PSI Mars MATHEMATIQUES

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PSI Mars 2012 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Compléments dans les Espaces euclidiens Groupe orthogonal Réduction des endomorphismes autoadjoints Coniques-Quadriques 1 Compléments dans les espaces euclidiens Exercice 1 : Soit A = (aij)i,j ? Mn(IR) avec : aij = ∫ pi 2 0 sin(ix) sin(jx)dx Montrer que detA > 0. Exercice 2 : Montrer que : ?f ? (Mn(IR)) ? , ?!F ? Mn(IR), ?X ? Mn(IR), f(X) = tr(FX) Exercice 3 : (CCP) Soit E un espace euclidien, (a, b) ? E2 et ? ? L(E) définie par : ?(x) =< a, x > b? < b, x > a. Déterminer ??. Exercice 4 : Soit E un espace euclidien. Montrer que ?f ? L(E), Kerf ? = (Imf)? Imf ? = (Kerf)? Kerf ? ? f = (Kerf) Imf ? ? f = (Imf ?) Exercice 5 : Soit E = Mn,p(IR) muni du produit scalaire (X, Y ) ? tr(tXY ). Pour A fixée dans E, soit ?A : E ? E,X 7?? AtXA.

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  • feuille d'exercices compléments dans les espaces euclidiens

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Publié le : jeudi 1 mars 2012
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PSI MATHEMATIQUES
Mars 2012
Feuille d’Exercices ComplÉments dans les Espaces euclidiens Groupe orthogonal RÉduction des endomorphismes autoadjoints Coniques-Quadriques
1 ComplÉmentsdans les espaces euclidiens Exercice 1: SoitA= (aij)i,j∈ Mn(IR)avec : Z π 2 aij= sin(ix) sin(jx)dx 0 Montrer quedetA >0. Exercice 2: Montrer que : f(Mn(IR)),!F∈ Mn(IR),X∈ Mn(IR), f(X) = tr(F X)
Exercice 3: (CCP) 2 SoitEun espace euclidien,(a, b)Eetϕ∈ L(E)dÉfinie par : ϕ(x) =x > b< a,x > a< b,. DÉterminerϕ.
Exercice 4: SoitEun espace euclidien. Montrer quef∈ L(E),
∗ ⊥ KerfmI(=f) ∗ ⊥ Imf= (Kerf) Kerff= (Kerf) ∗ ∗ Imffm=(If)
t Exercice 5: SoitE=Mn,p(IR)muni du produit scalaire(X, Y)tr(XY). t PourAfixÉe dansE, soitΦA:EE, X7A XA. Montrer queΦAest un endomorphisme autoadjoint deE.
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2 Groupeorthogonal d’un espace euclidien   a b c   Exercice 6: SoitA=c a b∈ M3(IR) b c a 4 Montrer queASO3(IR)ssi il existet[0,], tel queP(a) =P(b) =P(c) = 027 3 2 P=XX+t.
Exercice 7(CCP 2011 PSI) : SoitA∈ Mn(IR)antisymÉtrique. 1. Montrer queI+Aest inversible. 1 2. Montrer queM= (I+A) (IA)est une matrice orthogonale. 3. Calculerdet(M).
Exercice 8: DÉterminer nature et ÉlÉments caractÉristiques des endomorphismes de 3 IRassociÉs aux matrices suivantes :   1 22 1   1.A1 2= 2. 3 12 2   1 22 1   2.A=12 2. 3 2 1 2   2 1 2 1   3.A= 221. 3 12 2 Exercice 9: DÉterminer la matrice dans la base canonique de la rotationrd’angle π autour de l’axe dirigÉ et orientÉ para= (1,1,1). 3
Exercice 10: DÉterminer la matrice dans la base canonique de la rotation d’axeD: 1 xy+z= 0, x+y+z= 0qui transformee2en(e1+e3). 2 3 3 Exercice 11: SoitIRmuni de sa structure euclidienne etaIR. 3 On dÉfinit l’endomorphismefa∈ L(E)par :xIR ,fa(x) =x+ax. 3 3 1. VÉrifier que :(a, b, c)(IR), a(bc) =c > b< a,< a,b > c. 2. Montrer quefaest un automorphisme et dÉterminer son inverse. 3 3. DÉterminer une CNS surapour quefasoit un automorphisme orthogonal deIR.
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3 RÉductiondes endomorphismes autoadjoints Exercice 12: Diagonaliser   2 a abac ad 2 ab bbc bd   A=   2 ac bc ccd 2 ad bd cd d
Exercice 13: Etant donnÉnIN, n3, dÉterminer le polynÔme caractÉristique de :   0∙ ∙ ∙0 1 0∙ ∙ ∙0 2 A= (0).   n11∙ ∙ ∙n1n
2 Exercice 14: (CCP) SoitSune matrice symÉtrique rÉelle d’ordrentelle que6S5S+ In= 0. p Montrer que la suite(S)pconverge.
Exercice 15: 1. SoitSune matrice symÉtrique, rÉelle dont les valeurs propres sont positives. 1 Montrer quetr(S)n(det(S))n.
2. SoitA∈ Mn(IR). 2 t Montrer quetr(AA)n(det(A))n.
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4 Coniqueset Quadriques Exercice 16: Dans le plan affine euclidien, donner nature, ÉlÉments caractÉristiques et tracer les courbes d’Équation suivantes : 2 2 1.x+xy+y= 1. 2.xy= 1. 2 2 3.x+ 6xy+y+ 4x= 0. Exercice 17: Nature de : 2 2 1.2x+y4xy4yz+ 2x+ 2y4z+ 2 = 0. 2 2 23x+ 3y2xy4y+ 1 = 0 2 22 3.2x+ 2y+z+ 2xz2yz+ 4x2y3z1 = 0. 2 2 4.2x+ 2y4xz4yz+ 2x+ 2y4z+ 2 = 0. 3 Exercice 18: DÉterminer en fonction de(a, b, c)/RI{(0,0,0)}, la nature de la qua-drique associÉe À l’Équation :
2 22 22 2 (E) : (1 +a)x+ (1 +b)y+ (1 +c)z+ 2abxy+ 2acxz+ 2bcyz= 1
3 Exercice 19: On considÈre les droites deIRdÉfinies par les Équations cartÉsiennes :   x=z x=z (D1)et(D2) y= 1y=1
1. Calculerd(D1, D2). 2. DÉterminer la perpendiculaire commune aux deux droites. 3. DÉterminer une condition sur(x, y, z)pour queM(x, y, z)soit Équidistant des deux droites.
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