Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Rang d'une famille de vecteurs

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Rang

d’une

famille

de

vecteurs

Exercice 1[ 01650 ][correction]
Déterminer le rang des familles de vecteurs suivantes deR4:
a)(x1 x2 x3)avecx~1= (1111)~x2= (1−11−1)et~x3= (1011).
~ ~ ~
b)(x1 x2 x3x~4)avecx~1= (1101)x~2= (1−110)x~3= (2011)et
~ ~ ~
~x4= (02−11).

Exercice 2[ 01651 ][correction]
DansE=R]−11[on considère :
f1(x) =r1 +xf2(x) =r11−+xfx3(x) =√11−x2 f4(x) =√1x−x2
1−x

Quel est le rang de la famille(f1 f2 f3 f4)?

Exercice 3[ 01652 ][correction]
Soit(x1     xn)une famille de vecteurs d’unK-espace vectorielE.
Montrer que pourp6n:

rg(x1     xp)>rg(x1     xn) +p−n

Enoncés

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)(x~1 x2 x3)est libre donc rg(~x1~x2~x3) = 3.
~ ~
b) Commex~3=x~1+~x2etx~4=~ ~on a Vect(x~1x~2x~3x~4) =Vect(~x1~x2).
x1−x2,
Comme(~x1~x2)est libre, on a rg(x~1~x2~x3~x4) =rg(x~1x~2) = 2.

Exercice 2 :[énoncé]
On a

donc

f1(x) =√1+1−xx2=f3(x) +f4(x) f2(x) =√11−−xx2

car(f3 f4)est libre.

rg(f1 f2 f3 f4) =rg(f3 f4) = 2

=f3(x)−f4(x)

Exercice 3 :[énoncé]
Vect(x1     xn) =Vect(x1     xp) +Vect(xp+1     xn).
donc rg(x1     xn)6rg(x1     xp) +rg(xp+1     xn)6rg(x1     xp) +n−p

.

2

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