PSI Brizeux PHYSIQUE DES ONDES EXERCICES PO11 Echelle de perroquet On considère une chaîne infinie de pendules de torsion constitués de masses m accrochées aux extrémités d'une tige qu'on supposera de masse nulle et de longueur 2l couplés par un fil de constante de torsion C Note le moment du couple de rappel exercé par un fil de constante de torsion C sur un pendule vaut

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PSI Brizeux PHYSIQUE DES ONDES EXERCICES 1 ? PO11 : Echelle de perroquet On considère une chaîne infinie de pendules de torsion (constitués de 2 masses m accrochées aux extrémités d'une tige qu'on supposera de masse nulle et de longueur 2l) couplés par un fil de constante de torsion C. Note : le moment du couple de rappel exercé par un fil de constante de torsion C sur un pendule vaut : ? ? = ?C? , si ? est l'angle dont a tourné le pendule par rapport à sa position d'équilibre. Au repos, les angles de torsion sont tous nuls. Hors équilibre, on appelle ?k l'angle dont a tourné le kième pendule. ? fil de torsion 1°) Déterminer l'équation différentielle vérifiée par ?k . 2°) En faisant l'approximation des milieux continus, on pourra poser ?k = ?(z,t). Montrer que l'équation différentielle vérifiée par ?(z,t) vérifie une équation de d'Alembert . 3°) De quelle forme sont les solutions générales de cette équation ? 4°) On suppose que les deux extrémités de l'échelle sont fixes. Montrer qu'il est possible de trouver des solutions à cette équation de la forme ?(z,t) = f(z)g(t). Déterminer les fonctions f et g qui conviennent et faire apparaître les modes propres de l'échelle.

  • air dans les conditions de température et de pression ordinaires

  • tension horizontale

  • masse nulle

  • ligne electrique

  • onde

  • chaîne d'oscillateurs unidimensionnelle

  • equation différentielle

  • plateau mince de masse surfacique


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : cpge-brizeux.fr
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P H Y S I Q U ED E SO N D E SEXERCICES1PO11: Echelle de perroquet On considère une chaîne infinie de pendules de torsion (constitués de 2 massesmaux accrochées extrémités dune tige quon supposera de masse nulle et de longueur 2l) couplés par un fil de constante de torsionC. Note :moment du couple de rappel exercé par un fil de le constante de torsionC surun pendule vaut:"=#C$, siθ est langle dont a tourné le pendule par rapport à sa position fil de torsio déquilibre. Au repos, les angles de torsion sont tous nuls. ième Hors équilibre, on appelleθk langledont a tourné le k pendule. 1°)Déterminer léquation différentielle vérifiée parθk. 2°) Enfaisant lapproximation des milieux continus, on pourra poserθk =θ(z,t). Montrer que léquation différentielle vérifiée parθ(z,t) vérifie une équation de dAlembert . 3°)De quelle forme sont les solutions générales de cette équation ? 4°)On suppose que les deux extrémités de léchelle sont fixes. Montrer quil est possible de trouver des solutions à cette équation de la formeθ(z,t) =f(z)g(t). Déterminer les fonctionsfetgqui conviennent et faire apparaître les modes propres de léchelle. z
a
m
m
l Lextrémité basse peut être excitée à différentes fréquences réglables à laide dun petit moteur. Lors de manipulations avec léchelle de perroquet dont lextrémité supérieure est bloquée, on trouve les résultats suivants : 2 fuseaux 1/2 pour 15 hz ; 3 fuseaux 1/2 pour 20 Hz ; 4 fuseaux 1/2 pour 26 Hz. 5°)Montrer que ces résultats sont cohérents entre eux 6°)auraient les fréquences des premiers modes propres si lextrémité supérieure de léchelle Quelles avait été laissée libre ?
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PO1 Réflexionet transmission dune onde dans une corde tendue 2Une corde, tendue par une tension horizontale F, sétend de -à +. Elle se compose en fait de deux demi-cordes, de masses linéiquesµ1etµ2, sétendant respectivement de -à 0 et de 0 à +. Etudier le comportement dune onde sinusoïdale provenant de -. PO1 Réflexionet transmission dune onde dans une chaîne datomes 3On considère la chaîne linéaire illimitée représentée sur la figure ci-dessous, composée d'atomes identiques de masse m. A l'équilibre, les atomes, disposés suivant un axeOx, sont équidistants dune longueur a au repos; les déplacements des atomes, petits, sont désignés, à linstant t, en valeur algébrique, et pour l'atome initialement au repos à labscisse x par : X(x,t). x x x- x+a déplacements par rappor à léquilibre X(x-a,t) X(x,t)X(x+a,t) On admet que chaque atome n'interagit qu'avec ses deux plus proches voisins auxquels il est lié élastiquement: il est soumis de la part de ces atomes à une force de rappel proportionnelle aux variations de longueur des liaisons correspondantes. On désigne parαla constante de proportionnalité (α> 0).  1- Déterminer léquation aux dérivées partielles vérifiée par X(x,t) en supposant a très faible devant x.  2- On cherche des solutions de cette équation correspondant, quand elles existent, à des ondes mécaniques longitudinales de pulsationω, caractérisées par: X( x, t )=X expj("t#kx)aveck réel m  Déterminerla relation entre k etω. 3 - On considère une chaîne doscillateurs unidimensionnelle (α, m, a) sétendant de -x = 0, à identique à la précédente. De x = 0 à +, on retrouve une chaîne analogue, mais de caractéristiques différentes : (β, M, a), les deux chaînes étant reliées comme lindique la figure ci-dessous : m mM MM M m m ... ... " " ! " ! !! " x=0 Une onde sinusoïdale de pulsationωpropage le long de la chaîne, provenant de - se: X (x, t )=X expj("t#kx ). Etudier son comportement quand elle arrive en x = 0. On déterminera r et t i 0i les cœfficients de réflexion et de transmission de londe en x = 0. 4 -On considère une chaîne doscillateurs unidimensionnelle (α, m, a) sétendant de - à+, identique à la précédente. En x = 0 se trouve cette fois une impureté de masse M. " m m m m m m m m ... ... !!!! ! ! !! x=0 Une onde sinusoïdale de pulsationωse propage le long de la chaîne, provenant de -. Même question
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PO1 4Ligne fermée sur une impédance quelconque Dans une ligne électrique sétendant de x = 0 à x = d, modélisée par une suite continue doscillateurs électriques (capacité linéïque Clinductance linéïque L etl), on étudie la propagation dune onde de courant sinusoïdale dexpression ii(x, t) = Iiexp j(ωt - kx). x x+dx Lldx i(x,t) i(x+dx,t)
V(x,t)
C dx l
V(x+dx,t)
i(x,t) i(x+dx,t) 1°)Retrouver léquation de propagation vérifiée par iiet V(x, t)i(x,t). Quelle est la relation entre londe de courant et londe de tension incidente? Déterminerla relation entre k etωlexpression de londe et L l associée. On in= tension Vi(x, t)troduiraZc. C l 2°)On considère une deuxième onde de courant se propageant en sens inverse, de la forme ir(x, t ) = Irexp j(ωt+kx). Déterminer londe de tension associée. La deuxième onde est en fait une onde  réfléchie » due à la réflexion de londe  incidente » à lextrémité de la ligne, à labscisse d. A cette abscisse, la ligne est en effet fermée sur un dipôle R, L, C série dont limpédance sera notée Z(d).I r 3°)Déterminer en fonction de Z(d), Zcet de d le rapport :r=I i V(0, t ) 4°)En déduire l'impédance ramenée à lentrée de la ligne :Z(0)=, rapport de la tension totale (liée i(0, t ) aux superpositions des ondes aller et retour) sur lintensité totale. 5°)ligne est alimentée par une source de tension de fem Uexp(j Laωt). Montrer quon peut alors complètement déterminer i(x, t) et V(x, t).6°)A quelle condition peut-on annuler londe réfléchie ? Obtenir une onde stationnaire ? PO15Superposition dondes acoustiques dans un tuyau sonore – Impédance ramenée. Dans un tuyau cylindrique sonore de section S, rempli d'un fluide caractérisé par le coefficientχSet les valeurs ρ P0et0de la pression et de la masse volumique au repos, on étudie la propagation d'une onde acoustique plane sinusoïdale, définie par l'élongation complexe : yi(x, t) = aiexp j(ωt - kx). ω 1) Déterminerla relation entre k et, les expressions de la surpression pi(x, t) et de la vitesse  vi(x, t) et limpédance acoustique associée. 2) Onconsidère une seconde onde plane se propageant en sens inverse, de la forme ω  yr(x, t) = art + kx).exp j(Déterminer la surpression pret la vitesse vrassociées. 3) L'onde "négative" est en fait une onde retour due à la réflexion de l'onde "positive" sur le fond du tuyau à labscisse d. Ce fond est formé d'une membrane élastique schématisée par un piston de masse m, soumis, en plus dy des forces de pression, à une force de rappel -qy (d, t) et une force de frottement fluide - f. De l'autre côté de la dt membrane s'exerce la pression P0. Déterminer alors l'impédance Z(d) associée à la membrane et en déduire l'impédance ramenée à lentrée Z(0).
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5) L'ondealler est elle-même produite , à l'abscisse x = 0, par une membrane identique à la précédente et soumise en plus des forces déjà citées à une force d'excitationF = F0exp(jωt). Déterminer, en régime permanent, l'élongation y(0, t) en fonction de F0,ω, Z(0), Z(d). 6) Oncherche à annuler l'onde retour. Déterminer les conditions d'obtention de ce régime et en déduire les élongations permanentes y(0, t) et y(d, t). 7) Oncherche au contraire à obtenir une onde stationnaire de la forme y(x,t) = a coskxexp(jωt). Reprendre alors la question précédente.  PO 16dans une chaîne doscillateurs Impureté On considère une chaîne doscillateurs unidimensionnelle ( k, m, a, avec ka << 1 ) sétendant de -à +. En x = 0, une masse m est remplacée par une masse M. Une onde sinusoïdale de pulsationωpropage le long de la chaîne, provenant de - se. Etudier son comportement quand elle arrive en x = 0. Examiner les cas particuliers M = m et M ->. PO1 7Inhomogénéité dans une corde Une corde, tendue par une tension horizontale F, sétend de -à +. En x = 0 un  plomb » de masse M est placé sur la corde. Etudier le comportement dune onde sinusoïdale provenant de-Impédance parasite dans une ligne électrique PO1 8Une ligne électrique, dimpédance caractéristique ZC, sétend de -+ à. On place en x = 0 une impédance Z0en parallèle sur la ligne. . Etudier le comportement dune onde de tension et courant sinusoïdale provenant de - quandelle arrive en x = 0. On étudiera notamment le cas où Z0= ZC. Quels cas particuliers peut-on retrouver ?  PO19Onde de surface. On s'intéresse aux ondes de surface qui se propagent sur l'eau. Le fluide est considéré comme idéal.On considère que l'eau, incompressible, ne subit aucun courant permanent et que le déplacement des ondes se fait dans un bassin de profondeur constante H (le fond est plat). La pression atmosphérique est Po= 1 bar.
1°)l'équation du mouvement d'une particule fluide lors du déplacement de l'eau au passage de Donner l'onde. La simplifier en ne conservant que les termes d'ordre un. 2°)On va approcher la pression dans le fluide en l'assimilant à la pression hydrostatique. Déterminer P en fonction de z et h. 3°)Dans le cadre de la linéarisation, on ne s'intéresse qu'au terme de vitesse suivant l'axe Oy : v . Déduire y de ce qui précède une relation différentielle entre vet h. Quelle est la dépendance de ven z ? y y
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4°)Considérons une colonne fixe comprise entre y et y + dy sur une largeurlen x. Faire un bilan sur la colonne de matière pendant une durée dt et en déduire une nouvelle relation différentielle entre vyet h. 5°)Déduire de ce qui précède les équations d'évolution de vy eth en fonction de y et t. Déterminer C la célérité des ondes qui se propagent dans le cadre de ce modèle. Donner la forme générale des solutions de l'équation en h (on ne demande pas la démonstration). Interpréter les termes de cette solution. 6°)supposant que l'expression de C reste valable, expliquer qualitativement pourquoi les vagues se En brisent en arrivant près dune plage. On considère une onde incidente qui se propage dans le sens des y croissants, sinusoïdale de période T et d'amplitude apour h. i Numériquement, on prend H = 5 m, a= 0,50 m et T = 6 s. i 7°)(y,t). Quelle est la valeur de l'amplitude de la vitesse dans l'onde incidente ? Queet vh (y,t) Donner i iy vaut la longueur d'ondeλ? 8°)Estimer la vitesse verticale obtenue ici et la comparer à v . Conclure. y 9°)arrive sur une jetée orientée suivant Ox, située en y = 0 et s'y réfléchit.L'onde a -Quelles sont les conditions aux limites du système qui se développent sur la jetée ? b -(y,t).En déduire l'expression de l'onde réfléchie pour h (y,t) et v r ry c -Donner alors l'expression générale de h(y,t) et v (y,t) autour de la jetée. Comment nomme-t-on ce type y d'onde et pourquoi ? PO1 10Acoustique dun mur Un tuyau cylindrique très long (daxe x) contient de lair dans les conditions de température et de pression ordinaires (masse volumique"). 0 On place, en x = 0, un plateau mincede masse surfacique uniformeσorthogonalement à la section du tuyau. Ce plateau est susceptible de se déplacer sous leffet des ondes acoustiques qui peuvent se propager. Une onde acoustique plane progressive damplitudeaarrive vers le plateau et donne naissance à une i onde réfléchie et une onde transmise. Le plateau acquiert alors un mouvement sinusoïdal forcé de vitesse : "(0, t )=a cos#t. 0 1°) Déterminer les amplitudes complexesaetades ondes transmise et réfléchie en fonction dea,"tri et des différentes grandeurs introduites précédemment. 2°) La membrane joue un rôle de filtre de fréquences. Quelle est la nature de ce filtre et quelle est sa pulsation de coupure à -3dB (appelée"par la suite) ? 0 3°) Exprimer la longueur donde de coupure" enfonction de", de lépaisseur d et de la masse 00 volumique"du plateau. d -3 4°) La plateau est en béton ("= 2300 kg.m). Calculer lépaisseur d pour obtenir un affaiblissement d de 50 dB à 300 Hz. En déduire". 0 Quelles sont, en dB, les affaiblissements à 100 Hz à 500 Hz ? Conclure sur latténuation du son entre deux logements voisins pour un son grave ou un son aïgu.
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