PSI Brizeux EXERCICES Électromagnétisme Equations de Maxwell Induction E21 Densité de charges dans les conducteurs On considère un conducteur ohmique de conductivité Comment évolue la densité de charge globale en un point du conducteur où on la suppose égale l'instant t Evaluer pour un conducteur comme le cuivre le temps caractéristique d'évolution Que se passe t il alors si l'on injecte une charge dans un conducteur primitivement neutre E22 Vecteur de Poynting et effet Joule Un fil conducteur cylindrique de rayon a de conductivité est parcouru par un courant de densité uniforme

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PSI Brizeux EXERCICES Électromagnétisme 2 Equations de Maxwell - Induction ? E21 Densité de charges dans les conducteurs On considère un conducteur ohmique de conductivité ?. Comment évolue la densité de charge globale ? en un point du conducteur où on la suppose égale à ?0 à l'instant t = 0 ? Evaluer pour un conducteur comme le cuivre le temps caractéristique d'évolution. Que se passe-t-il alors si l'on injecte une charge dans un conducteur primitivement neutre ? ? E22 Vecteur de Poynting et effet Joule Un fil conducteur cylindrique, de rayon a, de conductivité ?, est parcouru par un courant de densité uniforme ? j parallèle à son axe. 1°) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting sur la surface latérale du conducteur. Calculer alors le flux de ce vecteur à travers la surface d'une hauteur H de fil. Commenter. 2°) Le conducteur possède une conductivité thermique ?. La température sur son axe est T0. Déterminer sa température de surface ainsi que le flux thermique qui y est évacué. ? E23 Vecteur de Poynting dans un condensateur plan Un condensateur plan a des armatures circulaires de rayon R, distantes de e dans le vide. On néglige les effets de bord et on suppose qu'à tout instant, le champ électrique entre les armatures est uniforme. 1°) Déterminer le vecteur de Poynting et calculer son flux sortant à travers la surface latérale cylindrique de rayon R.

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Publié le : lundi 18 juin 2012
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 E X E R C I C E SÉ l e c t r o m a g n é t i s m e2Equations de Maxwell - Induction nsité de charges dans les conducteurs  E21De On considère un conducteur ohmique de conductivitéγ. Comment évolue la densité de chargeglobaleρen un point du conducteur où on la suppose égale àρ0à linstantt= 0 ? Evaluer pour un conducteur comme le cuivre le temps caractéristique dévolution. Que se passe-t-il alors si lon injecte une charge dans un conducteur primitivement neutre ? E2 Vecteurde Poynting et effet Joule 2Un fil conducteur cylindrique, de rayona, de conductivitéγ, est parcouru par un courant de densité uniformejparallèle à son axe. 1°) Déterminer lexpression du vecteur de Poynting sur la surface latérale du conducteur. Calculer alors le flux de ce vecteur à travers la surface dune hauteurHde fil. Commenter. 2°) Le conducteur possèdeune conductivité thermiqueλ.La température sur son axe estT0. Déterminer sa température de surface ainsi que le flux thermique qui y est évacué.  E23Vecteur de Poynting dans un condensateur plan Un condensateur plan a des armatures circulaires de rayonR, distantes deedans le vide. On néglige les effets de bord et on suppose quà tout instant, le champ électrique entre les armatures est uniforme. 1°) Déterminer le vecteur de Poynting et calculer son flux sortant à travers la surface latérale cylindrique de rayonR. 2°) Comparer ce flux à la dérivée, par rapport au temps, de l‘énergie électrostatique. Interpréter et justifier.  E24Champs et énergie dans un câble coaxial Entre les armatures d'un câble coaxial de rayons intérieuraet extérieurb, aux parois parfaitement conductrices (on admettra que dans un conducteur parfait le champ électromagnétique variable est identiquement nul) , règne un champ électromagnétique dont le vecteurE est de la forme : E=E(r)exp jkz" #teen coordonnées cylindriques; ( )r Le champ, lui, sera cherché sous la forme :B=B0(r)exp jkz" #tB ( ) eE(ruand) tend versrtend versa, calculerE(r). CalculerB(r). 1°) Sachant quune limiteE0q0 2°) Calculer les densités surfaciques de courant etde charge apparaissant sur les armatures du câble. Quelle est la relation traduisant la conservation locale de la charge ? 3°) Déterminer le vecteur de Poynting et la densité dénergie électromagnétique. Vérifier la relation de conservation de lénergie entre les armatures du câble. 4°) En utilisant lénergie localisée entre les armatures, montrer quon peut associer à ce câble une capacité et une inductance linéiques que lon déterminera en fonction des caractéristiques géométriques du câble. ka k2 22 Rép : E(r) = a/r E0; B0= E0;σ=ε0E0exp j(kz -ωt) ; js= E0exp j(kz -ωt) ;k c=ωetdivjs +∂σ/t = 0 rω ωµ0
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E2 Courantsde Foucault - Champ magnétique induit 5Un cylindre métallique de conductivitéγ, de rayonaet de longueurlest placé à lintérieur dun long solénoïde de même rayonale cylindre et possédant quen spirespar unité de longueur toutes parcourues par un courant alternatif de basse fréquence et dintensitéi(t) =I0cos(ωt). 1°) Déterminer la densité volumique de courant induit dans le cylindre en fonction deI0,n,γetω. 2°) En déduire le champ magnétique crée à lintérieur du cylindre par ce courant. Quelle hypothèse a permis de négliger ce champ pour la résolution de la première question ? E26Rotation dune tige par induction A l'intérieur d'un long solénoïde comportantnspires par unité de longueur, on place une tige isolante de longueur 2a, uniformément chargée avec la densité linéiqueλ. Latige, centrée sur l'axe du solénoïde, est mobile autour de celui-ci. Son moment d'inertie par rapport à cet axe sera notéJ. On fait passer le courant dans le solénoïde de 0 àI. Etudier le mouvement de la barre en négligeant les champs qu'il produit. 3 "µna 0 Rép : mouvement de rotation de pulsation :ωI= -3J  E2Entraînement par induction 7 Un cerceau isolant, de massem etrayona, uniformément chargé avec la densitéλ, est mobile sans frottement autour de l'axe orthogonal à son plan et passant par son centreO. Une petite spire, de même centre et de même axe, de rayonr<<a, est parcourue par un couranti(t) qui croît linéairement de 0 àIpendant le tempsτ.Etudier l'évolution de la vitesse angulaire du cerceau, initialement immobile.  E28Dissipation dénergie par courants de Foucault Un barreau conducteur (conductivitéσ) a la forme d'un cylindre de rayonaet de hauteurH. Il est soumis à un champ magnétique sinusoïdal parallèle à son axe. 1°) Déterminer la puissance moyenne dissipée dans le barreau en négligeant les phénomènes d'auto-induction. 2°) On remplace le système précédent parNbarreaux de même hauteur, de rayon plus faible, mais occupant globalement le même espace (on supposera queNest suffisamment grand pour négliger l'espace vide entre les barreaux) . Calculer la nouvelle puissance moyenne dissipée . Commenter. 2 $'1dB4 ="# Rép :P H&)a; P = P/N. 8%dt( E29Translation dune tige par induction Deux rails conducteurs horizontaux supportent deux tiges conductrices mobiles sans frottement qui se déplacent perpendiculairement aux rails. L'écartement des rails étanta, la masse de chaque tigem etleur résistanceR (seules résistances non négligeables du circuit) , l'ensemble est placé dans un champ magnétique uniforme et constant, orthogonal au plan des rails. On communique aux deux tiges des vitesses initialesv10etv20. Etudier leur mouvement ultérieur. tt "" "v+" v1v vv vv+vmr 20 0#10 2020 10#10 20 Rép : v1=e+ etv2=e+ ,avec"=2 2 2 2( aB )2
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Rails de E210 Laplace Deux rails conducteurs horizontaux de résistance négligeable supportent une tige conductrice de résistancer, mobile sans frottement et qui glisse perpendiculairement aux rails. L'écartement des rails esta, et la masse de la tigem. La tige est reliée en son milieu à un ressort de raideurk dontlautre extrémité est fixée et dont laxe est parallèle à celui des rails. Le circuit des rails est fermé sur une résistance extérieureRvariable. Le dispositif est soumis à laction dun champ magnétique permanentBvertical, permanent et uniforme. On écarte la tige de la quantitéa, puis on labandonne sans vitesse initiale. 1°) Ecrire léquation différentielle du mouvement de la tige. On exprimera le facteur de qualitéQ0 de loscillateur et sa pulsation propreω0en fonction des caractéristiques du problème. 2°) Pour quelle valeurR=R0de la résistance le retour de la tige à sa position déquilibre est-il atteint le plus rapidement ? 3°) Une source idéale de tension de f.é.m.e(t)=ecos!test maintenant branchée entre les deux rails. 0 Bae 0 On poseV=X!=. On définitVM commeétant lamplitude de la vitesse de la tige en régime 0 00 R km sinusoïdal forcé. Le graphe ci-dessous donne la représentation deV/Ven fonction de!/!. M00 Déduire de ce graphe, la valeur du facteur de qualité du système. VM/V0
 E211Le cadre résiste
L
x
ω/ω0
Un fil, supposé infini, est parcouru par un courant électriqueI. Un cadre métallique de hauteurHet de largeuraest positionné dans le même plan vertical que le fil. Le cadre peut se déplacer librement suivantx etse trouve initialement à une distanceLsupposée très grande devanta. On noteRla résistance électrique du cadre.
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1°) Quelle force doit exercer un opérateur sur le cadre pour le faire avancer à vitesse constanteV0selon laxe x? 2°) Lopérateur impose au cadre un mouvement sinusoïdal de faible amplitudeδ(très petite devantL) suivantx. Déterminer la puissance moyenne quil doit fournir pour entretenir ce mouvement. 3°) Lopérateur applique sur le cadre une force sinusoïdale damplitude constante suivantx. Déterminer lamplitude du mouvement du cadre en fonction de la pulsationω.  E212Percussion électromagnétique xUne barre cylindrique de rayonret de longueura, chargée uniformément enOvolume avec une charge totaleQ0, est suspendue par une de ses extrémités à un Bpoint fixeO. Cette barre peut tourner autour de laxe (Oy) sans frottements. = On applique un champ magnétiquationnai0 e uniforme et streBBey. On relieOla terre et la barre se décharge en une durée àτ(on suppose la chargeq(t) toujours uniformément répartie à linstantt). z1°) Expliquer qualitativement pourquoi la barre se met en mouvement. A quelle condition sura,getτpeut-on négliger le mouvement de la barre pendant la duréeτ? On supposera cette condition remplie par la suite. dQ 2°) Déterminer la densité de courantj(z,t) dans la barre en fonction deet des caractéristiques de la barre. dt 3°) Déterminer la vitesse angulaire acquise par la barre à linstantτ.  E213Freinage par induction Afin de freiner une luge en fin de piste, on imagine le dispositif suivant: on fixe un cadre métallique sous la luge et installe, en bout de piste (horizontale), un dispositif qui crée un champ magnétique stationnaire et perpendiculaire à la piste. Pour simplifier létude, on supposera le champ magnétique uniforme dans une zone de largeurdet dintensité B= 1,0 T. patins cadre
l
L
vue du dessus
La luge et son passager arrivent en fin de piste à une vitesseV0. Après avoir établi léquation différentielle vérifiée par la vitesse de lensemble, déterminer la diminution de vitesse à la sortie de la zone de champ magnétique. On distinguera les deux casL>detL<det on donnera le cas le plus favorable. -1 AvecV0 =30 m.s, combien de zones de champ magnétique identiques doit-on placer successivement pour arrêter complètement la luge ? Quelle distance doit séparer chaque zone pour optimiser le freinage en ayant une distance darrêt minimale ? On prendra: masse de la luge et de son passager:m= 100 kg ;l30 cm ; =L = d= 50 cm ;le cadre est en -8 2 cuivre de résistivitéρ= 1,7.10Ω.m, de sectionS.= 2,5 mm
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 E214Modifications dun mouvement pendulaire par induction Une tige conductriceOB, de masse négligeable et de longueur 2lporte enBune masse ponctuelleM. Elle fait partie O du circuit électrique suivant :Le milieu de la tigeAen est B contact électrique mobile sans frottement avec un conducteur circulaire et le circuit est fermé en incluant un dipôle électrocinétiqueX (X =R,L ouC ).L'ensemble est plongé X dans un champ magnétique uniforme et constant parallèle à l'axe de rotation de la tige. A Celle-ci étant écartée de sa position d'équilibre d'un petit angle"et lâchée sans vitesse initiale, étudier son mouvement 0 ultérieur suivant la nature deX. B 22 2 d"d"2gB l Rép : X = R :+2#$+$ "=0avecω0=et 2σω0= 0 0 2 dt2l16MR dt22 22 2 d"2B l2B l2 X = L :+# "=θ0avec :"= +"0 2 16ML16ML dt 2 d"222Mgl X = C+#'"== 0 avecω = 242 2 dt4Ml+B l C/4  E216Roues de Barlow Deux roues de Barlow identiques de massemde rayon eta sontplongées dans un champ magnétique uniformeBorthogonal à leur plan. Elles sont branchées en série avec un condensateurCet une inductanceL. ω At= 0, le condensateur est déchargé, une roue est immobile et l'autre lancée avec la vitesse angulaire0. Déterminer la charge du condensateur et les vitesses angulaires des deux roues en fonction du temps. B S 1S 2
2 2 2 22 21( Ba) Rép :d i/dt+Ωi = 0 avecΩ= + LC 2JL
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 E215Pendules couplés par induction Le dispositif étudié comporte deux pendules identiquesOA etOA. Chaque penduleOA estconstitué dune 12i barre de longueuraet de masse négligeable, et dune masselottemaccrochée enAi. Les deux masselottes glissent sans frottement sur une piste circulaire de centreOet de rayona, de part et dautre pour quil ny ait aucun contact entre elles et quelles puissent se croiser. Tous les éléments du dispositif sont conducteurs, et seuls les pendules ont une résistance électrique non nulle. r r Lensemble est plongé dans un champ magnétiqueB=B euniforme et constant. z Initialement, le penduleOA estimmobile dans sa position déquilibre, et le penduleOA estabandonné sans 12 vitesse initiale depuis la position"t=0=". 2( )0
1°) Décrire qualitativement lévolution du système. 2°) Déterminer les équations différentielles vérifiées par"et"dans le cas des petites oscillations ; en déduire 12 les équations différentielles vérifiées paru="+"etv=" #". 1 21 2 3°) Dans le cas dun amortissement faible (hypothèse que lon précisera), établir les expressions de"t et 1( ) "t. Représenter lallure de"tet"t. Conclusion. 2( )1( )2( ) 4°) Effectuer un bilan de puissance sur le système.
Les commentaires (1)
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Hanane2

mrc

lundi 11 août 2014 - 17:37