PSI Jeudi Décembre MATHEMATIQUES

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PSI Jeudi 9 Décembre 2010 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Suites et séries de fonctions Exercice 1 : Etudier la convergence simple puis uniforme des suites de fonctions sui- vantes : 1. ?n ? IN?,?x ? IR, fn(x) = n2x2 ? sin2(xnx) x2 + n2 . 2. ?n ? IN,?x ? IR, fn(x) = nx2e?nx. 3. ?n ? IN,?x ? IR+, fn(x) = x 1 + nx . 4. ?n ? IN,?x ? IR+, fn(x) = 1 1 + nx . 5. ?n ? IN,?x ? IR+, fn(x) = ln(1 + nx) 1 + nx . 6. ?n ≥ 2, fn(x) = ? ? ? x √ n pour x ? [0, 1n [ n(x? 1) 1? n √ n pour x ? [ 1n , 1] . Exercice 2 : Etudier la convergence simple , uniforme puis normale des séries de fonctions ∑ n fn suivantes : 1. fn : IR ? IR, fn(x) = 1 n2 (xn + (1? x)n). 2. fn : [0, 1] ? IR, fn(x) = 1 n2 (x2n ? x2n+1).

  • classe c1 sur ir

  • allure de la représentation graphique de ?

  • ir ?

  • convergence uniforme de ∑

  • feuille d'exercices suites


Publié le : mercredi 1 décembre 2010
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Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 3
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PSI MATHEMATIQUES
Jeudi 9 DÉcembre 2010
Feuille d’Exercices Suites et sÉries de fonctions
Exercice 1: Etudier la convergence simple puis uniforme des suites de fonctions sui-vantes : 2 22 n xsin (xnx) 1.nIN ,x,RIfn(x) =. 2 2 x+n 2nx 2.nIN,xfIR,n(x) =nx e. x + 3.nIN,xIR ,fn(x) =. 1 +nx 1 + 4.nIN,xfIR ,n(x) =. 1 +nx ln(1 +nx) + 5.nIN,xfIR ,n(x) =. 1 +nx 1 x npourx[0,[ n 6.n2, fn(x) =n(x1)1. pourx[,1] n 1n n Exercice 2: Etudier la convergence simple , uniforme puis normale des sÉries de fonctions P fnsuivantes : n 1 n n 1.fn:IRfR,In(x) =(x+ (1x) ). 2 n 1 2n2n+1 2.fn: [0,1],fIRn(x() =xx). 2 n2x n 3.fn:IR+I,Rfn(x) =x e. n (1)x 2n 4.fn:IRf,RIn(x((1 +) =x) ). 2 n Exercice 3: (ENSIIE 2009) 1. Montrerque, pour toutnIN,fndÉfinie parf1(x) = 0etnfIN ,n+1(x) = R p x 2 21 fn(t) +t dtest de classeCsurIR. 0 n+1 x + 2. Montrerque :xIR,0fn+1(x)fn(x). (n+ 1)! 3. EndÉduire que la suite(fn)nadmet une limite simplefpuis quefest continue sur IR.
n P(1) + Exercice 4: ConsidÉrons la sÉrie de fonctionsundÉfinie surIRpar :un(x) =. 2 xn+n X + 1. Montrerqueunne converge pas normalement surIR. n1 X 2. Montrerque, en revanche,unconverge normalement sur tout segment deIR. + n1 X 3. Y-a-t-ilconvergence uniforme deun? n1
1
Exercice 5:(Centrale 2009) Etudier les convergences simple et uniforme de la sÉrie de Z (n+1)πxt esin(t) fonctionsundÉfinies surIR+parun(x) =dt. t Exercice 6:On considÈre la fonction dÉfinie par : +X 1 f(x) =arctan(nx) 2 n n=1 1. Donner son domaine de dÉfinition et de continuitÉ. 2. Etudier ses limites aux bornes du domaine. 3. DÉterminer la monotonie def. 4. Donner un Équivalent en+def(x)limf(x). x++n X a Exercice 7: SoitaIR,|a|<1etS: [0,1[. n 1x n=1 1. Montrer queSest continue sur[0,1[. 2. DÉterminerlim(1x)S(x)et en dÉduire un Équivalent deS(x) x1 quandxtend vers 1. +  X 2 x n Exercice 8: DÉterminerlim (1) ln1 +. 2 x+n(1 +x) n=1 Exercice 9: On considÈre les deux fonctions suivantes : +X 1 ζ:x7 x n n=1 +n+1 X (1) µ:x7x n n=1 1. Donner leur domaine de dÉfinition. 2. Montrer qu’elles sont continues sur leur domaine de dÉfinition. 3. Montrer que les sÉries de fonctions dÉfinissantζetµne convergent pas uniformÉment sur leur domaine de dÉfinition. 1x 4. Montrer que :x >1, µ(x) = (12 )ζ(x).(regrouper les termes pairs et impairs dans les sommes partielles). 5. Calculerµ(1). 6. a) Montrer que : +  X 1 1 n+1 x >0,1 + 2µ(x() =1)x x n(n+ 1) n=1 b) En dÉduire : 1 1 x >0,µ(x)1x+1 2 2 c) En dÉduirelimµ(x). + x0 7. Montrer queζest dÉcroissante sur son domaine de dÉfinition. 8. Donnerlimµ(x)etlimζ(x). x+x+9. a) Justifier que : Z Z n+1n dt1dt x >1,n2,≤ ≤ x xx nt nn1t 2
1 1 b) En dÉduire :x >1,ζ(x)1 +. x1x1 + c) En dÉduire un Équivalent deζ(x)quandxtend vers1. d) Retrouver ce rÉsultat en utilisant la relation du 4. 10. Donner l’allure de la reprÉsentation graphique deζ.
Exercice 10: Soitf: [0,1]IKcontinue telle quef(0) = 0.Montrer qu’il existe une suite(Pn)nINde polynÔmes telle que la suite(x7xPn(x))nINconverge uniformÉment versfsur[0,1].
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