Résumé du cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS,

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Ce résumé du cours de mathématiques de première année de classe préparatoire économique et commerciale voie scientifique (ECS1) se compose de 43 fiches indépendantes présentées dans un document de synthèse de 58 pages à table des matières interactive. Chaque fiche fait également l'objet d'un article publié en rubrique "Mathématiques" sur le Wiki SILLAGES http://wiki.sillages.info
Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 1






RESUME DU COURS DE MATHEMATIQUES

Classes préparatoires économiques et commerciales option scientifique, première année (ECS1)


Catherine Laidebeure
Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy
2009 – 2010 Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 2
Fiche 1 Calcul algébrique page 3 Fiche 23 Généralités sur les fonctions page 28
Fiche 2 Identités remarquables page 4 Fiche 24 Limites page 29
Fiche 3 Sommes et produits page 5 Fiche 25 Interprétation des limites page 31
Fiche 4 Ensembles page 6 Fiche 26 Comparaison locale des fonctions page 32
Fiche 5 Récurrence page 7 Fiche 27 Continuité page 33
Fiche 6 Ensemble des réels page 8 Fiche 28 Dérivation page 34
Fiche 7 Trigonométrie page 9 Fiche 29 Convexité page 36
Fiche 8 Nombres complexes page 10 Fiche 30 Plan d’étude d’une fonction page 37
Fiche 9 Applications page 11 Fiche 31 Primitives page 38
Fiche 10 Polynômes page 12 Fiche 32 Intégrales définies page 39
Fiche 11 Logarithme népérien page 13 Fiche 33 Formules de Taylor page 41
Fiche 12 Exponentielle page 14 Fiche 34 Développements limités page 42
Fiche 13 Autres fonctions exponentielles page 15 Fiche 35 Systèmes d’équations linéaires page 44
Fiche 14 Fonctions puissances page 16 Fiche 36 Espaces vectoriels page 45
Fiche 15 Fonctions trigonométriques page 17 Fiche 37 Applications linéaires page 47
Fiche 16 Suites usuelles page 19 Fiche 38 Matrices page 49
Fiche 17 Suites numériques page 20 Fiche 39 Changement de base page 51
Fiche 18 Séries numériques page 22 Fiche 40 Réduction des endomorphismes page 52
Fiche 19 Dénombrement page 23 Fiche 41 Couples de variables aléatoires page 53
Fiche 20 Espaces probabilisés page 24 Fiche 42 Convergences et approximations page 54
Fiche 21 Variables aléatoires discrètes page 26 Fiche 43 Fonctions de deux variables page 55
Fiche 22 Lois discrètes finies et infinies page 27 Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 3
fiche n°1 fiche n°1 (suite)
Racines carrées
CALCUL ALGEBRIQUE

2
a est l’unique solution positive de l’équation .
x = a

Fractions a est défini si et seulement si a ≥ 0.
2
a
2
est défini si et seulement si b ≠ 0 . a ≥ 0 ( a) = a a = a
b
a a
a a
 
ab = a b = si a ≥ 0 et b > 0
= 0⇔ a = 0 Sgn = Sgn(ab)
 
b
b
b b
 
a+ b ≤ a + b Mais en général a+ b ≠ a + b
a c ad + bc a c ac a c ad
+ = × = : =
b d bd b d bd b d bc 0≤ a≤ b ⇔ a ≤ b

a
 b≥ 0  b≥ 0
si
a = b⇔ a < b⇔ a ≥ 0
 
a ac a a ac 2 2
b
a = b a< b
× c = = =
 
b
b b c bc b
b≥ 0

c a > b⇔ b< 0 ou

2
a > b

Puissances
Valeurs absolues
0 n
(n fois) si
a = 1 a = a×...× a n∈ *
a si a≥ 0  − a ≤ a ≤ a

1
−n 1 n b bln a
n
a = donc et 0 = 0
a =  
a = a a = e si a > 0
n
− a si a< 0 a = Max(a,−a)


a
b
2
c
a
b−c
b c b+c b bc a ≥ 0 a = a pour tout a réel
= a (a ) = a
a × a = a
c
a
a
a
c ab = a b si
c = b ≠ 0
a a
 
c c c
b b
a × b = (ab) =
 
c
b
b  
a+ b ≤ a + b Mais en général : a+ b ≠ a + b
Inégalités
0≤ a ≤ b⇒ a ≤ b Mais : a ≤ b ≤ 0⇒ b ≤ a
Pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe de leur
différence : a < b ⇔ b− a > 0.
a = b⇔ a = b ou a = −b
et ⇒ a < c (on note )
a < b b < c a < b < c 
a < b⇔ −b< a < b si b ≥ 0

a < b et a'< b' ⇒ a+ a'< b+ b'

a > b⇔ a <−b ou a > b

0< a < b et 0< a'< b'⇒ aa'< bb' (seulement s’ils sont positifs)
Inverses
a< b⇒ a+ c< b+ c
1 1
ac< bc si c > 0
 a < b ⇔ < si et seulement si a et b sont de même signe.
a< b⇒
b a

ac > bc si c< 0
Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 4
fiche n°2
IDENTITES REMARQUABLES


Identités usuelles
2 2 2
(a+ b) = a + 2ab+ b
2 2 2
(a− b) = a − 2ab+ b
2 2
(a− b)(a+ b) = a − b
2 2 2 2
(a+ b+ c) = a + b + c + 2ab+ 2ac+ 2bc
3 3 2 2 3
(a+ b) = a + 3a b+ 3ab + b
3 3 2 2 3
(a− b) = a − 3a b+ 3ab − b
3 3 2 2
a − b = (a− b)(a + ab+ b )
3 3 2 2
a + b = (a+ b)(a − ab+ b )
Généralisation
n n n−1 n−2 n−3 2 n−2 n−1
a − b = (a− b)(a + a b+ a b + ...+ ab + b )
n−1 n−1
n n n−1−k k k n−1−k
a − b = (a− b) a b = (a− b) a b
∑ ∑
k=0 k=0
n n
La formule ne se généralise que si n est impair.
a + b
n−1
n n k n−1−k k
a + b = (a+ b) (−1) a b

k=0
Formule du binôme de Newton
n n
n n n
      n!
n k n−k n−k k
(a+ b) = a b = a b avec =
∑ ∑
     
k k k
k!(n− k)!
k=0 k=0
     
 n  n n+1 n n
     
Propriétés :     et
= = +
     
   
n− k k k k k −1
         
n n
n n
   
n k
Conséquence : = 2 (−1) = 0
∑  ∑  
k k
k=0 k=0
   Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 5
fiche n°3
SOMMES ET PRODUITS


Propriétés des Sommes
n n n n n
λu =λ u (u + v ) = u + v
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
k k k k k k
k= p k= p k= p k= p k= p
q
n n
Si p≤ q< n : u = u + u
∑ k ∑ k ∑ k
k= p k= p k=q+1
n n
a = a(n− p+1) (u − u ) = u − u
∑ ∑
k+1 k n+1 p
k= p k= p
Sommes usuelles
n n
n(n+1) n(n+1)(2n+1)
2
k = k =
∑ ∑
2 6
k=1 k=1
n 2 2 n n+1
n (n+1) 1− x
3 k
k = x = = S (x) si x ≠ 1
∑ ∑ n
4 1− x
k=1 k=0
n n
k−1 k−2
Si x ≠ 1 : kx = S ' (x) k(k −1)x = S " (x)
∑ n ∑ n
k=0 k=0
Propriétés des Produits
n n n n n
  
n− p+1
λu =λ u (u v ) = u  v 
∏ k ∏ k ∏ k k ∏ k ∏ k
  
k= p k= p k= p k= p k= p
  
q
n n
  
Si p ≤ q < n : u = u  u 
∏ k ∏ k ∏ k
  
k= p k= p k=q+1
  
n n
u u
n− p+1 k+1 n+1
a = a =
∏ ∏
u u
k= p k= p k p
Produit usuel
n
k = n! Propriétés : (n+1)!= (n+1)× n! et 0!= 1

k=1
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fiche n°4 fiche n°4 (suite)

ENSEMBLES
Différence symétrique de deux parties de E

AΔB= x∈ E / x∈ A ou (exclusif) x∈ B .
{ }
Inclusion
Donc AΔB= (A∪ B)− (A∩ B) .
Un ensemble A est inclus dans un ensemble E ( A⊂ E ) si tout
Donc AΔB= (A∪ B)∩ (A∪ B)= (A∩ B)∪ (A∩ B) .
élément de A est élément de E. Alors A est une partie de E.
Partition d’un ensemble E
Si A⊂ B et B⊂ C alors A⊂ C .
. Des parties A , A , …, A de E forment une partition de E si :
A= B⇔ A⊂ B et B⊂ A
1 2 n
L’ensemble des parties de E est noté P (E) .
- Elles sont deux à deux disjointes : A ∩ A = si i≠ j .
i j
Intersection de deux parties de E n
A∩ B={x∈ E / x∈ A et x∈ B}. - Leur réunion est E : A = E .
U i
i=1
Deux ensembles A et B sont disjoints si .
A∩ B=
Propriétés : A∩ B= B∩ A Cas particulier : une partie A et son complémentaire A .

(A∩ B)∩ C= A∩ (B∩ C) noté A∩ B∩ C

Produit cartésien de deux ensembles
si et seulement si A⊂ B et
A⊂ B∩ C A⊂ C
2
E× F ={(x, y) / x∈ E et y∈ F} E ={(x, y) / x∈ E et y∈ E}
Réunion de deux parties de E
Par récurrence, on généralise au produit de plusieurs ensembles et
A∪ B={x∈ E / x∈ A ou x∈ B}.
p
E est l’ensemble des p-listes (x ,..., x ) d’éléments de E.
1 p
Propriétés : A∪ B= B∪ A

(A∪ B)∪ C= A∪ (B∪ C) noté
A∪ B∪ C

A∪ B⊂ C si et seulement si A⊂ C et B⊂ C

Distributivité

(A∩ B)∪ C= (A∪ C)∩ (B∪ C)
(A∪ B)∩ C= (A∩ C)∪ (B∩ C)
Complémentaire
A ={x∈ E / x∉ A}.
Propriétés : A = A A∩ A= A∪ A= E

A⊂ B si et seulement si B ⊂ A

Lois de Morgan : A∪ B= A∩ B A∩ B= A∪ B
Différence de deux parties de E
A− B={x∈ E / x∈ A et x∉ B} .
Donc A− B= A∩ B .
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fiche n°5
RECURRENCE

Premier théorème de récurrence
Soit P(n) est une propriété définie pour tout entier n≥ n .
0
Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1) Initialisation : P(n ) est vraie.
0
2) Hérédité : Chaque fois que P(n) est vraie pour n≥ n , alors
0
P(n+1) est vraie.
Alors P(n) est vraie pour tout entier n≥ n .
0
Conseils de rédaction d’une récurrence
• Bien définir la propriété P(n) .
• Initialisation : Déterminer le premier entier n et démontrer que
0
P(n ) est vraie.
0
• Hérédité : Supposer que P(n) est vraie pour un entier n≥ n .
0
Démontrer que (pour ce n) P(n+1) est vraie.
• Conclusion : En appliquant le théorème, conclure que P(n) est
vraie pour tout entier n≥ n .
0
Deuxième théorème de récurrence (récurrence forte)
Soit P(n) est une propriété définie pour tout entier n≥ n .
0
Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1) Initialisation : P(n ) est vraie.
0
2) Hérédité : Chaque fois que (pour un entier n≥ n ) P(k) est vraie
0
jusqu’à n (c’est-à-dire pour tout entier k tel que n ≤ k ≤ n ), alors
0
P(n+1) est vraie.
Alors P(n) est vraie pour tout entier n≥ n .
0
Conseils de rédaction
Hérédité : Supposer que P(n ) , P(n +1) , …, P(n) sont vraies
0 0
pour un entier n≥ n .
0
Démontrer que (pour ce n) P(n+1) est vraie. Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 8
fiche n°6
ENSEMBLE DES REELS

Majorants d’une partie
Un réel M est majorant d’une partie A de si : ∀x∈ A x≤ M .
Tout réel plus grand que M est aussi un majorant de A.
Si M ∈ A , alors M est le plus grand élément de A, noté Max A .
Borne supérieure
La borne supérieure de A est le plus petit des majorants de A (s’il
∀x∈ A x ≤ M
existe) :
M = Sup A⇔

∀ε > 0 ∃x∈ A M −ε < x ≤ M

(M est majorant, mais, pour tout , n’est pas majorant)
ε > 0 M −ε
Minorants d’une partie
Un réel m est majorant d’une partie A de si : ∀x∈ A x ≥ m .
Tout réel plus petit que m est aussi un minorant de A.
Si m∈ A , alors m est le plus petit élément de A, noté Min A .
Borne inférieure
La borne inférieure de A est le plus grand des minorants de A (s’il
∀x∈ A m≤ x
existe) :
m = Inf A⇔

∀ε > 0 ∃x∈ A m ≤ x < m+ε


(m est minorant, mais, pour tout , n’est pas minorant)
ε > 0 m+ε
Propriété fondamentale de l’ensemble des réels
Toute partie majorée non vide de possède une borne supérieure.
Toute partie minorée non vide de possède une borne inférieure.
Partie entière d’un réel
On appelle partie entière d’un réel x le plus grand entier inférieur ou
égal à x.
Notations : Ent(x) ou x .
 
 
Propriété caractéristique : ∀x∈ Ent(x)≤ x< Ent(x)+1.
La fonction partie entière est une fonction en escalier croissante. Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 9
fiche n°7 (suite)
fiche n°7

TRIGONOMETRIE
Formules d’addition
cos(a+ b) = cos a cosb− sin asin b
Définitions
cos(a− b) = cos a cosb+ sin asin b
A tout réel θ on associe l’unique point M du cercle trigonométrique
uuuur
r
sin(a+ b) = sin a cosb+ cos asin b
tel que soit une mesure de l’angle (u,OM ) . Alors :
θ
sin(a− b) = sin a cosb− cos asin b
• cosθ est l’abscisse du point M.
tan a+ tan b
• est l’ordonnée du point M.
sinθ
tan(a+ b) =
sinθ cosθ 1− tan a tan b
• tanθ = et cotanθ = .
tan a− tan b
cosθ sinθ
tan(a− b) =
1+ tan a tan b
Formules de base
Formules de duplication
1 1
2 2 2 2
cos θ+ sin θ = 1 = 1+ tan θ = 1+ cotan θ
2 2 2 2
2 2

cos 2a = cos a− sin a = 2cos a−1= 1− 2sin a
cos θ sin θ
Lignes trigonomues usuelles
sin 2a = 2sin a cos a
2 tan a
π 6 π 4 π 3 π 2
θ 0
tan 2a =
2
1− tan a
1
2
3

cosθ 1 0
Transformation de produits en sommes (linéarisation)
2
2 2
1 1
2
cos a cosb = [cos(a+ b)+ cos(a− b)] cos a = (1+ cos 2a)
1
2 3
2 2

sinθ 0 1
2
2 2
1 1
2
sin asin b = − [cos(a+ b)− cos(a− b)] sin a = (1− cos 2a)
1
2 2

tanθ 0 1 3
3
1 1
sin a cosb = [sin(a+ b)+ sin(a− b)] sin a cos a = sin 2a
1
2 2

cotanθ 3 1 0
Transformation de sommes en produits
3
p+ q p− q
Symétries
cos p+ cos q = 2cos cos
2 2
cos(−θ) = cosθ sin(−θ) = −sinθ tan(−θ) = − tanθ
p+ q p− q
cos(π−θ) = −cosθ sin(π−θ) = sinθ tan(π−θ) = − tanθ
cos p− cos q = −2sin sin
2 2
cos(π+θ) = − cosθ sin(π+θ) = −sinθ tan(π+θ) = tanθ
p+ q p− q
π  π  π 
sin p+ sin q = 2sin cos
cos −θ = sinθ sin −θ = cosθ tan −θ = cotanθ
2 2
2 2 2
     
p+ q p− q
π π π sin p− sin q = 2cos sin
     
cos +θ = −sinθ sin +θ = cosθ tan +θ = −cotanθ
      2 2
2 2 2
     


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fiche n°8 (suite)
fiche n°8
Argument d’un nombre complexe non nul
uuuur
NOMBRES COMPLEXES
r

Si z ≠ 0 et si M est le point d’affixe z, arg(z) est l’angle (u,OM ) et

par abus de langage toute mesure de cet angle.
Ensemble
Re(z) Im(z)
L’ensemble est muni de deux opérations internes (addition et
Si z ≠ 0 : arg(z)=θ⇔ cosθ= et sinθ=
z z
multiplication). Il a une structure de corps commutatif.
2
z est réel ssi arg(z)≡ 0 (π)
Il possède un élément noté i qui vérifie i =−1.
Il ne possède pas de relation d’ordre compatible avec les opérations.
π
z est imaginaire pur ssi arg(z)≡ (π)
Forme algébrique
2
2
∀z∈ ∃!(x, y)∈ z = x+ iy . n
Propriétés : arg(z )≡− arg(z) (2π) arg(z )≡ narg(z) (2π)
x = Re(z) est sa partie réelle et y = Im(z) sa partie imaginaire.
z
 
arg(zz ')≡ arg(z)+ arg(z ') (2π) arg ≡ arg(z)− arg(z ') (2π)
z est réel ssi Im(z)= 0 z est imaginaire pur ssi Re(z)= 0
 
z '
 
Re(z)= Re(z ')

Notation exponentielle
z = z '⇔ .

Im(z)= Im(z ') iθ

∀θ∈ cosθ+ i sinθ= e .
r r
Il y a bijection entre et le plan de repère orthonormé (O,u,v) .

Forme trigonométrique d’un complexe non nul
Tout point M (x, y) a pour affixe z = x+ iy .
Pour tout z∈* , il existe un unique réel r > 0 et un réel θ unique à

Nombre complexe conjugué
2kπ près ( k∈ ) tels que : z = r(cosθ+ i sinθ)= re . Et r = z .
∀z∈ z = x− iy si x= Re(z) et y = Im(z) .
z = z '⇔ z = z ' et arg(z)≡ arg(z ') (2π)
z est réel ssi z = z z est imaginaire pur ssi z =−z
Formules d’Euler
z z
 
n n
Propriétés : z+ z '= z+ z ' zz '= z× z ' (z )= (z) = iθ −iθ iθ −iθ
 
e + e e − e
z '
  z '
∀θ∈ cosθ= et sinθ= .
2 2i
z+ z z− z
Re(z)= et Im(z)=
Formule de Moivre
2 2i
n
∀n∈ ∀θ∈ (cosθ+ isinθ) = cos nθ+ i sin nθ.
Module d’un nombre complexe
Racines n-èmes d’un complexe non nul
2 2
∀z∈ z = x + y si x = Re(z) et y = Im(z) .
n
Les racines n-èmes de Z sont les solutions de z = Z .
Le module de z est la distance OM si z est l’affixe de M.
α 2kπ
 
i +
 

z = 0⇔ z = 0 n n
n  
Si Z = R e , il y a n racines z = R e pour k∈P0,n−1T .
k
Propriétés : z = z z = zz
Leur somme est égale à 0. Elles sont toutes obtenues en multipliant
l’une d’entre elles par les racines n-èmes de l’unité.
z
z
n
n
zz ' = z × z ' z = z = z+ z ' ≤ z + z '
2ikπ
z ' z '
k
n
Il y a n racines n-èmes de l’unité :ω = e = (ω ) pour k∈P0,n−1T .
k 1

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