PSI Septembre MATHEMATIQUES

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PSI Septembre 2010 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Série Numériques Exercice 1 : Déterminer la nature de la série numérique de terme général un a) un = n? cos( 1 n ) b) un = n?ch( 1 n ) c) un = 1 √ n? 1 ? 2 √ n + 1 √ n + 1 d) un = ln(1 + (?1)n?1 n? ) pour ? > 0. e) un = √ n2 + n + 1? √ n2 + n? 1 f) un = (lnn)n n! g) u1 ? IR et un+1 = 1ne ?un h) u2n = 1 √ 2 + n? 1 et u2n+1 = ? 1 √ 2 + n + 1 Exercice 2 : Montrer que les séries suivantes convergent et calculer leurs sommes : 1. ∑ n≥1 1 n(n + 1)(n + 2) . 2. ∑ n≥2 nln 4n3 ? 3n? 1 4n3 ? 3n + 1 . (Utiliser la formule de Stirling) 3. ∑ n≥0 (?1)n 3n + 1 . 4. ∑ n≥0 (?1)n ∫ 1 0 tn √ 1? t2 dt.

  • nature de la série ?un

  • tn √

  • feuille d'exercices série

  • n3 ?

  • convergence de ∑

  • ln cos


Publié le : mercredi 1 septembre 2010
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PSI MATHEMATIQUES
Septembre 2010
Feuille d’Exercices SÉrie NumÉriques
Exercice 1: DÉterminer la nature de la sÉrie numÉrique de terme gÉnÉralun 1 cos( ) a)un=n n 1 ch( ) b)un=n n 1 2 1 c)un=√ −+n1n n+ 1 n1 (1) d)un= ln(1 +α)pourα >0. n √ √ 2 2 e)un=n+n+ 1n+n1 n (lnn) f)un= n! 1un g)u1IRetun+1=e n 1 1 h)u2n=etu2n+1=− √ 2 +n1 2+n+ 1 Exercice 2: Montrer que les sÉries suivantes convergent et calculer leurs sommes : X 1 1. . n(n+ 1)(n+ 2) n1 X 3 4n3n1 2.nln. (Utiliser la formule de Stirling) 3 4n3n+ 1 n2 n X (1) 3. . 3n+ 1 n0 Z 1 Xn n 2 4.(1)t1t dt. 0 n0   a X thn 2 5., aIR. n 2 n0   X a π 6.ln cos, a]0,[ n2 2 n0 Exercice 3:(ENSAM 09) 2 Soit la sÉrie de terme gÉnÉralun= sin(π n+ 1) Exprinersin(θ)en fonction denetsinθ. P DÉmontrer queunest une sÉrie alternÉe et Étudier la convergence de cette sÉrie.
Exercice 4: +X P1 1e 1 Sachant quee=, montrer quen!. n! n+ 1k!n+ 1 k=n+1 Donner la nature de la sÉrie de terme gÉnÉralsin(2πn!e).
Exercice 5: n P1 Etudier la suite de terme gÉnÉral :un= ch√ −n. k=1n+k
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Exercice 6: Soit(αn)nune suite d’ÉlÉments stritement positifs telle que(a, b, c, d)αn+1(n+a)(n+b) 4 (IR), tels que :=. αn(n+c)(n+d) λ Soitβn= ln(n αn)avecλ=a+bcd. On supposeλ >1. 1. Montrer queΣ(βn+1βn)converge. k 2. En dÉduire qu’il existek >0tel queαn. Conclure. λ n Exercice 7:(TPE) Si la sÉrie de terme gÉnÉralunpositif est convergente, de quelle nature est la sÉrie de un terme gÉnÉral? n Exercice 1:(CCP 06) X 1 Convergence et somme de. 2 k1 k2 √ √ X E(k+ 1)E(k) Convergence et somme de. k k2 n X 1 Exercice 8: I.(ENSAM) Montrer que la suite de terme gÉnÉralun=lnnconverge. k k=1 +n+1 X (1) Existence et calcul de. n n=1 X n (1) Exercice 9: Nature de la sÉrie. n α (1) +n Exercice 10: Xa 2 Nature de(ln(n)) sin(2π1 +n).
Exercice 11: (ENSEA 08) n P k! k=1 Nature de la sÉrie de terme gÉnÉralun=. (n+ 2)! Exercice 12: (Mines 09) Convergence de la sÉrie de terme gÉnÉralun=aln(n) +bln(n+ 1) +cln(n+ 2)et calcul de la somme quand cela est possible.
Exercice 13:(CCP 09) n X 1 PournIN, On poseH(n) =. k k=1 1. Montrer queH(n) =ln(n) +γ+o(1). X 1 2. En dÉduire convergence et somme de. (2n+ 1)n n1 Exercice 14:(IIE) Z π x 2 1. Montrer que la suite de terme gÉnÉral :un= sin(2nx) tandxtend vers 0. 02 nZ Z π π X2 2 2. Trouverfetgtelles que :uk=f(x)dx+g(x) cos((2n+ 1)x)dx. 0 0 k=1 P Etablir la convergence deunet calculer sa somme.
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Exercice 15: n(n+1) (1) 2 Donner en fonction deα, la nature de la sÉrie de terme gÉnÉral :un=. α n Exercice 16: P + Soitunune sÉrie numÉrique convergente, À termes dansIR. n0 PEtudier la nature de la sÉrie numÉriqueu2nun. Exercice 17: +Pk (1) Etudier la sÉrie de terme gÉnÉralun=2 k k=n Convergence et calcul de la somme. Exercice 18: On considÈre la sÉrie de terme gÉnÉral : n  p1 Y (1) α un=n1 +p p=1 n  p1 Y (1)On posePn+= 1puisQn=nPn p p=1 Qn 1. Montrer que la sÉrie de terme gÉnÉrallnconverge. Qn1 2. En dÉduire la nature deΣun.
Exercice 19: x a) Montrer que, pour toutnINtel quen2, l’Équatione+x=n, d’inconnue x[0,+[, admet une solution et une seule, qu’on noteraxn. b) Etablir :xnlnn. n+α c) DÉterminer, pourαIRfixÉ, la nature de la sÉrie de terme gÉnÉralx. n
Exercice 20: On dÉfinit la suite(xn)npar :
( x0= 0 q xn+1 xn+1= 2
On posenIN, un= 1xn. 1. Etudier(xn)n. 2. DÉterminer la nature de la sÉrieΣun. n  Q1 Exercice 21: On pose, pour tout entiern2, un= 2e. k k=2 1) Nature de la suite(un)n2? 2) nature de la sÉrieΣun? un Exercice 22:Soit(un)nINune suite À valeurs dans]0,1[, on posenIN, vn=. 1un Montrer que les sÉries de terme gÉnÉralunetvnsont de mme nature.
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