurs analogiques (z=k .x"y) ;  - O » est un oscillateur sinusoïdal délivrant un signal damplitude 10V et de fréquence 1 kHz ;  - F » est un filtre passe-bas et  I » un intégrateur ;  - V » est un voltmètre (mesure de valeur moyenne). La résistance à mesurerRxpeut varier de 100Ωà 1 MΩ. On dispose de plus dun jeu de résistances étalonRe(en pratique, on utilise des boîtes AOIP). La durée damortissement du régime transitoire précédant la stabilisation du signal de sortie doit être inférieure à 0,1s pour toutes les valeurs possibles deRxdans la gamme proposée. Lutilisateur place la résistance à mesurer et la résistance étalon qui convient et déduit la valeur deRx dela tension indiquée en sortie. 1°) En supposant que le rôle de F » consisteà ne conserver que la composante de plus basse fréquence du signalUm, déterminer léquation différentielle vérifiée parUs. 2°) Lintégrateur  I » doit-il être inverseur ou non ? 3°) Décrire le fonctionnement du dispositif. Comment doit-on choisir numériquement la valeur deRepour chaque gamme de mesure deRx? 4°) De quels paramètres dépend la tensionUs enrégime établi (Rx etRe? Discuter la précision de la fixés) méthode. 5°) Comment peut-on faire pour satisfaire la condition donnée sur le temps détablissement? Proposer une relation entre les différentes grandeurs intervenant dans le dispositif. U 0 U U U Us 0 U O MF I V R
U
U
R x
Bloc M
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 El56Voltmètre TRMSLe montage ci-dessous utilise deux multiplieurs identiques. LA.O. est supposé idéal de gain infini; il fonctionne en régime linéaire. Le dipôle D est un dipôle passif qui possède deux régimes de fonctionnement :  -régime  P » :s(t)>0 eti(t)=0 -régime  B » :i(t)>0 ets(t)=0La tensione t estsinusoïdale : ( ) -e t=2Esin"t.A RB ( )( ) + 1°) Donner une condition surω,R etC pour Dque la composante sinusoïdale du potentiele(t)Cs(t) électrique au point A notéVatténuée de 40 soitiA dB au nœud B. Cette condition est réalisée par la suite. 2°) Donner une expression des tet préciser le rôle du dipôle D. ( ) 3°) Expliquer pourquoi ce montage est le schéma de principe dun voltmètre. En quel mode de fonctionnement : AC ou DC ? Le montage réalise-t-il toujours cette même fonction si le signal dentrée nest pas sinusoïdal ?  El57Mesure dimpédanceOn considère le montage ci-dessous comportant un A.O., un multiplieur et un filtre passe-bas de fréquence de coupuref=100Hz. LA.O. est supposé idéal de gain infini ; il fonctionne en régime linéaire. Le générateur délivre " une tension sinusoïdaleu t=Ucos"t avecf= =10kHz. Les valeurs deUetRsont connues et fixées par ( )m( )m0  2# lexpérimentateur. ZPasse-bas 1°) Montrer que la mesure de la tensionspermet daccéder à la partie réelle deZ. R0 2°) Quelle fonction faudrait-il introduire -dans le montage afin que lon accède à la s(t)+ u(t)partie imaginaire deZ?
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El5Boucle à verrouillage de phase 8. Lors de la réception du signal modulé en amplitude, il est nécessaire (pour la détection synchrone) de produire le signale t=Esin"t .Cette opération, qui s'appellereconstitution de porteuse, repose sur l'emploi d'une 0( )0(0) boucle à verrouillage de phase (figure 1) comprenant les éléments suivants : v (t) v (t)fOCTv (t) MultiplieurdFiltre Fs
v (t) e
figure 1 : circuit de reconstitution de porteuse • un multiplieur de sortievd(t) réalisantv t=.v tKv t, d( )e( )s( ) • un filtre passe-bas notéFdont la transmittance vaut 1 pour tous les signaux de fréquence très inférieure àf0et de sortievf(t). • un oscillateur contrôlé en tension (OCT), délivrant un signal sinusoïdalvs(t) d'amplitude constanteEsde pulsationωs, proportionnelle à la tension de sortie du filtreF:ωs=ω0+Ksvf. La boucle est verrouillée lorsque la fréquence du signal incident est égale à celle du signal de sortie de l'oscillateur OCT. 1 -des tensions Pourve(t) =Esin (ω0t+ϕe) etvs(t) =Escos(ω0t+ϕs) , et en supposant que les dérivées temporelles deϕe etϕs sonttrès inférieures àω0, montrer que la tension de sortie du filtreF s'écrit v t=Ksin" #". Préciser l'expressi f( )f(e s)on deKf. 2 - Lorsquela boucle est verrouillée, quelle particularité présente la phase de la sortie par rapport à celle de l'entrée ? 3 -Quelle relation simple lievf(t) àϕeetϕspour un régime proche du verrouillage ? Quel intérêt voyez-vous au verrouillage de phase ? 4 -Le signalve(t) est modulé en amplitude :ve(t) =E[1+mcosΩt].sin(ω0t). Exprimer la tension de commande de l'OCT en supposant le régime proche du verrouillage. En déduire l'équation différentielle vérifiée parϕs. 5 -En déduire que le signal de sortie de l'OCT se fixe rapidement à la valeurvs(t) =Escos (ω0t) , qu'il y ait ou non une modulation d'amplitude sur la porteuse. 6 -contrôlé en tension alimente un filtre introduisant un déphasage L'oscillateurϕet une atténuationA àla fréquencef0. Quelle doit être la valeur deϕpour obtenir le signaleo(t)? 7 -Quelle est l'influence de l'atténuation introduite par ce dernier filtre ? 8 -Proposer un schéma synoptique complet du " détecteur synchrone " et conclure sur son intérêt. dϕs1 dϕs Rép :1k°) =0vf(t) ; 2°) vfk(t) =mVemVsmsin(ϕe(t) -ϕs(t)) ; 3°)+ k0Kϕs= k0Kϕe; dt 2dt ϕ e0 -t/τ-t/τ-t/τ ω 4°)ϕs(t) =ϕe0et(1-e )s=ω0+e ;5°)ϕs(t) = (at-τ) + aτe τ
PSI Brizeux  Mo El59. dulationde fréquence On admettra ici que les amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire. 1 1. Proposer un montage réalisant lintégration dun signal dentréex(t):y(t)="x(t)dtavecτ>0. $ # 2. Le filtre (D) ci-dessous (oùR'etρdésignent des résistances etC'une capacité) est réglé pour quev2(t) soit en retard de phase deπ/2 par rapport àv1(t). A quelle condition ceci est-il réalisé ? 3. Dansle montage (S),R1,R2,R3 etR4 désignentdes résistances. A quelle condition (S) fonctionne-t-il en soustracteur ? "R 3 "R 1 - -+!+! v 1v v v 2vs R' C'2R R 2 4 Filtre (S)Filtre (D) 4. Onassocie ces réseaux selon le schéma ci-dessous, dans lequel (S) est utilisé en soustracteur et où un multiplieur fournit en sortie une tensionK"y"vproportionnelle aux tensionsyetv1imposées à l'entrée. 1 x y Kyv 1 Intégrateur Multiplieur (R,C) v s Réseau (S) v v2 1 Réseau (D) On impose à l'entrée de l'ensemble les tensions :x t=x cos"tetv t=V cos"t( )0( )1( )1(1) De plus, on s'assure quey(t=0) = 0. Montrer que la tension de sortie de l'ensemble s'écrit : 2 2 v t=U1+"sin#t sin#t+$s( )0( )(1) où on exprimeraα,tanϕetU0en fonction des données et du tempst. 5. On suppose que le coefficientαest petit devant 1. Montrer qu'on peut mettrev tsous la forme approchée : s( ) v t"U sin#(t). On convient dappelerpulsation instantanéedu signal s( )0( )vs(t) la grandeur"t=d#dtt /. Justifier ( )( ) le nom de modulation de fréquence donné à ce type de modulation.
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