PSI Octobre MATHEMATIQUES

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PSI Octobre 2011 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Déterminants Exercice 1 :(Mines 10) Calculer ? ? ? ? ? ? a + b a + c b + c a2 + b2 a2 + c2 b2 + c2 a3 + b3 a3 + c3 b3 + c3 ? ? ? ? ? ? . Exercice 2 : Calculer les déterminants d'ordre n suivants : a) det ( (1 + aiaj)1≤i,j≤n ) , n ? IN?, (a1, · · · , an) ? IKn, b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 · · · n ?1 0 3 · · · n ?1 ?2 0 · · · n ... ... ... . . . ... ?1 ?2 ?3 · · · 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c) ? ? ? ? ? ? 2a a + b a + c a + b 2b b + c a + c b + c 2c ? ? ? ? ? ? d) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 · · · 1 1 1 0 0 ... 0 . . . 0 1 0 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 : Calculer les déterminants suivants, d'ordre n, en formant une relation de récurrence : a) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 · · · 0 0 a1

  • ?m ?

  • relation de récurrence

  • matrice circulante

  • unique solution

  • a3 ·

  • a1 a2

  • feuille d'exercices déterminants

  • c3 b3


Publié le : samedi 1 octobre 2011
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Source : cpge-brizeux.fr
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PSI MATHEMATIQUES
Octobre 2011
Feuille d’Exercices DÉterminants Exercice 1:(Mines 10) a+b a+c b+c 2 22 22 2 Calculera+b a+c b+c.   3 33 33 3 a+b a+c b+c Exercice 2: Calculer les dÉterminants d’ordrensuivants : 1 2 3∙ ∙ ∙n 31 0∙ ∙ ∙n   n 12 0∙ ∙ ∙n a)det(1 +aiaj), nIN ,(a1,∙ ∙ ∙, an)IK, b) 1i,jn . . . . ...   123∙ ∙ ∙0 1 1∙ ∙ ∙1 2a a+b a+c 1 10 0 c)a+b2b b+cd) . . .0.0   a+c b+c2c 1 00 1 Exercice 3: Calculer les dÉterminants suivants, d’ordren, en formant une relation de rÉcurrence : 0 0∙ ∙ ∙0 0a10 1∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙1 0 0∙ ∙ ∙0a20 10 1∙ ∙ ∙1 a) b). . .∙ ∙ ∙. ...1 0 1∙ ∙ ∙  an0∙ ∙ ∙0 10 0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙1 0 3 Exercice 4: Soit(a, b, c)IC ,a6=cetnIN: on considÈre les dÉterminants suivants : b a0∙ ∙ ∙0 b aa∙ ∙ ∙a aa b∙ ∙ ∙a . .ab b∙ ∙ ∙b aa c∙ ∙ ∙a c ba.. . .. . . .. .. . . .;Bn..b..;Cn=..b.. An= = 0.b.0 . . .. . . . . .. . .. . . . . ... . .a.. . .a .. . .a   b∙ ∙ ∙b bb c∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙c b 0∙ ∙ ∙0c b 1) CalculerAna l’aide d’une relation de rÉcurrence. 2) CalculerBnet en dÉduireΔn= det((|ij|)). 1i,jn 3)SoitJnla matrice d’ordrendont tous les coeffs sont Égaux À 1. Montrer que Pn(x) =det(Cn+xJn)(oÙCnest la matrice associÉe ÀCn) est un polynÔme de de-grÉ infÉrieur ou Égal À 1. CalculerPn(a)etPn(c)et en dÉduire une valeur deCn
Exercice 5: DÉterminer le dÉterminant de l’endomorphismefdeMn(IR)dÉfini par : t M∈ Mn(IR), f(M) =M+M.
2 Exercice 6: SoitnIN ,(A, B)∈ Mn(IR). On suppose queAetBsont semblables dansMn(IC). 1. Justifier que toute matriceMdeMn(IC)s’Écrit :M=M1+iM2avec(M1, M2)2 Mn(IR). 2. Justifier l’existence de deux matricesUetVÀ coefficients rÉels telles queU+iVGLn(IC)et(U+iV)A=B(U+iV). 3. Montrer que l’applicationλ7det(U+λV)est un polynÔme non nul surIC. 4. En dÉduire l’existence deλ0IRtel queU+λ0VGLn(IR). 5. Montrer queAetBsont semblables surIR.
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Exercice 7:(TÉlÉcomParis 09) n X Soit(ei)1inune base d’unIR-e.v. A quelle condition surx=xiei, la famille i=1 (x+e1, x+e2,∙ ∙ ∙, x+en)est-elle libre?
Exercice 8: SoitM∈ Mn(Z). Donner une C.N.S pour queMsoit inversible et que 1 M∈ Mn(Z). Exercice 9: SoientnIN/{0,1},A∈ Mn(IK). rg(A) =n=rg(com(A)) =n Etblir :rg(A) =n1 =rg(com(A)) = 1. rg(A)n2 =rg(com(A)) = 0 2 Exercice 10: Soient(p, q)(IN), A∈ Mp,q(IK), B∈ Mq,p(IK),xIK.      xIpA Ip0xIpA IpA 1. Calculeret . B IqB IqB Iq0xIq q p 2. Montrer que(X)det(ABXIp) = (X)det(BAXIq)Xest l’indÉterminÉe deIK[X] 3 Exercice 11: SoientnIN ,(A, B, C)(Mn(IK)), DGLn(IK)telles queCD=DC.    A BD0 1. Calculer. 1 C DC D   A B 2. Montrer queest inversible ssiADBCl’est. C D Exercice 12:(CCP 09) 1) SoientPun polynÔme de degrÉnet(a0,∙ ∙ ∙, an)des scalaires deux À deux distincts. Montrer que(P(X+ai))est une base deIKn[X]. 0in 4 3) Calculer, pour(a, b, c, d)IK, : 2 4 1a aa 2 4 1bb b . 2 4 1c cc 2 4 1d dd Exercice 13: DÉterminer les rÉelsapour que le systÈme x+yz= 1 x+ 2y+az= 2 2x+ay+z= 3 ait 1. aucunesolution 2. uneinfinitÉ de solutions 3. uneunique solution que l’on dÉterminera   1 1t   Exercice 14: PourtIR,on poseAt= 011. t1 0 1. DÉterminer l’ensembleTdes valeurs detpour lesquesllesAtest inversible.     x1     2. PourtT, rÉsoudre le systÈmeAty= 1. z1
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Exercice 15:  a1a2a3∙ ∙ ∙an ana1∙ ∙ ∙an2an1 On donne, pournIN, la matrice circulante droiteDn= . .. . a3a4∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙a2 a2a3∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙a1    a1a2a3∙ ∙ ∙an01 0∙ ∙ ∙0 a2a3∙ ∙ ∙ana10 0∙ ∙ ∙0 1 la matrice circulante gaucheGn=etJ= . .. .. .1 0     an1an∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙an20 01∙ ∙ ∙0ana1∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙an10 10∙ ∙ ∙0 n X 2(k1)πi k1 SoitP=akXetk∈ {1..n}, θk=e. n k=1 PourθIR, on dÉfinit   1 θ 2 θ Vθ=   .n1 θ 1. CalculerDnVθ. 2. Soit la matrice de VandermonteVn(θ1, θ2,∙ ∙ ∙, θn). CalculerDnVn(θ1, θ2,∙ ∙ ∙, θn)et en dÉduire dÉt(Dn). 3. CalculerJ Dnet en dÉduire det(J) puis det(Gn). 4. Application : n P k a) (i) Calculer, pour toutx6= 1, P(x) =x. k=0 n P k1 (ii) En dÉduire pour toutx6= 1, Q(x) =kx. k=1 n P b) Calculerk. k=1 c) En considÉrant que, pour toutj∈ {1, ..n},θj1sont les racines du polynÔme n (X+ 1)1et en utilisant les relations entre coefficients et racines d’un polynÔme, n n1 montrer queΠ (θj1) = (1)n. j=2 d) DÉduire de ce qui prÉcÈde 1 23∙ ∙ ∙n n1∙ ∙ ∙n2n1 . .. . 3 4∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙2   2 2∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙1
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