PSI Brizeux EXERCICES Électromagnétisme Régimes stationnaires E11 Prise de terre Déterminer la résistance d'un conducteur de résistivité uniforme compris entre deux sphères concentriques de rayons R1 et R2 Une prise de terre est formée d'une sphère conductrice de rayon r1 cm profondément enfouie dans le sol La résistance mesurée entre cette prise et le sol vaut kΩ En déduire la résistivité du sol E12 Capacité d'un condensateur cylindrique Déterminer la capacité d'un condensateur dont les armatures sont deux cylindres concentriques de rayons respectifs R1 et R2 portant les charges respectives Q et –Q Analyser le cas où R2 R1 e devient très faible devant R1 E13 Distributions uniformes de charges On considère deux matériaux plans parallèles de dimensions supposées infinies et orthogonaux l'axe Oz Les deux matériaux sont deux plaquettes fines portant deux densités surfaciques uniformes de charge S et S respectivement Déterminer la force par unité de surface s'exerçant sur chaque plaquette

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PSI Brizeux EXERCICES Électromagnétisme 1 Régimes stationnaires ? E11 Prise de terre Déterminer la résistance d'un conducteur de résistivité uniforme ?, compris entre deux sphères concentriques de rayons R1 et R2. Une prise de terre est formée d'une sphère conductrice de rayon r1 = 5 cm, profondément enfouie dans le sol. La résistance mesurée entre cette prise et le sol vaut 1 kΩ. En déduire la résistivité du sol. ? E12 Capacité d'un condensateur cylindrique Déterminer la capacité d'un condensateur dont les armatures sont deux cylindres concentriques de rayons respectifs R1 et R2 portant les charges respectives Q et –Q. Analyser le cas où R2- R1 = e devient très faible devant R1 ? ? E13 Distributions uniformes de charges. On considère deux matériaux plans parallèles de dimensions supposées infinies et orthogonaux à l'axe Oz. 1°) Les deux matériaux sont deux plaquettes fines portant deux densités surfaciques uniformes de charge ?1 = ?S et ?2 = ? ?S respectivement. Déterminer la force par unité de surface s'exerçant sur chaque plaquette. z O (1) (2) y z O (1) (2) y 2°) Les deux matériaux sont deux plaquettes épaisses portant deux densités volumiques uniformes de charge ?1= ?V et ?2 = ? ?V respectivement. On note a l'épaisseur de chaque plaquette et d la distance qui les sépare.

  • centre du solénoïde

  • axe oz

  • symétrie sphérique

  • courants uniformes

  • courant

  • distribution de charge

  • solénoïde fini

  • champ magnétique

  • particule colloïdale

  • champ électrostatique


Publié le : lundi 18 juin 2012
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 E X E R C I C E SÉ l e c t r o m a g n é t i s m e1Régimes stationnaires E1 Prisede terre 1Déterminer la résistance d'un conducteur de résistivité uniformeρ, compris entre deux sphères concentriques de rayonsR1 etR2. Une prise de terre est formée d'une sphère conductrice de rayon r= 5 cm, profondément enfouie dans le sol. La résistance mesurée entre cette prise et le sol vaut 1 kΩ. 1 En déduire la résistivité du sol. E1 ncondensateur cylindrique 2du Capacité Déterminer la capacité dun condensateur dont les armatures sont deux cylindres concentriques de rayons respectifs R1et R2portant les charges respectives Q et –Q. Analyser le cas où R2- R1= e devient très faible devant R1?  E13 Distributions uniformes de charges. On considère deux matériaux plans parallèles de dimensions supposées infinies et orthogonaux à laxe Oz. 1°) Les deux matériaux sont deux plaquettes fines portant deux densités surfaciques uniformes de chargeρ1= ρSetρ2=ρS respectivement. Déterminer la force par unité de surface sexerçant sur chaque plaquette. yy
zz O O (1) (1) (2)(2) 2°) Les deux matériaux sont deux plaquettes épaisses portant deux densités volumiques uniformes de charge ρ1=ρV etρ2 =ρV respectivement. Onnotea lépaisseurde chaque plaquette etddistance qui les sépare. la Déterminer le champ électrique total créé à lintérieur dune plaquette. En déduire la force par unité de surface sexerçant sur chaque plaquette. Comparer lexpression obtenue à celle de la question précédente.E unedistributio  13Champ dn à symétrie sphérique On considère une distribution de charges à symétrie sphérique, comprise entre deux sphères concentriques, de  entreles deux sphères, est de la formeE=a r"R urayons R1 etR2. Le champEpar cette distribution, créé(1)r. Déterminer, en fonction deR1,R2,a, le champ et le potentiel créés en tout point de l'espace par cette distribution, ainsi que la charge totale de celle-ci. Donner l'allure des fonctionsE(r) etV(r). Que se passe-t-il siR2-R1=edevient très faible devantR1?
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 E14Champ et potentiel é.s. crées par une distribution à symétrie sphérique On considère une distribution de charges à symétrie sphérique, concentrée dans une sphère de rayonR, R avec la densitéρ =ρ. Déterminer le champ et le potentiel créés en tout point de l'espace par cette 0 r distribution. 233 "Rρ0Rρ0R"Rρ0R 00 Rép : rR :E=er. Pour r et V = -r +R :E=er.et V = ε 2ε022ε0r 0 2# 02# r 0  E15Champ électrostatique à lintérieur dune cavité Dans une sphère de rayonR, uniformément chargée avec la densité volumiqueρ, on a creusé une cavité e centreOrayonR, entiè sphérique d1, de1rement contenue dans la sphère de rayonR. Déterminer le champ à l'intérieur de la cavité. " Rép :E=O O1 2 3# 0  E16Anomalie de Bouguer Toute hétérogénéité dans le sous-sol apporte un écart àg0. On appelle anomalie de Bouguer la valeur :ΔgB= gmesurég0. La recherche de dômes de sel reste une façon de détecter les champs pétrolifères. -3 a - Modélisons un dôme de sel par une boule de rayonR, de densitéρ12200 kg.m =noyée dans un sol -3 homogène constitué de sédiments de densitéρ2= 2400 kg.met située à une profondeurd. Déterminer lanomalie de Bouguer verticaleΔgz crée; 0) de la surface; 0par ce dôme en un point M(x terrestre. z
d
0
x
b -Donner lallure deΔgzen fonction dex. c - Une étude menée au dessus dun dôme de sel au Texas a permis les relevés gravimétriques suivants (les -5 -2 courbes représentées sont les courbes disoanomalie en milligal (1 milligal = 10m.s )).En utilisant le modèle précédent (forme, densités), estimerdetR. E1 Actionssubies par un dipôle dans un champ extérieur 7Un dipôlepglisser parallèlement à l'axe d'une circonférence de rayon peuta, uniformément chargée avec la densitéλ. Déterminer les positions d'équilibre du dipôle et discuter leur stabilité.
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 E18Mouvement dune charge au voisinage dun équilibre Une sphère de centreO etde rayonR porteune charge -Q (Q>0 ) uniformément répartie en volume. Cette sphère est plongée dans un champ électriE=E u que uniforme0 0(Eo>0) colinéaire à laxe Ox. x 1°) Déterminer le champ résultantEen tout point de laxe Ox. Tracer lalluredu graphe deEen fonction dex. 2°) Une particule matérielle ponctuelle, de massemde charge + etqdéplace au sein du système précédent se (elle peut se trouver à lintérieur de la sphère) sa présence ne modifie pas le champE. Montrer quil y a deux positions déquilibre sur laxe Oxpour la particule à condition queEovérifie une inégalité. Déterminer la position déquilibre stableA. 3°) On place la particule sur laxe Oxà une distancea (R>a0) de sa position déquilibre stable et on lui > communique à linstantt= 0 une vitessevoselon Oyde telle façon que la particule reste dans la sphère. Quelle est la nature de la trajectoire ? A quelle condition est-elle circulaire ?  E19Recherche dune distribution responsable dun champ électrique Une répartition de charges à symétrie sphérique crée en tout point de l'espace le potentiel $r / a q e  V(r)= . 4"#r 0 Retrouver la répartition de charges responsable de ce potentiel et le champ créé en tout point de l'espace. Le théorème de Gauss est-il respecté ? Que peut-on en conclure ? Que pourrait représenter cette distribution de charges ? q r Rép :ρ(r) = -2exp(- ).; non ; +q au centre. 4πaa r  E1Cylindre conducteur dans un champ extérieur 10Un cylindre conducteur , de rayonRde longueur infinie, est placé dans un champ extérieur etE uniforme 0 orthogonal à laxe du cylindre. 1°) Montrer que le potentiel créé en tout point de lespace peut être cherché sous la formeV(r,θ). cos" 2°) On propose une fonction de la forme :,V r"=#Arcos"+B( ) r Montrer que ce potentiel convient bien au problème et déterminer les constantesAetB. 3°) Donner lallure des lignes de champ et des équipotentielles. 4°) Interpréter la partie enrcosθdu potentiel. Montrer que lautre partie serait identique au potentiel créé par deux fils parallèles très proches, portant des densités linéiques de charges opposées. Justifier alors le nom de dipôle bidimensionnel» pour cette distribution et définir un moment dipolaire linéique associé. 2 2 #V1#V1#V On donne, en coordonnées cylindriques :"V= ++. 2 22 r#r # #$ r r  E111Grille métallique dans un condensateur Quand le champ électrique dépasse une certaine valeur appelée champ disruptifEd, lair devient conducteur et sionise. -1 On prendraEd= 3,0 MV.m 1.Quelle différence de potentiel faut-il appliquer aux bornes dun condensateur plan dépaisseure? Onpour provoquer un éclair entre les armatures= 10 cm négligera les effets de bord.
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En introduisant une grille formée de cylindres métalliques parallèles entre les armatures, on constate que lionisation se produit pour une différence de potentiel plus faible. 2.Expliquer qualitativement que la présence dun cylindre métallique placé dans un champ électrique uniforme E0augmente localement le champ électrique. Le diamètre du cylindre sera pris très faible devante. 3.En cherchant le potentiel électrique sous la formeV=f rg!(coordonnées cylindriques) et en exploitant les conditions aux limites, déterminer lendroit où le champ électrique est maximal. 4.Pour quelle différence de potentiel lionisation de lair se produit-elle ? 2 Indication : pour résoudre une équation différentielle du type :x y"+ya x'+b y=0(oùaetbsont des constantes), on r cherchera des solutionsy xde la formex.  E112Interactions électrostatiques !8 -6 Une solution contient des particules sphériques (particules colloïdales) de rayonR"10 m10 à, de centreO, de chargeQainsi que des ions de charges±econsidérés ponctuels. Cette solution est appelée solution colloïdale. Autour de la particule, les ions se répartissent avec des densités volumiques & 'eV(r)# N(r)=Nexp$ ! +0pour les cations k T %B" &+eV(r)# '( )=0$ !pour les anions. N rNexp k T %B" N0est une constante dépendant du nombre total dions en solution,V(r) est le potentiel électrique à une distance !23 -1 rdeO,Test la température du milieu etk=1,38.10 J.Kest la constante de Boltzmann. B Dans leau, la seule modification des équations de lélectrostatique par rapport à celles du vide est le !!. remplacemenr t de0par=!0! eV(r)<k T On supposera que<B. 1°) De lécriture de deux relations entreV(r) et la densité volumique de chargesρ(r), déduire le potentiel électriqueV(r) et le champ électriqueEautour dune particule colloïdale. 2°) Comparer linteraction entre deux particules colloïdales en labsence ou en présence dions. 3°) La stabilité de la solution colloïdale est assurée par la répulsion électrostatique des particules colloïdales. Montrer quun excès dions (ajout de sel) est néfaste à cette stabilité. 2 1d&2dV(r)#1d(r V(r)) N.B. :$r!=2 2 dr dr r r% "dr  E113Champ magnétique et potentiel crées par une distribution de courant. Entre deux plans parallèles infinis distants de 2aexiste une distribution de courants volumique uniforme, de vecteurjlui-même parallèle aux plans. Déterminer le champ magnétique et le potentiel-vecteur en tout point de l'espace. Que se passe-t-il quandatend vers 0, le produitj.arestant fini ? E1 Champmagnétique dans une cavité 14Deux cylindres infinis identiques, daxes parallèles distants deDau diamètre inférieuredchaque de cylindre, sont parcourus par des courants uniformes et opposés. Déterminer le champ magnétique dans la région dintersection des deux cylindres.
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 E115Distributions uniformes de courant. On considère deux conducteurs plans parallèles de dimensions supposées infinies etorthogonaux à laxe Oz. 1°) Les deux conducteurs sont parcourus par deux densités surfaciques uniformes de courant j=j etj="jrespectivement. Déterminer la force par unité de surface sexerçant sur chaque conducteur. 1s2s yy zz O O (1) (1) (2)(2) 2°) Les deux conducteurs sont parcourus par deux densités volumiques uniformes de courant j=j etj="jrespectivement. On notealépaisseur de chaque conducteur etdla distance qui les sépare. 1v2v Déterminer le champ magnétique total créé à lintérieur dun conducteur. En déduire la force par unité de surface sexerçant sur chaque conducteur. Comparer lexpression obtenue à celle de la question précédente. E1Champ magnétique à lintérieur dun solénoïde fini 16 Un solénoïde circulaire, de longueurL, comporteNspires de rayonaparcourues parI. Déterminer le champ magnétique créé en un point de l'axe du solénoïde, en fonction des angles sous lesquels, de ce point, on voit les deux spires extrêmes du solénoïde. En déduire les valeurs du champ au centre et à une extrémité du solénoïde. Une ligne de champ passe, au centre du solénoïde, à une distancer0de l'axe. A quelle distance de l'axe se retrouve-t-elle à l'extrémité ? (On pourra supposer la longueurLgrande devanta).  E117Champ magnétique en dehors de laxe dune spire Déterminer le champ magnétique quand on s'écarte d'une petite distancerl'axe d'une spire de de  rayonaparcourue parI. 3 2 µI a3µIa rz 0 0 Rép :B=e+ez r 3/2 5/2 2a 2 22 2 a+z4a+z ( )( ) E1 Champmagnétique créé par une nappe de courant 18Lespace est divisé en deux régions : . - dans toute la régionx> 0, règne une courant dont le vecteurjest de la formej=j0exp(-x/a)ey - dans toute la régionx< 0, le courant est nul. Déterminer le champBet le potentiel -vecteur associéen tout point de lespace.Rép : : -a < z < a :B= µjz ex. Pour z > a :B= µjaex. Pour z <-a :B="µjaex000 222 µjzµjaµja 000 -a < z < a :A="ey. Pour z > a :A="µjzaey+ey. Pour z <-a :A= µjzaey+ey; js =2ja et 00 222 discontinuité deB.
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 E119Recherche dune distribution responsable dun champ magnétique Un champBest défini en coordonnées cylindriques par : 3 "%"%r r - 0r<aB=B exp(u)0$'$'#a&#a&a -r>aB=2B u"0 r Déterminer les courants à l'origine de ce champ. Calculer l'intensitéIcourant traversant un plan du z= cste. Que retrouve-t-on ? #3&),B B2r r0 0 =Rép : r < a :j=%4r" (exp+" .ez;jsez 3 µ µa%a(*a-0 0$ ' E120Actions entre spires parcourues par des courantsa i Déterminer la force subie par la petite spire de la h part de la grande spire. On supposera quea<<h eta<<R. R
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