Sujet : Analyse, Calcul d'un cosinus

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Nombres réels et complexes. Trigonométrie.

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Calcul d’un cosinus

Préliminaire


Soit∈ℝ,ϕ∈0, 2πet∈ℕ. On pose(,ϕ,)=∑cos(+ϕ) .
=0
sin(+1)ϕ
Etablir l’identité :(,ϕ,)=cos+2ϕ2
sinϕ,
2

Problème

L’objectif de ce problème est de présenter différentes démarches menant à l’expression par radicaux de cos5π.

Par commodité, nous poseronsθ=π.
5
1.a Résoudre l’équation5+1=0 en exprimant ses solutions sous forme trigonométrique.
1.b Déterminer la fonction polynomiale֏() telle que5+1=(+1)() .

1.c

1.d
2.a
2.b

2.c

3.a
3.b
3.c
4.a
4.b

Résoudre l’équation()= réalisant le changement d’inconnue0 en=+. 1

Déterminer enfin l’expression par radicaux de cosθ.
En partant de la relation cos 2=2 cos2− cos1 , exprimer2θpuis cos 4θ cosen fonction deθ.
En déduire que cosθ 8est solution de l’équation4−82++1=0 .
Résoudre celle-ci en commençant par observer l’existence de solutions « évidentes ».
Conclure.
En exploitant le préliminaire, montrer que cosθ+cos 3θest égal à un nombre rationnel simple.
Linéariser cosθcos 3θ et observer que cette quantité est égale à un rationnel assez simple.
En déduire la valeur de cosθ.
Calculer 1+cos 2θ+cos 4θ+cos 6θ+cos 8θ.
En déduire que cosθest solution d’une équation du second degré.
Conclure.

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